七年級數學列代數式

1、真誠為您提供優(yōu)質參考資料，若有不當之處，請指正。列代數式 一、本單元教學內容及要求 1在現實情境中進一步理解用字母表示數的意義，掌握用字母表示數，在探索現實世界數量關系的過程中，逐步建立符號意識； 2了解代數式的概念，會列出代數表示簡單的數量關系，掌握代數式的書寫注意事項。 二、學習指導 1代數式 例1下列各式中，哪些是代數式，哪些不是代數式。 (1) (2)a (3) 26+38 (4) s=vt (5) a2+2ab+b2 (6) (7) 2+3=5 (8)3a>4b (9) 5n+2 (10) 2(x-y)+3 分析：用運算符號把數字或表示數的字母連結而成的式子叫做代數式。單獨的一

2、個數或者字母也是代數式，在理解這個定義時，應注意下述幾個問題： （1）運算符號是指加，減，乘，除,乘方和開方（乘方、開方運算以后再講）這六種運算,不再包含其它運算。（2）等號不是運算符號，所以代數式中不允許有等號，同樣不等號“>”或“<”號也不是運算符號。 （3）代數式中可以有指定運算順序的括號，如小括號，中括號和大括號。如2(x-y)+3是代數式。 （4）代數式中可以不同時含有數字或表示數的字母，但數字和表示數的字母都沒有，只含有運算符號，那就不是代數式。 （5）單獨的一個數或字母也是代數式。 （6）注意研究代數式與指定的數集有關系，我們這一章是在有理數集上研究代數式。隨著知識的

3、不斷增加，對代數式的認識也會不斷深入。 （7）(4)題S=Vt是公式，不是代數式；(7)題2+3=5 (8)題3a>4b中分別有“=”、“>”，它們分別表示等式和不等式，也不是代數式。 解：(1) ；(2)a；(3) 26+38；(5) a2+2ab+b2 ；(6) ；(9) 5n+2 ；(10) 2(x-y)+3都是代數式； (4) s=vt，(7) 2+3=5，(8)3a>4b 不是代數式。 點評：本題考查對代數式概念的理解。要注意含有等號和不等號的式子都不是代數式。 2“字母表示數”的意義 （1）從知識上看，用字母表示數體現了算術與代數的本質區(qū)別。 （2）從思維方法上看

4、，用字母表示數體現了直觀形象思維向抽象思維的過渡，是認識上的一個飛躍。 （3）用字母表示數具有兩個特點： 第一，不確定性：字母表示數但并不代表某一個具體的數。例如字母a可以表示任意數，這反映了特殊與一般的關系。 第二，抽象性：用字母表示數，是數的概念的發(fā)展，是更高層次上的抽象，這反映了現象與本質的關系。 從確定的數到字母表示數，是數學方法由低級向高級，從具體到抽象，由特殊到一般的過渡，是學習代數的重要方法，應在學習中逐步體會。從算術到代數的過渡，就是要完成字母表示數的過程，在這個過程中要不斷地擺脫具體數字概念的束縛，才能提高概括水平。 例2填空： （1）y×7 用代數式表示一般要寫成

5、_； （2）長方形的面積是acm2，它的寬是bcm，那么它的長是_cm，周長是_cm； （3）某校同學向希望工程捐獻圖書，其中有m個人每人捐獻4本書，有n個人每人捐獻a本書，那么他們一共捐獻圖書_本； （4）一批冰箱原價每臺售價m元，現在八折出售，出售了9臺，銷售額為_元。 解：(1) y，或 ·y或 ； (2) , 2(b+ )； (3) (4m+an)； (4) 9× m, 或9×80%m。 點評：本題考查書寫代數式。這類問題的關鍵是準確理解題意，明確運算關系及運算順序。書寫代數式時要注意以下幾點： 在同一個式子中，不同的字母表示不同的數，相同的字母表示相同的

6、數。 在同一個問題中，不同的量必須用不同的字母表示。如長方形的長和寬必須用不同的字母來表示。 在數字和表示數的字母相乘時，乘號可以省略，但要把數字因數寫在字母因數的前面。若字母因數是帶分數，通常要化成假分數。如(1)題y×7 寫成 y或 。 在含有字母的除法中，一般不用“÷”號，而寫成分數形式如(2)題中，長方形的長為 不寫成a÷b的形式。1÷a寫成 等。 列代數式時不寫單位名稱，單位名稱在答案中寫出來，如果代數式是乘、除關系，單位名稱寫在式子后面，如(2)題中 cm,(4)題中9× m元等；如果代數式是加，減關系，必須把代數式用括號括起來以后

