選修-坐標(biāo)系精講附配套練習(xí)

1、選修4 4坐標(biāo)系與參數(shù)方程第一節(jié)坐標(biāo)系考綱傳真1.理解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下 平面圖形的變化情況.2.了解極坐標(biāo)的基本概念，會在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn) 的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.3.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形表示的 極坐標(biāo)方程.抓基礎(chǔ)自主學(xué)習(xí)|知識梳理*1 .平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，、“X' =A A0,設(shè)點(diǎn)P（x,y）是平面直角坐標(biāo)系中的任息一點(diǎn)，在變換小:，J =4 M> 0的作用下，點(diǎn)P（x, y）對應(yīng)到點(diǎn)P' （x'，y'）,稱小為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo) 伸縮變換.2 .極坐標(biāo)系與點(diǎn)的極坐標(biāo)（1）極坐

2、標(biāo)系：如圖1所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)。（極點(diǎn)），自極點(diǎn)O引一條 射線0x（極軸）；再選定一個(gè)長度單位，一個(gè)角度單位（通常取弧度）及其正方向（通 常取逆時(shí)針方向）,這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.盟3圖1（2）極坐標(biāo)：平面上任一點(diǎn)M的位置可以由線段0M的長度p和從Ox到0M 的角度8來刻畫，這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對（p,。稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo).其中p稱 為點(diǎn)M的極徑，8稱為點(diǎn)M的極角.3 .極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化點(diǎn)M直角坐標(biāo)（x, y）極坐標(biāo)（p,?；セ絰= pcos 0, <y= (sin 0=x2 + y2tan 8=，(xw0)4 .圓的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓p

3、= r(0< 9<2兀)圓心為(r,0),半徑為r的圓產(chǎn) 2rcos _82V 0<2)圓心為Jr, 21半彳全為r的圓產(chǎn) 2rsin 0(0<0< 九)5.直線的極坐標(biāo)方程(1)直線l過極點(diǎn)，且極軸到此直線的角為 %則直線l的極坐標(biāo)方程是吆三“p R).(2)直線l過點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸，則直線l的極坐標(biāo)方程為 os仁 九人九)a卜2V線2(3)直線過M, 2平行于極軸，則直線l的極坐標(biāo)方程為 偽in 0= b(0< 9 <九.)學(xué)情自測A. (思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“，”，錯(cuò)誤的打"X” )(1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的

4、點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點(diǎn)與坐標(biāo)也是一一對應(yīng)關(guān)系.()(2)若點(diǎn)p的直角坐標(biāo)為(1, -V3),則點(diǎn)p的一個(gè)極坐標(biāo)是?，3)()(3)在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程不是唯一的.()(4)極坐標(biāo)方程8=兀0)表示的曲線是一條直線.()答案(1)X ，XB. (教材改編)若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極 坐標(biāo)系，則線段y= 1 x(0<x< 1)的極坐標(biāo)方程為()A1C 1 “冗C. P=川. A， 0< 0<ocos 0+ sin 02_1八 八九D. P=二,0<勺 cos 0+ sin 04- - 一一九E. p= cos

5、0+ sin 0, 0< (X2F. p= cos 0+ sin 0, 0< (X4A -y=1-x(0<x< 1),psin 4 1 ©os 6(0< pcos 0< 1),一- sin 0+ cos 00<3 .（教材改編）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極 軸建立極坐標(biāo)系.若曲線 C的極坐標(biāo)方程為-2sin 9,則曲線C的直角坐標(biāo)方 程為.x2 + y2 2y=0 由 p= 2sin 9,得 1=2psin e所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2 + y2 2y= 0.4 .已知直線 l的極坐標(biāo)方程為2psin %-4）

