（整理版）課時作業(yè)(五十六)

1、課時作業(yè)(五十六)(第二次作業(yè))1如右圖所示，在棱長為2的正方體abcda1b1c1d1中，o是底面abcd的中心，e、f分別是cc1、ad的中點(diǎn)，那么異面直線oe和fd1所成的角的余弦值等于()a.b.c. d.答案b解析此題考查空間向量的運(yùn)算設(shè)正方體的邊長為2，建立如右圖所示的坐標(biāo)系，o(1,1,0)，e(0,2,1)，f(1,0,0)，d1(0,0,2)，(1,0,2)，(1,1,1)cos，.2.以等腰rtabc的斜邊bc上的高ad為折痕，將abc折起(如圖)，使折起后的abc恰好為等邊三角形m為高ad的中點(diǎn)，那么直線ab與cm所成角的余弦值為()a. b.c. d答案c解析設(shè)直角邊a

2、bac2，那么bc2.取bd中點(diǎn)n，連接mn，那么mnab，所以nmc即為所求mnab1，mcnc，在ncm中，由余弦定理可得cosnmc.3正方體abcda1b1c1d1中，e、f分別是正方形add1a1和abcd的中心，g是cc1的中點(diǎn)，設(shè)gf、c1e與ab所成的角分別為、，那么等于()a120° b60°c75° d90°答案d解析建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2.b(2,0,0)，a(2,2,0)，g(0,0,1)，f(1,1,0)，c1(0,0,2)，e(1,2,1)那么(0,2,0)，(1,1，1)，(1,2，1)cos，cos，.cos，c

3、os，sin，90°，應(yīng)選d.4如下圖，點(diǎn)p在正方體abcdabcd的對角線bd上，pda60°.(1)求dp與cc所成角的大小；(2)求dp與平面aadd所成角的大小解析如下圖，以d為原點(diǎn)，da為長度建立空間直角坐標(biāo)系dxyz.那么(1,0,0)，(0,0,1)連接bd，bd.在平面bbdd中，延長dp交bd于h.設(shè)(m，m,1)(m>0)，由，60°，由·|cos，可得2m.解得m，所以(，1)(1)因?yàn)閏os，所以，45°，即dp與cc所成的角為45°.(2)abcdabcd為正方體，cd平面ad.為平面ad的一個法向量，

4、(0，1,0)又(，1)，cos，.dp與平面aadd所成角為30°.5.長方體abcda1b1c1d1，ab2，aa11，直線bd與平面aa1b1b所成的角為30°，ae垂直bd于點(diǎn)e，f為a1b1的中點(diǎn)(1)求異面直線ae與bf所成角的余弦值；(2)求平面bdf與平面aa1b所成二面角(銳角)的余弦值解析(1)分別以ab，ad，aa1為x，y，z軸建系ad平面abb1a1，bd與平面aa1b1b夾角為30°，dba30°.aebd，e(，0)，b(2,0,0)，f(1,0,1)(，0)，(1,0,1)，cos·.ae與bf所成角的余弦值為.

5、(2)(1,0,1)，(2，0)，平面bdf法向量a(1，1)，平面aa1b法向量b(0,1,0)，cosa，b.平面bdf與平面aa1b所成二面角的余弦值為.6(·石家莊質(zhì)檢)四棱錐abcde的正視圖和俯視圖如下，其中俯視圖是直角梯形(1)假設(shè)正視圖是等邊三角形，f為ac的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)m在棱ad上移動時，是否總有bfcm，請說明理由；(2)假設(shè)平面abc與平面ade所成的銳二面角為45°.求直線ad與平面abe所成角的正弦值解析(1)由俯視圖可知平面abc平面ebcd.又bc2，o為bc中點(diǎn)，be1，cd2.abc為等邊三角形，f為ac中點(diǎn)，bfac.又平面abc平面ebc

6、d，且dcbc，dc平面abc，dcbf.又accdc，bf平面acd.bfcm.(2)以o為原點(diǎn)，為x軸，為z軸建系b(1,0,0)，c(1,0,0)，e(1,1,0)，d(1,2,0)設(shè)a(0,0，a), 由題意可知平面abc的法向量為(0,1,0)設(shè)平面ade法向量n(x，y，z)(2,1,0)，(1，1，a)，令x1，y2，z.n(1，2，)|cos|，解得a.由線面角向量知識，可得sin.7(·全國新課標(biāo)理)如圖，四棱錐pabcd中，底面abcd為平行四邊形，dab60°，ab2ad，pd底面abcd.(1)證明：pabd；(2)假設(shè)pdad，求二面角apbc的余

7、弦值解析(1)因?yàn)閐ab60°，ab2ad，由余弦定理，得bdad.從而bd2ad2ab2，故bdad.又pd底面abcd，可得bdpd.所以bd平面pad.故pabd.(2)如圖，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，ad的長為長，射線da為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系dxyz，那么a(1,0,0)，b(0，0)，c(1，0)，p(0,0,1)(1，0)，(0，1)，(1,0,0)設(shè)平面pab的法向量n(x，y，z)，那么即因此可取n(，1，)設(shè)平面pbc的法向量為m，那么可取m(0，1，)，那么cosm，n.故二面角apbc的余弦值為.8(·浙江)如圖，在側(cè)棱垂直底面的四棱柱abcda1b