7、再寫單位名稱，如(3)題中的(4m+an)本. 在不同的問題中，要注意字母的取值范圍。如(3)中n, m, a均為自然數。 例3選擇題（只有一個答案正確） 下列各式中表示方法符合代數式書寫要求的是（ ） A、xy÷3 B、a×15b C、1 ×xy2 D、 分析：用書寫代數式應遵循的一般要求進行檢驗，A、B、C均不符合要求。 解：應選擇D。 例4說出下列代數式的意義： (1) 3a-b (2)3(a-b) (3) a2-b2 (4) (a+b)(a-b) (5) (6) 3-a2 (7) 3a2 (8) a- 解： (1)3a與b的差；或3a減去b的差；或a的3倍

8、減去b；或a的3倍與b的差； (2)3與a-b的積；或a減去b的差的3倍；或a與b的差的3倍； (3)a與b的平方差；或a的平方減去b的平方的差，或a的平方與b的平方的差或a，b兩個數的平方差； (4)a，b兩個數的和與這兩個數的差的積； (5)x除以ab的商，或x比ab (6)3與a2的差；或3減去a的平方的差； (7)a的平方的3倍或3乘以a的平方； (8)a減去 的差；或a與1除以a的商的差；或a與a的倒數的差。 例5用代數式表示： (1)a的平方與b的2倍的差； (2)m與n的和的平方與m與n的積的和； (3) x的三分之二與y的一半的差； (4)比 a除b的商的2倍小4的數。 解：(

9、1) a2-2b (2) (m+n)2+mn (3) x- y (4) -4 點評：例4，例5類型不論是說出代數式的意義還是用代數式表示，都要認真審題，弄清題目中表示的有關的數量關系和運算順序，要抓住關鍵詞語，如和（加），差（減），積（乘），商（除），大，小，多，少，倍，幾分之幾，倒數，平方，立方，增加到，增加了等詞語的意義。 要注意題目中的“的”字的作用：如例5(1)題中共有3個“的”字，這三個“的”字把題目分成了三段：a的平方記作a2；b的2倍記作2b；把a的平方與b的2倍的差記作a2-2b。列代數式抓住“的”字把句子分成幾個層次，逐層分析，一步步列出代數式。 注意“除”與“除以”的意義是

10、不同的，a除b就是b除以a的意思，表示為 ，a除b的商的2倍可記作2× 寫成 。 例6用代數式表示： (1) 偶數，奇數；(2)三個連續(xù)整數；(3)被2除商m余3的數 解：(1)2n, 2n+1或2n-1 (n為整數) (2)n, n+1, n+2 (n為整數) (3) 2m+3 (m為整數) 點評：在處理整數，整除問題時，注意列出的代數式中字母的取值范圍。要在代數式后面特別指明 三個連續(xù)整數也可以設中間整數為x，那么表示為x-1, x, x+1； 也可以設最大的一個整數為n，它們表示為n-2, n-1,n. 注意連續(xù)整數間數差為1 被除數=除數×商+余數，(3)題實質上求

11、的是被除數。 例7說出下列各組代數式的意義有什么不同。 (1) 2(a+b),2a+b,a+2b (2) a2- , (a2-b2),( )2 解法：(1) 2(a+b)是a與b的和的2倍； 2a+b是a的2倍與b的和； a+2b是a與b的2倍的和。 (2) a2- 是a2與b2的一半的差； (a2-b2)是a, b兩數平方差的一半； ( )2是a, b兩數差的一半的平方 點評：注意理解運算順序，如“和的積”和“積的和”運算順序不同，前者是先和后積，后者是先積后和，又如“兩數平方差”和“兩數差的平方”運算順序也不同，前者是先平方后差，式子是a2-b2，而后者是先做差后平方，式子是(a-b)2。