6、=/，點(diǎn) A的極坐標(biāo)為AM，7fj,則點(diǎn)A到直線l的距離為.522 由 2psin/卜亞，得 2P晉sin 9-gcos 8J=血,y x= 1.由a242, 方 得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（2, -2）.點(diǎn)A到直線l的距離d =|2+2+1|5 亞2= 2 .5. （2015江蘇高考）已知圓C的極坐標(biāo)方程為p+2V2P si9-4）- 4=0,求解以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O,以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.2分圓C的極坐標(biāo)方程可化為p k= 5, 8 分 + 2yj2 psin 0- 2cos，一4=0, 4分化簡，得 出+ 2向in 9- 2 sos 9- 4 = 0.6

7、分則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2 + y22x+2y 4=0,即(x 1)2+(y+ 1)2=6,所以圓C的半徑為46.10分明考向題型突破I平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換碼上13 一七 盾梢影微詛例EJ將圓x2+y2=1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍, 得曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)直線l: 2x + y 2=0與C的交點(diǎn)為Pi, P2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸 正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.解(1)設(shè)(x1，y1)為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(diǎn)(x, y),依，行x = x1,尸2“ 2分由 x2 + y2=1 得

8、x2+ * 2= 1,22故曲線C的方程為x2+5 = 1.5分2x= 0,或 6分、y= 2.2y.r ,x + / = 1,x=1(2)由S 4解得,2x+y-2=0,L0一、r一，一1不妨設(shè)P1(1,0), P2(0,2),則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為",1 !,所求直線斜率為于是所求直線方程為y1=1521化為極坐標(biāo)方程，并整理得 2 pcos 0 4 psin 8= 3,3故所求直線的極坐標(biāo)方程為p= 3；1。分4sin 0 2cos 0規(guī)律方法1.解答該類問題應(yīng)明確兩點(diǎn)：一是根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前的點(diǎn)P（x, y）與變換后的點(diǎn)P

9、9; （x'，y'）的坐標(biāo)關(guān)系，利用方程思想求解.2.求交點(diǎn)坐標(biāo)，得直線方程，最后化為極坐標(biāo)方程，其實(shí)質(zhì)是將x=os 9, y= psin 8代入轉(zhuǎn)化.僅=3x,變式訓(xùn)練1在平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換 ?。?， 2y = y.【導(dǎo)學(xué)號：01772437求點(diǎn)A，一2笆過小變換所得點(diǎn)A'的坐標(biāo)；（2）求直線l: y=6x經(jīng)過小變換后所得直線1'的方程.解（1）設(shè)點(diǎn)A' （x'，y'）,由伸縮變換，- x 二 3x,x =3x,'?。?，得j , y 2分=y, y =y,，1 一 .，,x =3x3= 1, y點(diǎn)A'的坐標(biāo)為

10、（1, 1）.5分（2）設(shè)P' （x'，y'）是直線l'上任意一點(diǎn).x 3xx由伸縮變換?。?，得438分2y =y'ly=2y',、，ix ,代入 y= 6x,得 2y =6 7-=2x ,3V' =x'為所求直線l'的方程.10分1 等間2J ：；|極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化（2015全國卷I ）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1: x= 2,圓C2: （x1)2+(y 2)2= 1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.求Ci, C2的極坐標(biāo)方程； .一 ，.、一一一 、,一 .一(2)若直線C3的極坐標(biāo)萬程為 4

11、4(pC R),設(shè)C2與C3的父點(diǎn)為M, N,求 C2MN的面積.解(1)因?yàn)閤=pcos 0,y=psin0,所以Ci的極坐標(biāo)方程為pcos 8= - 2,2C2的極坐標(biāo)方程為 p 2 pcos 0- 4向in 0+ 4 = 0.4分將仁才弋入p- 2 pcos 9-4 psin計(jì)4 = 0,得自一3也計(jì)4= 0,解得團(tuán)=2曠2,很=也.8分故口一口=42,即 |MN|=J2.1由于C2的半徑為1,所以 C2MN的面積為2.10分遷移探究1若本例條件不變，求直線 C1與C2的交點(diǎn)的極坐標(biāo).'pcos 仁2,解聯(lián)立方程S工產(chǎn)4，解得8= 4且p= -2必.6分所以交點(diǎn)的極坐標(biāo)為迎 4)

