數(shù)值分析-插值法

1、數(shù)值分析-插值法 第二章插 值 法 fig 思考1 設(shè)f x x2，求f x 的次數(shù)不超過1、2、3、的插值多項(xiàng)式各是什么？在哪些點(diǎn)處會有誤差？ 思考2 設(shè)f x sinx，求f x 的次數(shù)不超過1、2、3、的插值多項(xiàng)式各是什么？在哪些點(diǎn)處會有誤差？ 思考1答案：當(dāng)f x 是次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式時(shí)，其n次的插值多項(xiàng)式就是f x 本身。此時(shí)誤差為0！ f x 的次數(shù)不超過1時(shí)存在誤差：只在插值點(diǎn)處沒有誤差。 思考2答案：當(dāng)f x 是非多項(xiàng)式時(shí)，其任何的插值多項(xiàng)式除插值點(diǎn)外均有誤差！Sinx的冪展開為無限多次項(xiàng)。 四、插值余項(xiàng) 定義 函數(shù)f x 用n次插值多項(xiàng)式Ln x 近似代替時(shí)，截?cái)嗾`差記為

2、稱Rn x 為n次插值多項(xiàng)式Ln x 的余項(xiàng) Ln x 中的n指的是Ln x 為n次多項(xiàng)式，而Rn x 中的想指的是它是與Ln x 相對應(yīng)的余項(xiàng)，Rn x 不一定是x的n次多項(xiàng)式。 當(dāng) f x 足夠光滑時(shí)，有如下估計(jì)定理： 定理 設(shè)函數(shù) f x 在包含節(jié)點(diǎn)x0,x1,xn的區(qū)間a,b上連續(xù)，在 a, b 上具有n+1階導(dǎo)數(shù)，Ln x 為滿足插值條件的n次插值多項(xiàng)式，則對任一點(diǎn)xa, b，總存在相應(yīng)的點(diǎn) a, b ，使 其中 注意 1 根此定理可計(jì)算插值多項(xiàng)式的余項(xiàng) 誤差 。 2 定理中的下標(biāo)意義不同Ln x 和n+1 x 的下標(biāo)表示次數(shù)，而Rn x 的下標(biāo)則不表示次數(shù)。 3 復(fù)習(xí)羅爾定理 羅爾

3、定理如果函數(shù)滿足： （1）如果在閉區(qū)間a,b上連續(xù)； （2）在開區(qū)間（a,b）上可導(dǎo)； （3）在區(qū)間斷點(diǎn)處函數(shù)值相等，即： f a f b ,那么在 a,b 上至少存在 一點(diǎn) a b ,使得： 證明 由給定條件知Rn x 在插值基點(diǎn)xi i 1,2,n 上為零， 其中K x 是與x有關(guān)的待定函數(shù)。 現(xiàn)把x看成a,b上一個(gè)固定點(diǎn)，作函數(shù) 則 注意： 根據(jù)插值條件及余項(xiàng)定義，可知 t 在x0,x1,xn及x處均為0，故 t 在a,b上有n+2個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)羅爾定理 在 t 的兩個(gè)零點(diǎn)間至少有一個(gè)零 點(diǎn)，故 在a,b內(nèi)至少有n+1個(gè)零點(diǎn)。依次類推， 在 a, b 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，記為，使（導(dǎo)數(shù)的階數(shù)

4、與零點(diǎn)個(gè)數(shù)之和是n+2） fig 于是 其中 a, b 且依賴于x。 將 K x 代入余項(xiàng)表達(dá)式即可得到結(jié)論。 （1）來看n+1 x 對Rn x 的影響 | n+1 x |是|Rn x |的一個(gè)因子，因而越小越好。當(dāng)插值多項(xiàng)式的次數(shù)n確定，從而插值基點(diǎn)的個(gè)數(shù)n+1也確定之后，對于給定的x， | n+1 x | 對余項(xiàng)表達(dá)式的分析： 的大小就取決于插值基點(diǎn)的選取。為了使得 | n+1 x | 盡可能小一些，插值基點(diǎn)的選取原則是：使x盡可能位于區(qū)間Ix的中部，這里Ix是包含x以及所用基點(diǎn)的最小閉區(qū)間。 定義： 設(shè)插值基點(diǎn)x0,x1,xn中最小者為a、最大者為b，當(dāng)插值點(diǎn)x a, b 時(shí)我們稱為內(nèi)插

