數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)實驗重慶大學(xué)三

1、開課學(xué)院、實驗室：數(shù)統(tǒng)學(xué)院 實驗時間 ： 2015年10月22日課程名稱數(shù)學(xué)實驗實驗項目名 稱收斂與混沌迭代實驗項目類型驗證演示綜合設(shè)計其他指導(dǎo)教師肖劍成 績實驗?zāi)康?了解迭代過程的圖形表示，分形與混沌學(xué)科等，學(xué)會參數(shù)的靈敏度分析；2 通過范例展現(xiàn)求解實際問題的初步建模過程；通過該實驗的學(xué)習(xí)，觀察非線性方程迭代過程中產(chǎn)生的奇特現(xiàn)象分歧與混沌，學(xué)習(xí)參數(shù)的靈敏度分析，初步了解數(shù)學(xué)建模過程。這對于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念，掌握數(shù)學(xué)的思維方法，熟悉處理大量的工程計算問題的方法具有十分重要的意義。實驗內(nèi)容1函數(shù)迭代序列計算練習(xí)； 2迭代序列動態(tài)行為的圖形描述，探索其規(guī)律；3針對實際問題，試建立數(shù)學(xué)模型，并求

2、解?；A(chǔ)實驗一、問題重述1迭代與分歧對于非線性函數(shù)f(x) = ax(1 -x)的迭代：（1）對于參數(shù)a分別取值于1, 4; 3, 4; 3.8284, 4，作出費根鮑圖。（2）觀察其2-周期的分裂現(xiàn)象，盡可能多地給出分裂出現(xiàn)的的參數(shù)取值。（3）觀察其倍3-周期現(xiàn)象，并總結(jié)類似倍2-周期的規(guī)律。（4）觀察其倍5-周期現(xiàn)象。注意：選取同一個迭代初值，去掉前面若干項；將參數(shù)a的取值間距盡量地減小，以便于發(fā)現(xiàn)和總結(jié)規(guī)律。二、實驗過程 1建立函數(shù)M文件iter.m：function root=iter(x,a)for i=2:200001 x(i)=a*x(i-1)*(1-x(i-1);endroot

3、=x;（1） 寫出程序Untitled1x=; x(1)=0.2;subplot(3,1,1);hold on;for a=1:0.01:4 root=iter(x,a) ;plot(a.*ones(size(root(19951:20000),root(19951:20000),'.')endxlabel('a');ylabel('x'); title('a¡Ê1,4');x=; x(1)=0.2;subplot(3,1,2);hold on;for a=3:0.005:4 root=iter(x,a) ;p

4、lot(a.*ones(size(root(19951:20000),root(19951:20000),'.')endxlabel('a');ylabel('x'); title('a¡Ê3,4');x=; x(1)=0.2;subplot(3,1,3);hold on;for a=3.8284:0.001:4 root=iter(x,a) ;plot(a.*ones(size(root(19951:20000),root(19951:20000),'.')endxlabel('a&#

5、39;);ylabel('x'); title('a¡Ê3.8284,4');運行后得到下圖：（2）同理編程：x=; x(1)=0.2;hold on;for a=2.8:0.01:4 root=iter(x,a) ;plot(a.*ones(size(root(51:100),root(51:100),'.')end得到下圖，通過放大可以看出當(dāng)a=2.96，a=3.44,a=3.54時為2-周期分裂。（3）同理編程：x=; x(1)=0.2;hold on;for a=3.625:0.0005:3.65 root=iter(

6、x,a) ;plot(a.*ones(size(root(19951:20000),root(19951:20000),'.')end得到下圖，從圖中可看出a=3.627是其3-周期分裂點。 （4）同理編輯：x=; x(1)=0.2;hold on;for a=3.736:0.0001:3.746 root=iter(x,a) ;plot(a.*ones(size(root(19951:20000),root(19951:20000),'.')end得到下圖，從圖中可以看出a=3.738是其5-周期分裂點。應(yīng)用實驗（或綜合實驗）一、問題重述種群的數(shù)量（為方便起見

7、以下指雌性）因繁殖而增加，因自然死亡和人工捕獲而減少。記 為第t年初k歲（指滿k-1歲，未滿k歲，下同）的種群數(shù)量，bk為k歲種群的繁殖率（1年內(nèi)每個個體繁殖的數(shù)量），dk為k歲種群的死亡率（1年內(nèi)死亡數(shù)量占總量的比例）， hk為k歲種群的捕獲量（1年內(nèi)的捕獲量）。今設(shè)某種群最高年齡為5歲（不妨認為在年初將5歲個體全部捕獲），b1=b2=b5=0，b3=2，b4=4，d1=d2=0.3，d3=d4=0.2，h1=400，h2=200，h3=150，h4=100。二、問題分析A. 建立xk(t+1)與xk(t)的關(guān)系（k=1,2,t=0,1,），如。為簡單起見，繁殖量都按年初的種群數(shù)量xk(t)