12、10分遷移探究2本例條件不變，求圓C2關(guān)于極點(diǎn)的對稱圓的方程.解因?yàn)辄c(diǎn)(p, 9與點(diǎn)(一P, 9關(guān)于極點(diǎn)對稱，設(shè)點(diǎn)(p,。為對稱圓上任意一點(diǎn)，則(一p,。在圓C2上，所以(一+ 2 pcos 0+ 4 psin 0+ 4 = 0.6 分故所求圓C2關(guān)于極點(diǎn)的對稱圓的方程為 x2+ y2+ 2x + 4y + 4 = 0.10分規(guī)律方法1.進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用互化 公式：x= pcos 0, y= in 0, j=x2+y2, tan 仁y(xw0).x2.進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時(shí)，要注意 p, 8的取值范圍及其影 響；要善于對方程進(jìn)行合理變形，并重視公式的

13、逆向與變形使用；要靈活運(yùn)用代 入法和平方法等方法.變式訓(xùn)練2 (2016北京高考改編)在極坐標(biāo)系中，已知極坐標(biāo)方程C1： pcos9-5n 9- 1=0, C2:尸 2cos 9.(1)求曲線Cl, C2的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀;(2)若曲線Ci, C2交于A, B兩點(diǎn)，求兩交點(diǎn)間的距離.解(1)由 Ci： pcos 9->/3psin 9- 1=0,x- 曬1 = 0,表示一條直線.2分由 C2: p= 2cos 0,得 1=2 pcos 0, x2+y2 = 2x,則(x 1)2 + y2=1.C2是圓心為(1,0),半徑r=1的圓.4分(2)由(1)知點(diǎn)(1,0)在直線x

14、-小y1=0上，因此直線C1過圓C2的圓心.6分兩交點(diǎn)A, B的連線段是圓C2的直徑.因此兩交點(diǎn)A, B間的距離|AB|=2r = 2.10分直線與圓的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用(2016全國卷I )在直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線 C1的參數(shù)方程為x= acos t,(t為參數(shù)，a>0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐 y= 1 + asin t標(biāo)系中，曲線C2: p= 4cos a(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為 400,其中00滿足tan = 2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.解(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2

15、+(y1)2 = a2,則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓.2分將x= pcos 0, y= psin 8代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為2-2psin 9+ 1 a2 = 0.4 分(2)曲線C1, C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組'p-2 psin 9+ 1a2=0,-尸 4cos a若 pw0,由方程組得 16cos 0 8sin (cos 0+ 1a2=0,由已知 tan 42,得 16cos2 8 8sin (Cos 仁0, 8 分從而1a2 = 0,解得a= 1(舍去)或a=1.當(dāng)a=1時(shí)，極點(diǎn)也為Ci, C2的公共點(diǎn)，且在C3上.所以a= 1.10分規(guī)律方

16、法1.第(1)問將曲線C1的參數(shù)方程先化為普通方程，再化為極坐標(biāo) 方程，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力.第 (2)問中關(guān)鍵是理解極坐標(biāo)方程，有意識 地將問題簡單化，進(jìn)而求解.2.由極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離等幾何問題時(shí)，如果不能直接用極坐標(biāo) 方程解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求解.變式訓(xùn)練 3 (2017太原市質(zhì)檢)已知曲線 C1： x +寸3y =陋和C2：(小為參數(shù)).以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.(1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)C1與x, y軸交于M, N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為P.若射線OP與 C1, C2交于P,

17、Q兩點(diǎn)，求P, Q兩點(diǎn)間的距離.解 曲線C1化為pcos 9+小向n仁也./君V3八Psin 計(jì)6尸方".2分曲線C2化為1.(*) 62將 x= pcos 0, y= in 8 代入(*)式22得6"cos2 計(jì)"2sin2 8= 1,即，(cos2 0+ 3sin2()=6.26.曲線C2的極坐標(biāo)方程為p = 1 + 2sin2 °-4分(2)M(啟 0), N(0,1),P喙 2 j, 、一-可0P的極坐標(biāo)方程為卜6, 6分把 46弋入 ,= i + 2Sin20fl &=2，Q2，6,.8 分.|PQ|= |能一0|=1,即P, Q兩點(diǎn)間