12、 例8一個兩位數，十位上的數字為a，且十位上的數比個位上數大3，試用含a的代數式表示個位上的數和這個兩位數。 分析：此類問題首先要弄清兩位數是怎么回事，例如36這個兩位數十位上的數是3，個位上的數是6，36=3×10+6，兩位數=十位上的數×10+個位上的數，三位數=百位上的數×100 +十位數上的數×10+個位上的數 解法：個位上的數為a-3，這個兩位數為10a+(a-3) 例9一個三位數的百位數字是5，十位數字為a，個位數字為b ,這個三位數為_，把它的三位數字顛倒過來，這個三位數為_。 解法：500+10a+b, 100b+10a+5. 例10x表

13、示一個三位數，y表示一個兩位數，如果把x放在y的左邊，組成一個五位數，試表示這個五位數。 分析：要想把x放在y的左邊組成一個五位數，由于x表示一個三位數，y是一個兩位數，需將x乘以100成為五位數，100x實質上是后兩位為0的五位數，再加上y這個兩位數，即成所求的五位數。 解法：這個五位數為100x+y。 例11甲、乙兩地之間公路全長為100千米，某人從甲地到乙地每小時走v千米，用代數式表示： （1）某人從甲地到乙地需要走多少小時？ （2）若每小時減少2千米，需要多少小時？ （3）減速后比原來慢多少小時？ 分析：這個實際問題是研究距離，速度與時間的關系，屬于行程問題。它的基本關系是：距離=速度

14、×時間或者速度= ，時間= ，按照這個關系來具體分析本題不難找出它們的代數式。 解法：（1）某人從甲地到乙地需要走 小時 （2）若每小時速度減少2千米，此時速度為（v-2）千米，需要走 小時。 （3）減速后比原來慢（ - ）小時。 例12用代數式表示下列問題的答案。 （1）甲，乙二人從同一地點出發(fā)，甲每小時走akm，乙每小時走bkm，（b<a），用代數式表示： 反向行走t小時，兩人相距多少km? 同向行走t小時，兩人相距多少km？ 反向行走，甲比乙早出發(fā)m小時，乙走n小時，兩人相距多少km? 同向行走，甲比乙晚出發(fā)m小時，乙走n小時(n>m)兩人相距多少km? 解法及分析

15、：本題是行程問題 兩人從同一地點出發(fā)，反向而行，t小時后兩人之間的距離為兩人所走路程之和。得(a+b)tkm或(at+bt)km 二人從同一地點出發(fā)，同向而行，t小時后兩人之間的距離為兩人所走路之差得(a-b)tkm或(at-bt)km. 反向而行，甲比乙早出發(fā)m小時，故甲先走makm，然后甲，乙又同時走n小時，分別走nakm, nbkm，這時兩人之間的距離為他們所走的路之和。得（ma+na+nb）km，或者為ma+n(a+b)km或(m+n)a+nbkm. 同向而行，乙走n小時(n>m)乙走距離為nbkm, 甲比乙晚出發(fā)m小時，那么甲走的路程為(n-m)akm，甲，乙兩人同向而行，兩人

16、之間的距離為二人所走路程之差。 當(n-m)a<nb時，得nb-(n-m)akm. 當(n-m)anb時得(n-m)a-nbkm. （2）一項工程，甲隊單獨完成需用a天，乙隊單獨完成用b天，若兩隊全做， 完成這項工程共需多少天？ 解法與分析：本題是工程問題，工程問題的特點是把完成整個工程看作1。甲隊單獨完成需用a天，則甲隊每天完成工程的 ，乙隊單獨完成需用b天，則乙隊每天完成工程的 ，甲，乙兩人合作一天能完成工程的 + 。工程問題的基本關系是：工作量=工作效率×工作時間，或者效率= ，時間= 。 因為甲，乙兩人合作一天能完成工程的 + 即合作的效率，工作量為1，由基本關系可得完

17、成這項工程所需時間為 天。 （3）某輪船在靜水中的速度為vkm/時，水流速度為dkm/時，求這艘輪船在相距skm的兩個碼頭間往返一次所需時間。 解法與分析：本題為行程問題的特殊問題，它的特點是上游船速=靜水船速-水速；下游船速=靜水船速+水速。這艘船在相距skm的兩個碼頭間往返一次，若去時是下游，則返程為上游；若去時是上游，則返程是下游。故輪船往返一次為上游，下游各一次。上游船速為v-d，下游船速為v+d。 所以輪船往返一次所花的時間為( + )小時 （4）m畝地，畝產水稻a千克，n畝地畝產水稻b千克，求這些地平均畝產量。 分析：本題為平均數問題，其特點為：平均數= 解法：總產量為(ma+nb

