2018幾何問題之中點(diǎn)問題

1、幾何問題之中點(diǎn)問題i掌握三角形的內(nèi)角和定理；2、了解三角形三邊的關(guān)系，并且能進(jìn)行簡單的應(yīng)用；3、學(xué)習(xí)用三角形邊、角的關(guān)系進(jìn)行簡單的計(jì)算和證明;4、學(xué)習(xí)分析問題、解決問題的能力。一、中點(diǎn)有關(guān)聯(lián)想歸類：1、等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三線合一”的性質(zhì)；2、 直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“斜邊上的中線，等于斜邊的一半”；3、 三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三角形的中位線定理”；4、 兩條線段相等，為全等提供條件（遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)時(shí)，常聯(lián)想“八 字型”全等三角形）；5、有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線；6、 有中點(diǎn)時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)面積的一半（中線平分三角形的面積）；7、倍長中線。

2、二、與中點(diǎn)問題有關(guān)的四大輔助線：1、 出現(xiàn)三角形的中線時(shí)，可以延長（簡稱“倍長中線”）；2、出現(xiàn)直角三角形斜邊的中點(diǎn)，作斜邊中線；3、出現(xiàn)三角形邊上的中點(diǎn)，作中位線；4、 出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)，構(gòu)造“三線合一”。三、幾何證明之輔助線構(gòu)造技巧：1 、假如作一條輔助線，能起到什么作用；2、常作那些輔助線能與已知條件聯(lián)系更緊密，且不破壞已知條件。一、基礎(chǔ)回顧1線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做這條線段的中點(diǎn)。2、若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則：1 從線段來看：AC BC AB ；2 從點(diǎn)與點(diǎn)的相對(duì)位置來看：點(diǎn) C在點(diǎn)A、B之間，且點(diǎn)A B關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱。3、三角形的中線：連接三角形的一

3、個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)的邊的中點(diǎn)所得的線段叫做三角形的中 線。 一個(gè)三角形有三條中線； 每條中線平分三角形的面積； 三角形的三條中線交于一點(diǎn)，每條中線被該點(diǎn)（重心）分成1:2的兩段； 三角形的三條中線把三角形分成六個(gè)面積相等的小三角形。二、如何延長三角形的中線1、延長1倍的中線：如圖，線段 AD是 ABC的中線，延長線段 AD至E，使DE AD （即延長1倍的 中線），再連接BE、CE。 總的來說，就可以得到一個(gè)平行四邊形ABCD和兩對(duì)（中心選轉(zhuǎn)型）全等三角形ABD ECD、 ACDEBD，且每對(duì)全等三角形都關(guān)于點(diǎn) D中心對(duì)稱； 詳細(xì)地說，就是可以轉(zhuǎn)移角： BAD CED ， CAD BED ，ABD

4、 ECD， ACD EBD， ADB ECD， ADC EDB ;可以移邊： AB EC , AC EB ；可以構(gòu)造平行線： AB / EC , AC / EB ；可以構(gòu)造邊長與 AB、 AC、AD有關(guān)的三角形：ABE、 ACE。（1 ）延k長倍的中線：（k 0且k 1）如左（右）下圖，點(diǎn) E為 ABC中線AD （ DA延長線）上的點(diǎn)，延長 AD至F，使 ED FD，連接BE、CE、BF、CF .在平行四邊形BFCE中就可以得到類似（1）中 的結(jié)論。注意：通常在已知條件或結(jié)論中測及到與 BE、CE有關(guān)的邊與角時(shí)，會(huì)用這種輔助線.整體做題思路：中線倍長平行四邊形利用性質(zhì)解決問題例題1例1、如圖，

5、 ABC中，AB AC , AD是中線求證： DAC DAB 。例題2AC，例2、如圖，已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE 延長BE交AC于F.求證：AF EF 。例題3例 3、已知 ABC 中，AB 12，AC30，求BC邊上的中線 AD的范圍。1、如圖1，在ABC中，ABAC5 ,BC 6，點(diǎn) M為BC中點(diǎn)，MNAC于點(diǎn)N，則MN等于（）691216A.BC.D.55552、如圖， ABC中,且DEA=90°, D為斜邊BC的中點(diǎn)，E、DF，若 BE 3 , CF4，試求EF的長。3、如圖，在 ABC中，AB> AC , E為BC邊的中點(diǎn)，AD

6、為 BAC的平分線，過 E作AD的平行線，交 AB于F , 交CA的延長線于G。求證：BF CG 。F分別為AB、AC上的點(diǎn),AF4、如圖所示，已知 D為BC中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且AB CE ,求證： 12。備用圖一、出現(xiàn)直角三角形斜邊的中點(diǎn)，作斜邊中線1、如圖，在Rt ABC中， ACB 90°，直角 ACB所對(duì)的邊AB稱為Rt ABC的斜邊, 由 ACB BCA，過點(diǎn)C作CD交AB于點(diǎn)D，且 DAC ACD 。Q DAC ACD , AD CD .Q ACB 90o,BAC ABC 90°,又 Q ACD BCD 90°,BCD ABC ,BD CD ,BD

7、CD AD ,2、發(fā)現(xiàn)線段CD為斜邊AB上的中線，且等于斜邊的一半。3、作斜邊中線，可以構(gòu)造出等腰三角形，從而得到相等的邊、相等的角。4、通常在知道直角三角形斜邊的中點(diǎn)的情況下，想到作斜邊中線這條輔助線。、出現(xiàn)三角形邊上的中點(diǎn)，作中位線 1中位線：連接三角形兩邊的中點(diǎn)所得的線段叫做三角形的中位線；也可以過三角形一邊 的中點(diǎn)作平行于三角形另外一邊交于第三邊所得的線段也是中位線；以上是中位線的兩種作法， 第一種可以直接用中位線的性質(zhì)，第二種需要說明理由為什么是中位線，再用中位線的性質(zhì)且等于第三邊的一半;2、中位線的性質(zhì)：三角形的中位線平行于三角形的第三邊, 3、中位線輔助線能起到的作用: 在線段大

8、小關(guān)系上，三角形的中位線是三角形第三邊的一半，起著傳遞線段長度的功在位置上，三角形的中位線平行三角形的第三邊，起著角的位置轉(zhuǎn)移和計(jì)算角的的功 能。4、通常在以下兩種情況下，會(huì)作中位線輔助線： 有兩個(gè)（或兩個(gè)以上）的中點(diǎn)時(shí)； 有一邊中點(diǎn)，并且已知或求證中涉及到線段的倍分關(guān)系時(shí)。 熟悉以下兩個(gè)圖形：電BA、例4、如圖，在四邊形 ABCD中，AB CD，點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn), CD的延長線分別交 EF的延長線G、H。求證： BGE CHE 。例題5E，連例5、已知：如圖， ABC中，AB AC，在AB上取點(diǎn)D，在AC延長線上取點(diǎn) 結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，若F是DE中點(diǎn)，求證：BD CE 。A例6、如圖， ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AD邊的中點(diǎn)，連結(jié)BE并延長交AC于 點(diǎn)F。求證：FC 2AF。D例題7例 7、如圖 1-1，已知 Rt ABC 中，AB AC，在 Rt ADE 中，AD DE，連結(jié) EC ,取EC中點(diǎn)M，連結(jié)DM和BM，（ 1）若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，如圖1-1，求證：BM DM且BM DM ； （ 2）將圖1-1中的 ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針轉(zhuǎn)小于45°的角，如圖1-2，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請舉出反 例；如果成立，請給予證明。5、如圖,AB DE。ABC中，D是BC邊的中點(diǎn),BE AC于點(diǎn)E，若DAC 30