18、的距離為1.10分名師微博與思想與方法1 .曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化：對于簡單的可以直接代入公式 pcos 8= x, psin 8= y,1=乂2+丫2,但有時(shí)需要作適當(dāng)?shù)淖兓?，如將式子的兩?同時(shí)平方，兩邊同乘以p等.2,確定極坐標(biāo)方程的四要素：極點(diǎn)、極軸、長度單位、角度單位及其正方向，四者缺一不可.易錯(cuò)與防范2 .平面上點(diǎn)的直角坐標(biāo)的表示形式是唯一的，但點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一.極坐標(biāo)與P點(diǎn)之間不是一一對應(yīng)的，所以我們又規(guī)定專0,0< 9< 2兀，來使平面上的點(diǎn)與它的極坐標(biāo)之間是對應(yīng)的，但仍然不包括極點(diǎn).3 .進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)

19、注意p, 8的取值范圍及其影響.(2)重視方程的變形及公式的正用、逆用、變形使用.課時(shí)分層訓(xùn)練(七)二次函數(shù)與號函數(shù)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題1.已知幕函數(shù)f(x) = k x"的圖象過點(diǎn)：，乎j,則k+ a=()【導(dǎo)學(xué)號：01772040】1A.2B.13C.2D.2C 由幕函數(shù)的定義知k=1.又fg)= ¥，所以g斤乎，解得a=從而 k+ a= 2.2.函數(shù) f(x) = 2x2 mx+ 3,當(dāng) xC -2, +00)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，當(dāng) xC (一 8, 2時(shí)，f(x)是減函數(shù)，則f的值為()A. -3B.13C.7D.5B 函數(shù)f(x)=2x2

20、mx+ 3圖象的對稱軸為直線x=詈，由函數(shù)f(x)的增減區(qū) m間可知 m = 2, .m= 8,即 f(x) = 2x2+8x+3, . f(1) = 2 +8 +3= 13.3,若幕函數(shù)y=(m23m+3) xm2m2的圖象不過原點(diǎn)，則 m的取值是 ()A. 1 <m<2B.m=1 或 m=2C. m=2D.m= 1B 由幕函數(shù)性質(zhì)可知m2 3m+3= 1, ；m=2或m= 1.又幕函數(shù)圖象不過 原點(diǎn)，m2 m2<0,即一10m02, .m=2 或 m=1.4 .已知函數(shù)y= ax2+bx+c,如果a>b>c且a+ b+c= 0,則它的圖象可能 是()【導(dǎo)學(xué)號：

21、01772041】ABCDD 由 a+b+c=0, a>b>c知 a>0, c<0,則：<0,排除 B, C乂 f(0) =c< 0,所以也排除A.5 .若函數(shù)f(x) = x2ax a在區(qū)間0,2上的最大值為1,則實(shí)數(shù)a等于()B.1A. -1C.2D.-2B 函數(shù)f(x) = x2ax a的圖象為開口向上的拋物線,.函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得. f(0)= a, f(2) = 43a,a4 3a,=a = 1,或4 3a=1,解得a=1.二、填空題6 . (2017上海八校聯(lián)合測試改編)已知函數(shù)f(x)=ax22ax+1 + b(a>0).若 f

22、(x)在2,3上的最大值為4,最小值為1,則a =, b=.1 0 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的對稱軸為x= 1,又a>0,- 一f(2 尸 1,所以f(x)在2,3上單調(diào)遞增，所以,廠f3 尸 4,解方程得a=1, b = 0.a22-2a2+1 + b=1, 日 322a 3+1 + b=4,7 .已知P=2-% Q=1，R=3)，則P，Q，R的大小關(guān)系是.【導(dǎo)學(xué)號：01772042P>R>Q 尸2二="2匕 根據(jù)函數(shù)v= x3是R上的增函數(shù)且孚>2>5， 得陪卜 £)>(!)'即 P>R>Q.8 .已知函數(shù)f(x) = x