5、，否則稱為外插 （2）若被插函數(shù)f x 是k次多項(xiàng)式， 則當(dāng)插值多項(xiàng)式次數(shù)為nk時(shí)： Rn 0,因?yàn)椋?為0. 例1 給定數(shù)據(jù)表 x 2 3 4 5 6 7 f x 10 15 18 22 20 16 要用插值方法計(jì)算f 4.8 的近似值。問線性插值、二次插值和三次插值應(yīng)選哪些基點(diǎn)？ 解 如果用線性插值，就選 為基點(diǎn)。如果用二次插值，就選 為基點(diǎn)。如果用三次插值，就選 為基點(diǎn)。 因?yàn)椋?.8-3 6-4.8 例2 給定函數(shù)y lnx在兩點(diǎn)的值如表 2.303 2.398 y 10 11 x 試用線性插值求ln10.5的近似值，并估計(jì)截?cái)嗾`差。 解 記f x lnx，取x0 10，x1 11，x

6、 10.5，有 因?yàn)?故 插值余項(xiàng)為 所以 例3 設(shè) 求證 （ 其中： 表示f x 在 a,b 上 直到二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。） 證：以 為節(jié)點(diǎn)進(jìn)行線性插值，得 因 ，故 根據(jù)插值余項(xiàng)定理，有 故 例4 已知函數(shù)y lnx 的函數(shù)表如下： x 10 11 12 y 2.3062 2.3979 2.4849 x 13 14 y 2.5649 2.6391 分別用拉格朗日線性插值和二次插值求ln11.5的近似值，并估計(jì)余項(xiàng)。 解 線性插值。取兩個(gè)基點(diǎn) 插值基函數(shù)為 故線性拉格朗日插值函數(shù)為 將x 11.5代入得 其插值余項(xiàng)為 因?yàn)?而 在11與12之間，故 于是 數(shù) 值 分 析 §1 引 言 一

7、、實(shí)際背景 二、問題的分類 三、插值問題的定義 一、實(shí)際背景 基本過程： 飛機(jī)、汽車的外形設(shè)計(jì)制造 測點(diǎn) 插值曲線 插值曲面 三角函數(shù)表、對數(shù)表等 不在表上的函數(shù)值如何求？ 插值問題： 求一條曲線嚴(yán)格通過數(shù)據(jù)點(diǎn) 曲線擬合問題： 求一條曲線在一定意義下靠近數(shù)據(jù)點(diǎn) 注：插值問題和曲線擬合問題統(tǒng)稱函數(shù)逼近問題！ 二、問題的分類 三、插值問題的定義 1. 插值問題的有關(guān)概念 設(shè)給出關(guān)于函數(shù)y f x 的一組函數(shù)值， 已知條件 y0 y1 y2 yn y x0 x1 x2 xn x 其中x0 , x1, x2, , xn是區(qū)間a,b上的互異點(diǎn) 因?yàn)楹瘮?shù)是這樣的映射：一個(gè)x唯一的對應(yīng)一個(gè)y ， 求 一個(gè)簡

8、單函數(shù) x 作為f x 的近似表達(dá)式，以滿足 我們稱這樣的問題為插值問題，并稱 x 為 f x 的插值函數(shù)，f x 為被插函數(shù)， x0 , x1, x2, , xn是插值節(jié) 基 點(diǎn) 是插值原則. 條件 思考題 當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn) xi, yi 給定后，滿足插值條件的插值函數(shù) x 有多少種類型？ 答 有許多種。例如給出平面上兩個(gè)點(diǎn)，則過這兩個(gè)點(diǎn)的曲線有無窮多種，可以是代數(shù)多項(xiàng)式、三角多項(xiàng)式、有理函數(shù)等等，但最簡單而最常用的是代數(shù)多項(xiàng)式，它有許多良好的性質(zhì)，故本章僅考慮代數(shù)多項(xiàng)式插值問題 2. 代數(shù)多項(xiàng)式插值問題 設(shè)給出關(guān)于函數(shù)y f x 的一組函數(shù)值， y0 y1 y2 yn y x0 x1 x2 xn

