零相移濾波器

1、零相移濾波器原理對matlab中filtfilt函數(shù)的初步研究孫驍自 74 2007012250在信號與系統(tǒng)這門課程的學習過程中，我知道了設計數(shù)字濾波器有兩種方 法，分別為有限沖激響應法(FIR)和無限沖激響應法(IIR)。對于FIR濾波器， 實現(xiàn)線性相位濾波是可行的，而對于IIR濾波器，則有著高度的相位失真。前幾 大，我在看有關于信號與系統(tǒng) matlab的實現(xiàn)方面的書籍時，偶然發(fā)現(xiàn)了一個叫 做fil情lt的函數(shù)，它竟然可以實現(xiàn)對信號的零相移濾波，于是我不得不對它產(chǎn)生了興趣。下圖是對信號x=sin(6nt)+0.25sin(80nt)的兩種濾波方式結果的比較，其 中藍色曲線為原函數(shù)，綠色曲線為

2、利用filtfilt函數(shù)濾波結果，紅色曲線為用filter 函數(shù)濾波結果?？梢钥吹?，相對于普通濾波而言，filtfilt函數(shù)濾波后實現(xiàn)了相對原信號的零相移?？梢韵胍?，假若我們能在實際中利用這種濾波原理進行零相移 濾波，那將是十分誘人的。那么，這種濾波函數(shù)的原理是什么呢？它的實際可實 施性又如何呢？另外，在圖中我們可以看到，filtfilt濾波后的波形相對于其他濾 波后的波形幅度上有所減小，這又是什么原因呢？帶著這些問題，我對這個函數(shù)進行了初步的研究。在matlab的幫助中，我們可以看到以下一段話:這段話的意思是說，通過前向濾波之后，序列被反轉并再次通過濾波器， 最 后輸出的序列是對第二次通過濾

3、波器的波形的再反轉。 這是一段有點繞的話，它 實現(xiàn)的過程如下所示：X(z) - H->時間反轉爭癡序列輸出 時間反轉那為什么經(jīng)過這樣的一個過程之后可以實現(xiàn)零相移呢？現(xiàn)進行如下的推導：假設系統(tǒng)函數(shù)為H(z),輸入序列的z變化為X(z),那么這個過程可以表示如 下：Y i(ej' ) =X (ej')H (ej' ')；Y 2(ej ) =e(N、(e)；Y 3(ej )=Y2(ej' )H (e> );jj- (N -1)_j -：.Y 4(e ) =eY3(e );從以上的推導可以看出，最終輸入和輸出可以表示為：2Y(ejeo) =X (e叼

4、h (e叼即實現(xiàn)了零相移濾波，注意到x序列是和系統(tǒng)函數(shù)模的平方相乘，因此濾波 器階數(shù)加倍，并且因為平方相乘，所以與別的濾波方法相比，幅值會有所降低。以上是根據(jù) matlab所說的方法進行的推導，還可以想到，如果把這個操作 的先后順序改變，結果會怎么樣呢？經(jīng)過驗證，如果先對序列進行反轉，再對它 濾波，之后再次反轉，再濾波，這樣操作之后的結果是完全一樣的。過程如下：X1(ej嗎=e,X (e'。)；丫(ej' 1)=X1(ej' )H (ej' 1)；Y 2(ej0) =6,砂口丫1(6Y (ej ) =Y2(ej )H (ej')；2Y (ej = X (

5、ej巧 H (ej巧經(jīng)過以上的推導可以看出，對于零相移濾波器來說，它的系統(tǒng)函數(shù)就是2H (e叼。那么我們是否可以根據(jù)這個系統(tǒng)函數(shù)直接設計出這樣的濾波器，而不2, ，一，一，一，一一，一-,、r 八.一 H (ejc) 一必經(jīng)過兩次反轉兩次濾波的過程呢？我想這沒什么不可以的。對應于 ()的'離散系統(tǒng)的沖擊響應的函數(shù)為 h (n) =h(n)*h(-n)；即零相移濾波器的沖擊響應就是原濾波器沖擊響應和反轉后的沖擊響應的卷積。我想，如果直接將這樣兩個系 統(tǒng)級聯(lián)，就可以得到零相移濾波的功能了，應該會簡單一些。以上是我對matlab中零相移濾波函數(shù)filtfilt的原理和主要特點進行的小小研 究。那么，這么好的一個濾波器物理上究竟怎么實現(xiàn)呢？呵呵， 答案當然是，不 能實現(xiàn)的了。從上面的推導中，可以很容易看出這不是個因果系統(tǒng)，它的作用原理關鍵之處就在于在時間上進行反轉，而現(xiàn)實中的我們既不能未卜先知， 也不能回到過去，所以，filtfilt只能是個美好的夢