23、2 2ax+ 5在(一, 2上是減函數(shù)，且對任意的 x1，x2 C1, a+1,總有|f(x1) f(x2)|04,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.9 2,3 f(x) = (x a)2+5-a2,根據(jù) f(x)在區(qū)間(一oo, 2上是減函數(shù)知，a>2, 則 f(1)>f(a+1),從而 f(x1) f(x2)|max= f(1) f(a) = a2 2a + 1,f 2由 a -2a+ 1<4,解彳31<a<3,又 a>2,所以 2&a03.三、解答題9.已知幕函數(shù)f(x)= x(m2+ m) 1(m N )經(jīng)過點(diǎn)(2, V2),試確定m的值，并 求滿足條件

24、f(2 a)>f(a1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍.解幕函數(shù)f(x)經(jīng)過點(diǎn)(2, <2),. . >/2=2(m2 +m)1,即 2亍=2(m2+m)1,m2 + m=2,解得 m= 1 或 m= 2.4 分又 mC N , m= 1.i；f(x) = x二，則函數(shù)的定義域?yàn)?, +00), 并且在定義域上為增函數(shù).由 f(2 a)>f(a1),得a10,10分；a的取值范圍為|1, 31.12分10.已知函數(shù) f(x) = x2+(2a- 1)x 3,當(dāng)a = 2, xC2,3時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)f(x)在1,3上的最大值為1,求實(shí)數(shù)a的值.解(1)當(dāng)2=

25、2 時(shí)，f(x) = x2+3x 3, x-2,3,3對稱軸 x= 26 2,3, 2分f(x)min =392尸4一9 c 2123= 一4,f(x) max= f(3)= 15,值域?yàn)椴?41, 15 %分 2a-1(2)對稱軸為x= ；一2a 1當(dāng)一芻20 1,即a一1時(shí),f(x)max= f(3)= 6a+ 3,.6a+3=1,即a='滿足題意；8分32a 11當(dāng)一芻尸> 1,即a< 1時(shí)，f(x) maxf(-1)=-2a-1, 2a1 = 1,即a= - 1才兩足題意.綜上可知a= 1或1.12分3B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1. (2017江西九江一中期

26、中)函數(shù)f(x) = (m2m 1)x4m9m51是幕函數(shù)， 對任意的X1, X2 (0, +oo)且xwx2,滿足以"一批">0,若a, bCR,且a x1 x2+ b>0, ab<0,則 f(a) + f(b)的值()【導(dǎo)學(xué)號：01772043】A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.無法判斷A .f(x) = (m2m1)x4m9m51 是幕函數(shù)，m2 m1 = 1,解得 m=2 或 m= 1.當(dāng)m= 2時(shí)，指數(shù)4X29251=2 015>0,滿足題意.當(dāng)m= 1時(shí)，指數(shù)4X ( 1(1f1 = 4<0,不滿足題意， .f(x) = x2

27、015. 幕函數(shù)f(x) = x2 015是定義域R上的奇函數(shù)，且是增函數(shù).又a, bC R,且 a+b>0, . . a> b,又ab<0,不妨設(shè)b<0,則 a>b>0, . f(a)>f(b)>0,又 f(b) = f(b), .f(a)>f(b),.取)+ 他)>0.故選 A.2.設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間a, b上的兩個(gè)函數(shù)，若函數(shù)y= f(x)g(x) 在xC a, b上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱f(x)和g(x)在a, b上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”， 區(qū)間a, b稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”.若f(x)=x2 3x+ 4與g(x)=2x+