8、1c1d1中，adbc，adab，ab，ad2，bc4，aa12，e是dd1的中點(diǎn)，f是平面b1c1e與直線aa1的交點(diǎn)(1)證明：efa1d1；ba1平面b1c1ef；(2)求bc1與平面b1c1ef所成的角的正弦值解析(1)證明：因?yàn)閏1b1a1d1，c1b1平面add1a1，所以c1b1平面a1d1da.又因?yàn)槠矫鎎1c1ef平面a1d1daef，所以c1b1ef，所以a1d1ef.因?yàn)閎b1平面a1b1c1d1，所以bb1b1c1.又因?yàn)閎1c1b1a1，所以b1c1平面abb1a1.所以b1c1ba1.在矩形abb1a1中，f是aa1的中點(diǎn)，tana1b1ftanaa1b，即a1b1

9、faa1b，故ba1b1f.所以ba1平面b1c1ef.(2)設(shè)ba1與b1f交點(diǎn)為h，連接c1h.由(1)知ba1平面b1c1ef，所以bc1h是bc1與面b1c1ef所成的角在矩形aa1b1b中，ab，aa12，得bh.在直角bhc1中，bc12，bh，得sinbc1h.所以bc1與平面b1c1ef所成角的正弦值是.9(·江西)在三棱柱abca1b1c1中，abacaa1，bc4，點(diǎn)a1在底面abc的投影是線段bc的中點(diǎn)o.(1)證明在側(cè)棱aa1上存在一點(diǎn)e，使得oe平面bb1c1c，并求出ae的長；(2)求平面a1b1c與平面bb1c1c夾角的余弦值解析(1)證明：連接ao，在

10、aoa1中，作oeaa1于點(diǎn)e.因?yàn)閍a1bb1，得oebb1.因?yàn)閍1o平面abc，所以a1obc.因?yàn)閍bac，oboc，得aobc.所以bc平面aa1o，所以bcoe.所以oe平面bb1c1c.又ao1，aa1，得ae.(2)如圖，分別以oa，ob，oa1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，那么a(1,0,0)，b(0,2,0)，c(0，2,0)，a1(0,0,2)由，得點(diǎn)e的坐標(biāo)是(，0，)由(1)得平面bb1c1c的法向量(，0，)設(shè)平面a1b1c的法向量n(x，y，z)，由得令y1，得x2，z1，即n(2,1，1)所以cos，n.即平面bb1c1c與平面a1b1c的夾角的余

11、弦值是.1(·石家莊質(zhì)檢)如圖，在多面體abcdef中，abcd為菱形，abc60°，ec平面abcd，fa平面abcd，g為bf的中點(diǎn)，假設(shè)eg平面abcd.(1)求證：eg平面abf；(2)假設(shè)afab，求二面角befd的余弦值解析(1)取ab的中點(diǎn)m，連接gm，mc，g為bf的中點(diǎn)，gmfa.又ec平面abcd，fa平面abcd，ceaf，cegm.平面cegm平面abcdcm，eg平面abcd，egcm.在正三角形abc中，cmab，又afcm，egab，egaf.eg平面abf.(2)連接ac，bd，且交點(diǎn)為o.以o為原點(diǎn)，為x軸，為y軸建系b(，0,0)，e(0

12、,1,1)，f(0，1,2)，d(，0,0)(0，2,1)，(，1，1)，(，1,1)設(shè)平面bef法向量n1(x，y，z)，那么令y1，那么z2，x.n1(，1,2)同理可求平面def法向量n2(，1,2)設(shè)所求二面角平面角為，那么cos.2(·福建)如圖，在長方體abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e為cd中點(diǎn)(1)求證：b1ead1；(2)在棱aa1上是否存在一點(diǎn)p，使得dp平面b1ae？假設(shè)存在，求ap的長；假設(shè)不存在，說明理由解析(1)以a為原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)設(shè)aba，那么a(0,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1

13、,1)，e(，1,0)，b1(a,0,1)故(0,1,1)，(，1，1)，(a,0,1)，(，1,0)·×01×1(1)×10，b1ead1.(2)假設(shè)在棱aa1上存在一點(diǎn)p(0,0，z0)，使得dp平面b1ae.此時(0，1，z0)又設(shè)平面b1ae的法向量n(x，y，z)n平面b1ae，n，n，得取x1，得平面b1ae的一個法向量n(1，a)要使dp平面b1ae，只要n，有az00，解得z0.又dp平面b1ae，存在點(diǎn)p，滿足dp平面b1ae，此時ap.(3)連接a1d，b1c，由長方體abcda1b1c1d1及aa1ad1，得ad1a1d.b1ca1