18、)千克，總畝數為(m+n)畝 平均畝產量為 千克。  反饋練習1.每包書有12冊，n包書有_冊；（ ） A、12+n B、12n C、12 D、n 2.溫度由t下降2后是_；（ ） A、t+2 B、(t-2) C、2t D、t-2 3.棱長是a厘米的正方體的體積是_立方厘米（ ） A、a2 B、a3 C、2a D、3a 4.產量由m千克增長10%，就達到_千克（ ） A、m+10%B、m-10%C、(1+10%)mD、(1-10%)m 5. 可以表述為（ ） A、c除以ab的商 B、c除a乘b C、c除a乘以b D、c除以ab的倒數 6.a2+b2 可表述為（ ） A、a的平方與b的

19、和B、a加 b的平方 C、a 的平方與b的平方的和 D、a的兩倍與b 的兩倍的和 7.m與n的和除以10的商( ) A、m+ B、 C、 D、 8.m與5n的差的平方；( ) A、m2-5n2 B、m-5n2 C、(m-5n)2D、m2-5n 9.a,b兩數的平方差除以a與b的差的平方的商用代數式表示為（ ）A、 B、 C、 D、 10.下面各題后面的代數式中錯誤的是（ ） A、a的3倍與b的2倍的和為3a+2b B、a除以b的商與2的差的平方為( -2)2 C、a,b兩數和，乘以a,b兩數差為(a+b)(a-b) D、a與b的和的 為a+ b 答案： 1、B 2、B 3、B 4、C5、A 6

20、、C 7、B 8、C 9、A 10、D 分析：用代數式表示用語言敘述的數量關系要注意：弄清代數式中括號的使用；字母與數字做乘積時，習慣上數字要寫在字母的前面.  中考解析代數式 考點掃描: 1掌握用字母表示數的意義 2了解代數式的概念，能用語言準確表達代數式所表示的數學意義 名師精講: 1用字母表示數的意義：用字母表示數是代數的一個重要特點，它的優(yōu)點在于能簡明、扼要、準確地把數和數之間的關系表示出來，深刻地揭示數量之間的聯系，為我們學習數學和應用數學帶來方便 2代數式的概念：用字母表示數以后，出現了一些用運算符號把數和表示數的字母連接起來的式子，我們把它們稱為代數式單個的數字或字母也

21、可以看作代數式 注意：數與數之間、數與字母之間、字母與字母之間的運算符號是指加、減、乘、除、乘方及以后將學到的開方運算符號，但不包括=、<、>、等表示數量關系的關系符號凡帶有關系符號的式子都不是代數式 3代數式的書寫形式： （1）數字與字母、字母與字母相乘時，乘號可以省略不寫或用“·”代替省略乘號時，數字因數要寫在字母因數前面，數字是帶分數時要改寫成假分數；數字與數字相乘仍用“×”號 （2）代數式中出現除法運算時，一般要寫成分數的形式 （3）用代數式表示某一個量時，代數式后面帶有單位，如果代數式是和、差形式，要用括號把代數式括起來 4用語言表達代數式的數學意義時

22、，既要正確表達式子中所含有代數運算以及它們的運算順序，又要注意語言的簡練準確 說明：本節(jié)知識是一些概念性的知識，是以后學習整式、分式、無理式、方程等概念的基礎，在中考中較少單獨命題 列代數式 考點掃描: 會用代數式表示簡單的數量關系 名師精講: 列代數式就是把問題中的表示數量關系的語言用代數式表示出來 列代數式時需要注意： （1）認真審題，分析問題中的數量關系，正確理解問題中的一些關鍵性術語，如“和、差、積、商、倍、幾分之幾、大、小、多、少、提高了、提高到”等 （2）要注意題目的語言敘述表示的運算順序，按“先讀的先算”（寫）的原則，逐步列出代數式 （3）根據問題中的運算順序，適當添加括號 中考