28、m在0,3上是“關(guān) 聯(lián)函數(shù)”，則m的取值范圍為.9, -2 1 由題意知，y=f(x) g(x) = x2 5x+ 4- m 在0,3上有兩個(gè)不同 的零點(diǎn).在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù) y= m與y= x2-5x+ 4(x 0,3)的圖象如 圖所示，結(jié)合圖象可知，當(dāng) xC 2,3時(shí)，y= x2-5x+ 4 卜4，- 2 I,故當(dāng)mC 4, - 2 時(shí)，函數(shù)y=m與y=x25x+4(xC 0,3)的圖象有兩個(gè) 交點(diǎn).3,已知二次函數(shù) f(x) = ax2+bx+ 1(a, b R), xCR.(1)若函數(shù)f(x)的最小值為f( 1) = 0,求f(x)的解析式，并寫出單調(diào)區(qū)問；(2)在(1)的條件

29、下，f(x)>x+ k在區(qū)間3, 1上恒成立，試求k的范圍.解(1)由題意知解得a= 1,斤2.2分b .L 0 = - 1 ,2 2af1 戶 ab+1 = 0,所以 f(x) = x2+2x+ 1,由f(x)= (x+1)2知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為1, +00),單調(diào)遞減區(qū)間 為(8 , 1.6 分(2)由題意知，x2+2x+1>x+ k在區(qū)間 3, 1上恒成立，即k<x2 + x+1 在區(qū)間 3, 1上恒成立，8分令 g(x) = x2+x+1, xC3, 1,由 g(x)=b+ 2f + 4知 g(x)在區(qū)間 3，1上是減函數(shù)，則 g(x)min = g( 1

30、) =1,所以 k< 1,即k的取值范圍是(一8, 1).12分第三節(jié)基本不等式考綱傳真1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.抓基礎(chǔ)自主學(xué)習(xí) .雙L白廣知識梳理 J a+b1 .基本不等式gb0一“(1)基本不等式成立的條件：a>0, b>0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng) 星.2 .幾個(gè)重要的不等式(1)a2 + b2>2ab(a, bC R)；a- b+b- ab同號且不為零);'a+ b 2ab&T八a,歐R)；a+b、2 a2 + b2H2豆丁 (a，be R).3 .算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) a+b t設(shè)a&

31、gt;0, b>0,則a, b的算術(shù)平均數(shù)為一2-,幾何平均數(shù)為JOb,基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).4 .利用基本不等式求最值問題已知x>0, y>0,則如果xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x= y時(shí)，x+y有最小值是2標(biāo)(簡記： 積定和最小).2(2)如果x+y是定值q,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy有最大值是q4(簡記：和定積最大).學(xué)情自測1 .(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“，”，錯(cuò)誤的打"X” )一 1 一(1)函數(shù)y=x+的取小值是2.()函數(shù)f(x)=cos x+ eg, xC2bJ最小值等于4.()一 x y(3

32、)x>0, y>0是-+*2的充要條件.()y x、，31右a>0,則a + 7的取小值為2聲.()a答案(1)X (2)X (3)X (4)X2 .若a, bCR,且ab>0,則下列不等式中，包成立的是()A. a2+ b2>2ab1 1 2C. 一>一a b abB. a+b>2 , ab b a cD.->2a bD aqb22ab=(ab)20,.A 錯(cuò)誤；對于 B, C,當(dāng) a<0, b<0 時(shí), 明顯錯(cuò)誤.對于 D, '' ab>0,= 2.3 .(2016安徽合肥二模)若a, b都是正數(shù)，則1 +

33、b(1 + 4a巾勺最小值為()B.8A. 7C. 9D.10Ca b 都是正數(shù)，1+熱 + 管)=5+ a+qba>5+2Ya4a=9,當(dāng)且僅當(dāng)b = 2a>0時(shí)取等號，故選C.14.右函數(shù)f(x) = x+x3T2(x>2)在x=a處取取小值，則a等于()【導(dǎo)學(xué)號：01772209】A. 1 +/B.1 + QC. 3D.4C 當(dāng) x>2 時(shí)，x-2>0, f(x)=(x-2) + - _+1=vob, a b ，值為2 2.23-x2 3 1 c 3 1 3x , 3(2)由 x +2xy- 3=0 得 y= -2 = 2x-2x,則 2x+y=2x+ 五2