14、d，ad1b1c.又由(1)知b1ead1，且b1cb1eb1，ad1平面dcb1a1.是平面a1b1e的一個法向量，此時(0,1,1)設(shè)與n所成的角為，那么cos.二面角ab1ea1的大小為30°，|cos|cos30°，即，解得a2，即ab的長為2.3(·浙江)如圖，在四棱錐pabcd中，底面是邊長為2的菱形，bad120°，且pa平面abcd，pa2，m，n分別為pb，pd的中點(diǎn)(1)證明：mn平面abcd；(2)過點(diǎn)a作aqpc，垂足為點(diǎn)q，求二面角amnq的平面角的余弦值解析(1)證明：因?yàn)閙，n分別是pb，pd的中點(diǎn)，所以mn是pbd的中位線

15、所以mnbd.又因?yàn)閙n平面abcd，所以mn平面abcd.(2)方法一連接ac交bd于o，以o為原點(diǎn)，oc，od所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系oxyz，如下圖在菱形abcd中，bad120°，得acab2，bdab6.又因?yàn)閜a平面abcd，所以paac.在直角pac中，ac2，pa2，aqpc，得qc2，pq4.由此知各點(diǎn)坐標(biāo)如下，a(，0,0)，b(0，3,0)，c(，0,0)，d(0,3,0)，p(，0,2)，m(，)，n(，)，q(，0，)設(shè)m(x，y，z)為平面amn的法向量由(，)，(，)，知取z1，得m(2，0，1)設(shè)n(x，y，z)為平面qmn的法向量由(，

16、)，(，)，知取z5，得n(2，0,5)于是cosm，n.所以二面角amnq的平面角的余弦值為.方法二在菱形abcd中，bad120°，得acabbccdda，bdab.又因?yàn)閜a平面abcd，所以paab，paac，paad.所以pbpcpd.所以pbcpdc.而m，n分別是pb，pd的中點(diǎn)，所以mqnq，且am pbpdan.取線段mn的中點(diǎn)e，連接ae，eq，那么aemn，qemn.所以aeq為二面角amnq的平面角由ab2，pa2，故在amn中，aman3，mnbd3，得ae.在直角pac中，aqpc，得aq2，qc2，pq4.在pbc中，cosbpc，得mq.在等腰mqn中

17、，mqnq，mn3，得qe.在aeq中，ae，qe，aq2，得cosaeq.所以二面角amnq的平面角的余弦值為.4.如圖，在三棱錐pabc中，pa底面abc，paab，abc60°，bca90°，點(diǎn)d，e分別在棱pb，pc上，且debc.(1)求證：bc平面pac；(2)當(dāng)d為pb的中點(diǎn)時，求ad與平面pac所成的角的余弦值；(3)是否存在點(diǎn)e使得二面角adep為直二面角？并說明理由解析方法一(1)pa底面abc，pabc.又bca90°，acbc，bc平面pac.(2)d為pb的中點(diǎn)，debc，debc.又由(1)知，bc平面pac，de平面pac，垂足為點(diǎn)e

18、.dae是ad與平面pac所成的角pa底面abc，paab.又paab，abp為等腰直角三角形adab.在rtabc中，abc60°.bcab.rtade中，sindae.cosdae.(3)debc，又由(1)知，bc平面pac，de平面pac.又ae平面pac，pe平面pac，deae，depe.aep為二面角adep的平面角pa底面abc，paac，pac90°.在棱pc上存在一點(diǎn)e，使得aepc.這時，aep90°.故存在點(diǎn)e使得二面角adep是直二面角方法二如圖，以a為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系axyz.設(shè)paa，由可得a(0,0,0)，b(a，a,0)，c

19、(0，a,0)，p(0,0，a)(1)(0,0，a)，(a,0,0)，·0，bcap.又bca90°，bcac.bc平面pac.(2)d為pb的中點(diǎn)，debc，e為pc的中點(diǎn)d(a，a，a)，e(0，a，a)又由(1)知，bc平面pac，de平面pac，垂足為點(diǎn)e.dae是ad與平面pac所成的角(a，a，a)，(0，a，a)，cosdae.(3)同方法一5等腰直角三角形rbc，其中rbc90°，rbbca、d分別是rb、rc的中點(diǎn)，現(xiàn)將rad沿著邊ad折起到pad位置，使paab.(1)求證：bcpb；(2)求二面角acdp的余弦值解析(1)點(diǎn)a、d分別是rb、rc的中點(diǎn)，adbc且adbc.padradrbc90°.paad.又paab，daaba，pa面abcd，pabc.bcab，paaba，bc平面pab.pb平面pab，bcpb.(2)方法一取rd的中點(diǎn)f，連接af、pf.raad1，afrc.又由(1)知pa面abcd，而rc平面abcd，parc.afpaa，rc平面paf.afp是二面角acdp的平面角在rtrad中，afrd.在rtpaf中，pf.cosafp.二