23、典例: 1（黑龍江省哈爾濱市）我國政府為解決老百姓看病難的問題，決定下調藥品價格某種藥品在1999年漲價30%后，2001年降價70%至a元，則這種藥品在1999年漲價前的價格為_元 考點：列代數式 評析：因為該藥品經過兩次調價后的價格是a元，而所求的問題是第一次調價前的價格，可用逆向思維的方法來解：因為2001年降價70%至a元，所以降價前的價格應為 ，用同樣的方法可列出第一次調價前的價格為 ÷(1+30%)整理得 2（安徽?。┠骋粝裆鐚ν獬鲎夤獗P的收費方法是：每張光盤在租出后的頭兩天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一張光盤在租出的第n天（n是大于2的自然數）應收租金_元

24、考點：列代數式 評析：因為租出的第n天中包括前兩天，所以每天收0.5元的天數應是n-2，那么第n天應收的租金為1.6+0.5(n-2)整理為0.6+0.5n 說明：解答該題時一定要注意條件，n是大于2的自然數 3（福建福州）觀察下列各式：12+1=1×2，22+2=2×3, 32+3=3×4， 請你將猜想到的規(guī)律用自然數n(n1)表示出來_ 考點：列代數式的運用 評析：該題是通過觀察尋找規(guī)律，用代數式表示所得規(guī)律的問題，這是近年中考命題的熱點問題，目的是考查學生觀察分析及探究的能力通過觀察分析，該題的左邊是一自然數的平方加上這個自然數，右邊是這個自然數與下一個自然

25、數的積，所以其規(guī)律用自然數n（n1）來表示應為：n2+n=n(n+1) 4（北京東城區(qū)）第二十屆電視劇飛天獎今年有a部作品參賽，比去年增加了40%還多2部設去年參賽的作品有b部，則b是：（ ） A、 B、a(1+40%)+2C、 D、a(1+40%)-2 考點：列代數式 評析：因為去年的作品是b部，增加40%后的作品為b(1+40%)，而今年又比去年增加后的作品多2部，所以今年的作品為a=b(1+40%)+2，所以去年的作品 應選C 選項A是把多的2部當作了去年增加后比今年多2部，選項B、D是把a當作b去理解了，所以都是錯誤的 真題專練: 1（吉林?。┯幸豢脴涿?，剛栽下去時，樹高21米，以后每

26、年長03米，則n年后的樹高為(_)米 2（黑龍江省哈爾濱市）“買單價c元的球拍n個, 付出450元，應找多少錢？”用代數式表示為：_ 3（湖南長沙）用代數式表示：x的2倍加上3_ 4（安徽?。┤鐖D是2002年6月份的日歷，現用一矩形在日歷中任意框出4個數 ，請用一個等式表示a、b、c、d之間的關系：_ 5（云南?。゛的2倍與b的差，用代數式表示是_ 6（鎮(zhèn)江市）用代數式表示“比a的平方的2倍小1的數”為（） A、2a2-1 B、(2a)2-1 C、2(a-1)2 D、(2a-1)2 7（廣西壯族自治區(qū)）某種品牌的彩電降價30%以后，每臺售價為a元，則該品牌彩電每臺的原價是（ ） A、07a元

27、B、03a元 C、 元 D、 元 8（福州市）隨著計算機技術的迅猛發(fā)展，電腦價格不斷降低，某品牌的電腦按原價降低m元后又降20%，現售價為n元，那么該電腦的原售價為（ ） A、( n+m)元 B、( n+m)元 C、(5m + n)元 D、(5n +m)元 答案：1、0.3n+2.1 2、(450-nc)元 3、2x+3 4、a+d=b+c或b-a=d-c或d-b=c-a5、2a-b 6、 7、D 8、B 課外拓展最早的數學算術 算術是數學中最古老、最基礎和最初等的部分，它研究數的性質及其運算。 “算術”這個詞，在我國古代是全部數學的統(tǒng)稱。至于幾何、代數等許多數學分支學科的名稱，都是后來很晚的