34、x=萬+ 2x2、 鼠3,當(dāng)且僅當(dāng)x= 1時(shí)，等號成立，所以2x+y的最小值為3.規(guī)律方法1.利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，注意 “一正、二定、三相等， 和定積最大，積定和最小” .2.在求最值過程中若不能直接使用基本不等式，可以考慮利用拆項(xiàng)、配湊、7 + 2>2/(x-2/± + 2 = 4, x _ 2 jx _ 2當(dāng)且僅當(dāng)x 2=3；(x>2),即x=3時(shí)取等號，即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí)，x= 3, x 2、即 a = 3,選 C.5.(教材改編)若把總長為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場地，則矩形場地的最大面積是 m.25 設(shè)矩形的一邊為x m,矩形場地的面積為y,1則

35、另一邊為 2X(202x) = (10 x)m,則 y= x(10-x)< l|x+(12)-x)工= 25,當(dāng)且僅當(dāng) x=10 x,即 x= 5 時(shí)，ymax=25. 明考阿題型突破I析騏例探求規(guī)律方法1號網(wǎng)1 利用基本不等式求最值例口 (1)(2015湖南高考)若實(shí)數(shù)a, b滿足1 + 2=M，則ab的最小值為a b()A. ,2B.2C. 2V2D.4(2)(2017鄭州二次質(zhì)量預(yù)測)已知正數(shù)x, y滿足x2+2xy 3 = 0,則2x+ y的最小值是:(1)C (2)3 (1)由；+ 2=年知 a>0, b>0,所以正= + :)2,即ab12也，1 2a-b5口口

36、44 t “ ”山 t當(dāng)且僅當(dāng)" Q即a=4/2, b=24/2時(shí)取“="，所以ab的最小 I常數(shù)代換、平方等技巧進(jìn)行變形，使之能夠使用基本不等式.變式訓(xùn)練1 （1）（2016湖北七市4月聯(lián)考）已知a>0, b>0,且2a+ b= 1,21.、 一 右不等式一十匚m恒成立，則 m的取大值等于（）a bA. 10B.9C. 8D.71（2016湖南雅禮中學(xué)一模）已知頭數(shù)m, n輛足m n>0, m+n= 1,則m十1 一一 .一 .n的最大值為:(1)B2 1 2(2a+b) 2a+b2b 2a(2)-4 (1) - a+b=a + F-= 4+占 +石+1

37、 = 5+2b aa+b>5+2X 2/bxa = 9,當(dāng)且僅當(dāng) a=b = 1 時(shí)取等號.又 2+1>m, . <9,即 ma b3a b的最大值等于9,故選B.(2)mn>0, m+ n=1, .m<0, n<0,2+m+m-2一 .1 , 11一一當(dāng)且僅當(dāng)m=n= 2時(shí)，m+n取得取大值4.利用基本不等式證明不等式碼上打一打1 1 a+b a+b二 一+匚=+r aba ba b八=2 + b + a>2 +2 = 4, 3分111 一 . 1 .一，；a+b+獷8（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等方成立）.55法一：. a>0, b>0, a

38、+b=1, -1+i=1+a7b=2+b'同理1+b=2+b，41+aX1+b r(2+a(2+b)= 5+2,b + a i：5+4=9, 10 分 a b'一.11 + 1 + b !>9（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號成立）.12分1,111+ r != 1 + _+,b a b ab,111,由（1）知，-+r + -r>8, 10分a b ab故1 + （ !；1 + 1 i= 1 + 1+1+4；> 9.12 分a b a b ab規(guī)律方法1. 1”的代換是解決問題的關(guān)鍵，代換變形后能使用基本不等式 是代換的前提，不能盲目變形.2.利用基本不等式證明不等