8、計算，不考慮死亡率。B. 用向量表示t年初的種群數(shù)量，用bk和dk定義適當(dāng)?shù)木仃嘗，用hk定義適當(dāng)?shù)南蛄縣，將上述關(guān)系表成 的形式。C. 設(shè)t=0種群各年齡的數(shù)量均為1000，求t=1種群各年齡的數(shù)量。又問設(shè)定的捕獲量能持續(xù)幾年。D. 種群各年齡的數(shù)量等于多少，種群數(shù)量x(t)才能不隨時間t改變。E. 記D的結(jié)果為向量x*, 給x* 以小的擾動作為x(0)，觀察隨著t的增加x(t)是否趨于x*, 分析這個現(xiàn)象的原因。 三、數(shù)學(xué)模型的建立與求解 A.x1(t+1)=b1x1(t)+ b2x2(t)+ b3x3(t)+ b4x4(t)+b5x5(t);X2(t+1)=x1(t)-d1x1(t)_h

9、1;X3(t+1)=x2(t)-d2x2(t)-h2;X4(t+1)=x3(t)-d3x3(t)-h3;X5(t+1)=x4(t)-d4x4(t)-h4;B.x(t)=(x1(t);x2(t);x3(t);x4(t)；x5(t);L=b1 b2 b3 b4 b5;1-d1 0 0 0 0;0 1-d2 0 0 0;0 0 1-d3 0 0;0 0 0 1-d4 0;0 0 0 0 1-d5,h=0;h1;h2;h3;h4,故x(t+1)=Lx(t)-h.由題得b1=b2=b5=0，b3=2，b4=4，d1=d2=0.3，d3=d4=0.2，h1=400，h2=200，h3=150，h4=100

10、。C.t=0時，x1(0)=x2(0)=x3(0)=x4(0)=x5(0)=1000.D.種群數(shù)量不變，即x(t+1)=x(t)，解這個方程組即可。移項后得Lx(t)-x(t)=h.假設(shè)當(dāng)x(t)=x時種群數(shù)量不隨t變化而變化。E. x*,為D中結(jié)果，施與微小擾動，分別按照x(0)=2001;1000;500;250;100和x(0)=1999;1000;500;250;100試驗,帶入進行迭代。四、實驗結(jié)果及分析 C.編程：b1=0;b2=0;b5=0;b3=2;b4=4;d1=0.3;d2=0.3;d3=0.2;d4=0.2;d5=1;h1=400;h2=200;h3=150;h4=100

11、;x=1000;1000;1000;1000;1000;L=b1 b2 b3 b4 b5;1-d1 0 0 0 0;0 1-d2 0 0 0;0 0 1-d3 0 0;0 0 0 1-d4 0;h=0;h1;h2;h3;h4;disp('t=1')x=L*x-hdisp('t=2')x=L*x-hdisp('t=3')x=L*x-h得到如下解：t=1 x = 6000 300 500 650 700t=2 x = 3600 3800 10 250 420t=3 x = 1020 2120 2460 -142 100即第三年出現(xiàn)負數(shù)，只能持續(xù)兩年。

12、D.編程b1=0;b2=0;b5=0;b3=2;b4=4;d1=0.3;d2=0.3;d3=0.2;d4=0.2;d5=1;h1=400;h2=200;h3=150;h4=100;L=b1 b2 b3 b4 b5;1-d1 0 0 0 0;0 1-d2 0 0 0;0 0 1-d3 0 0;0 0 0 1-d4 0;h=0;h1;h2;h3;h4;A=L-eye(size(L);x=Ah得到如下結(jié)果：x = 1.0e+03 * 2.0000 1.0000 0.5000 0.2500 0.1000D.當(dāng)x(0)=2001;1000;500;250;100時，編程b1=0;b2=0;b5=0;b3

13、=2;b4=4;d1=0.3;d2=0.3;d3=0.2;d4=0.2;d5=1;h1=400;h2=200;h3=150;h4=100;L=b1 b2 b3 b4 b5;1-d1 0 0 0 0;0 1-d2 0 0 0;0 0 1-d3 0 0;0 0 0 1-d4 0;h=0;h1;h2;h3;h4;x=2001;1000;500;250;100;for i=1:100 x=L*x-h;enddisp('t=100時')x得到結(jié)果t=100時x = 1.0e+10 * 6.0721 3.2741 1.7655 1.0880 0.6704隨著t的增加x(t)不趨于x*?？梢哉f與x*,有天壤之別。同理，當(dāng)x(0)=2001;1000;500;250;100時，編程b1=0;b2=0;b5=0;b3=2;b4=4;d1=0.3;d2=0.3;d3=0.2;d4=0.2;d5=1;h1=400;h2=200;h3=150;h4=100;L=b1 b2 b3 b4 b5;1-d1 0 0 0 0;0 1-d2 0 0 0;0 0 1-d3 0 0;0 0 0 1-d4 0;h