28、時候才有的。 國外系統(tǒng)地整理前人數學知識的書，要算是希臘的歐幾里得的幾何原本最早。幾何原本全書共十五卷，后兩卷是后人增補的。全書大部分是屬于幾何知識，在第七、八、九卷中專門討論了數的性質和運算，屬于算術的內容。 現在拉丁文的“算術”這個詞是由希臘文的“數和數(音屬，sh三聲)數的技術”變化而來的?！八恪弊衷谥袊墓乓庖彩恰皵怠钡囊馑?，表示計算用的竹籌。中國古代的復雜數字計算都要用算籌。所以“算術”包含當時的全部數學知識與計算技能，流傳下來的最古老的九章算術以及失傳的許商算術和杜忠算術，就是討論各種實際的數學問題的求解方法。 關于算數的產生，還是要從數談起。數是用來表達、討論數量問題的，有不同類

29、型的量，也就隨著產生了各種不同類型的數。遠在古代發(fā)展的最初階段，由于人類日常生活與生產實踐中的需要，在文化發(fā)展的最初階段就產生了最簡單的自然數的概念。 自然數的一個特點就是由不可分割的個體組成。比如說樹和羊這兩種事物，如果說兩棵樹，就是一棵再一棵；如果有三只羊，就是一只、一只又一只。但不能說有半棵樹或者半只羊，半棵樹或者半只羊充其量只能算是木材或者是羊肉，而不能算作樹和羊。 因為僅有自然數不足以解決生活和生產中常見的分份問題，因此數的概念產生了第一次擴張。分數是對另一種類型的量的分割而產生的。比如，長度就是一種可以無限地分割的量，要表示這些量，就只有用分數。從已有的文獻可知，人類認識自然數和分

30、數的歷史是很久的。比如約公元前2000年流傳下來的古埃及萊茵德紙草書就記載有關于分數的計算方法。中國殷代遺留下來的甲骨文中有很多自然數，最大的數字是三萬，并且全部是應用十進位制的位置計數法。 自然數和分數都具有不同的性質，數和數之間也有不同的關系，計算這些數，就產生了加、減、乘、除的方法，這四種方法就是四則運算。 把數和數的性質、數和數之間的四則運算在應用過程中的經驗累積起來，并加以整理，就形成了最古老的一門數學算術。 在算術的發(fā)展過程中，由于實踐和理論上的要求，提出了許多新問題，在解決這些新問題的過程中，古算術從兩個方面得到了進一步的發(fā)展。 一方面在研究自然數四則運算中，發(fā)現只有除法比較復雜

31、，有的能除盡，有的除不盡，有的數可以分解，有的數不能分解，有些數有大于的公約數，有些數沒有大于的公約數。為了尋求這些數的規(guī)律，從而發(fā)展成為專門研究數的性質、脫離了古算術而獨立的一個數學分支，叫做整數論，或叫做初等數論，并在以后又有新的發(fā)展。 另一方面，在古算術中討論各種類型的應用問題，以及對這些問題的各種解法。在長期的研究中，很自然地就會啟發(fā)人們尋求解這些應用問題的一般方法。也就是說，能不能找到一般的更為普遍適用的方法來解決同樣類型的應用問題，于是發(fā)明了抽象的數學符號，從而發(fā)展成為數學的另一個古老的分支，這就是初等代數。 數學發(fā)展到現在，算術不再是數學的一個分支，通常提到算術，只是作為小學里的

32、一個數學科目。小學里設這門課的目的是要使學生理解和掌握數量關系和空間形式的最基礎的知識，能夠正確、迅速地進行整數、小數、分數的四則運算，初步了解現代數學中的一些最簡單的思想，具有初步的邏輯思維能力和空間觀念。 現代小學數學的具體內容，基本上還是古代算術的知識，也就是說，古代算術和現代算術的許多內容上是相同的。不過現代算術和古代算術也還存在著區(qū)別。 首先，算術的內容是古代的成人包括數學家所研究的對象，現在這些內容已變成了少年兒童的數學。 其次，在現代小學數學里，總結了長期以來所歸結出來的基本運算性質，就是加法、乘法的交換律和結合律，以及乘法對加法的分配律，這五條基本運算定律，不僅是小學數學里所學習的數的運算的重要性質，也是整個數學里，特別是代數學里著重研究的主要性質。 第三，在現代的小學數學里，還孕育著近代數學里的集合和函數等數學基礎概念的思想。比如，和、差、積