9、x 其中x0 , x1, x2, , xn是區(qū)間a, b上的互異點(diǎn) 因?yàn)楹瘮?shù)是這樣的映射：一個(gè)x唯一的對應(yīng)一個(gè)y 一共n+1個(gè)節(jié)點(diǎn) , 已知條件 求 一個(gè)次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式 稱Pn x 為 f x 的n次插值多項(xiàng)式 使?jié)M足插值原則 條件 問題：這樣的插值多項(xiàng)式是否存在唯一呢？ 定理 在n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)處滿足插值原則且次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式Pn x 存在并且唯一。 證明 設(shè)Pn x 為所求多項(xiàng)式，則 這是未知量a0, a1,an的線性方程組，其系數(shù)行列式是范德蒙行列式 因?yàn)閤0, x1,xn的互不相同，故系數(shù)行列式不等于0，因此方程組有唯一解，即Pn x 存在并唯一。 注意 從定理的證明可以看出

10、，只要通過求解一個(gè)線性方程組得出a0, a1,an的值，便可以確定Pn x 了。然而這樣構(gòu)造多項(xiàng)式不但計(jì)算量大，而且難以得到Pn x 的簡單公式，因此本章下面幾節(jié)將介紹幾種直接構(gòu)造Pn x 的方法。 注：若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為 n ，則插值多項(xiàng)式不唯一。 也是一個(gè)插值多項(xiàng)式，其中 可以是任意多項(xiàng)式。 例如 The mathematician S. had to move to a new place. His wife didn't trust him very much, so when they stood down on the street with all their thi

11、ngs, she asked him to watch their ten trunks, while she got a taxi. Some minutes later she returned. Said the husband: "I thought you said there were ten trunks, but I've only counted to nine!" The wife said: "No, they're TEN!" "But I have counted them: 0, 1, 2, .&qu

12、ot; A mathematician, a physicist, and an engineer were traveling through Scotland when they saw a black sheep through the window of the train. "Aha," says the engineer, "I see that Scottish sheep are black." "Hmm," says the physicist, "You mean that some Scottish s

13、heep are black." "No," says the mathematician, "All we know is that there is at least one sheep in Scotland, and that at least one side of that one sheep is black!" §2 拉格朗日插值 一、線性插值 三、n次多項(xiàng)式 四、插值余項(xiàng) 二、二次插值 一、線性插值 1. 線性插值的定義 當(dāng)n 1時(shí)的n次代數(shù)多項(xiàng)式插值稱為線性插值，即：已知在互異點(diǎn)x0, x1處的函數(shù)值f x0 y0

14、, f x1 y1，要構(gòu)造線性函數(shù) L1 x a0+a1x，滿足 L1 xi yi，i 0,1 2. 線性插值的幾何意義 用通過兩點(diǎn) x0, y0 、 x1, y1 的直線y L1 x 近似代替曲線y f x ，如下圖所示。 y L1 x y f x x1 x0 y0 y1 x y o 3. 線性插值公式的推導(dǎo) 根據(jù)直線的點(diǎn)斜式，有 把上式改寫成 稱按如上方法確定的L1 x 為拉格朗日線性插值多項(xiàng)式，其特點(diǎn)為：是兩個(gè)函數(shù)l0 x , l1 x 的線性組合，并且 l0 x , l1 x 具有性質(zhì) 1 都是一次多項(xiàng)式； 2 l0 x0 1, l1 x0 0 l0 x1 0, l1 x1 1 線性插值基函數(shù) 二、二次插值 1. 二次插值的定義 設(shè)給出關(guān)于函數(shù)y f x 在三個(gè)互異點(diǎn)處的函數(shù)值， y0 y1 y2 y x0 x1 x2 x 求 一個(gè)次數(shù)不超過二次的多項(xiàng)式. 這就是二次插值問題 滿足 2. 二次插值的幾何意義 用經(jīng)過三點(diǎn) x0, y0 , x1, y1 , x2, y2 的拋物線y L2 x 近似代替曲線y f x ，如下圖所示。 x y o y f x y L1 x x2 x0 y0 y2 y1 x1 3. 二次插值公式的推導(dǎo) 仿照線性插值多項(xiàng)式的構(gòu)造特點(diǎn)，先對每個(gè)基點(diǎn)xi構(gòu)造一個(gè)二次函數(shù) li x i 0,1,2 ,使?jié)M足 先構(gòu)造l0 x 。