39、式，關(guān)鍵是所證不等式必須是有“和”式或“積”式，通過將“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式，達(dá)到 放縮的效果，必要時(shí)，也需要運(yùn)用 “拆、拼、湊”的技巧，同時(shí)應(yīng)注意多次運(yùn)用 基本不等式時(shí)等號能否取到.變式訓(xùn)練2設(shè)a, b均為正實(shí)數(shù)，求證：02+;12+ ab>2也.【導(dǎo)學(xué)號：01772210】證明由于a, b均為正實(shí)數(shù)，1工八 T7 2 c八所以 了+F>2、/a2b2=ab，3 分一 . 11 一 一一.當(dāng)且僅當(dāng)孑=b2,即a=b時(shí)等號成立，又因?yàn)殒?+ ab>2x/：2- ab = 2V2, abab，2, 一 ,當(dāng)且僅當(dāng)三=ab時(shí)等號成立，ab一 112所以孑

40、+孑+ ab>ab+ ab>2/2, 8 分11f產(chǎn)b2, 當(dāng)且僅當(dāng)2K=ab, ab即a= b= 42時(shí)取等號.12分例砧I| 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50<x< 100(單位：千米/時(shí)).假設(shè)汽油的價(jià)格是每升 2元，而汽車每小時(shí)耗油12 +急”升，司機(jī)的工資是每小時(shí)14元.360，1(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值. 130解(1)設(shè)所用時(shí)間為t=X1(h),x130八 八V= VX2X >2360j+ 14X11-, xC50,100.2

41、分所以這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是130X18 2X 130V= x + 360 X'x50, 100.2 340 13y=T+砂x 50, 100).5 分130X 18 2X130 l (2)y=+6rx)26 阮，當(dāng)且僅當(dāng)130X 18 2X 130x二 360 x即乂= 18710,等號成立.8分故當(dāng)x=18，i0千米/時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值為26國元.12分規(guī)律方法1.設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).2 .根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.3 .在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的

42、取值 范圍)內(nèi)求解.變式訓(xùn)練3某化工企業(yè)2016年年底投入100萬元，購入一套污水處理設(shè) 備.該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一 年的維護(hù)費(fèi)為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬元.設(shè)該企業(yè)使用該設(shè)備x年的年平均污水處理費(fèi)用為y(單位：萬元).用x表示y;(2)當(dāng)該企業(yè)的年平均污水處理費(fèi)用最低時(shí)，企業(yè)需重新更換新的污水處理 設(shè)備.則該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備.解(1)由題意得，100+0.5x+ (2 + 4+6+ 8y=，x即 y= x+100+ 1.5(x N*).5 分(2)由基本不等式得：y= x+ 100+ 1.5&

43、gt;2"Jx + 1.5= 21.5, 8 分當(dāng)且僅當(dāng)x=1f,即x= 10時(shí)取等號.故該企業(yè)10年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備.12分名師微博合思想與方法1 .基本不等式具有將 “和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和 式”的放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中， 還可以用于求代數(shù)式的最 值或取值范圍.如果條件等式中，同時(shí)含有兩個(gè)變量的和與積的形式，就可以直接利用基本不等式對兩個(gè)正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過解不等式進(jìn)行求解.a2+b2 2 .基本不等式的兩個(gè)變形:tbhabg, bCR,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號).、/既"學(xué)比/學(xué)病六缶>。，b>&

44、#176;，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號). a+b易錯(cuò)與防范1 .使用基本不等式求最值，“一正” “二定” “三相等”三個(gè)條件缺一不 可.2 . ”當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立”的含義是“a=b”是等號成立的充要條 件，這一點(diǎn)至關(guān)重要，忽視它往往會導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.3 .連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致.課時(shí)分層訓(xùn)練(七)二次函數(shù)與號函數(shù)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 一、選擇題 121,已知幕函數(shù)f(x) = k x的圖象過點(diǎn) 出 普)則k+ a=()【導(dǎo)學(xué)號：01772040】 1A.2B.13C.2D.2C 由幕函數(shù)的定義知k=1.又4)=/ 所以g戶g 解得a=或 從而一

45、31k+ a 2.2.函數(shù) f(x) = 2x2 mx+ 3,當(dāng) xC 2, +)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，當(dāng) xC (一 8, 2時(shí)，f(x)是減函數(shù)，則f的值為()A. -3B.13C.7D.5B 函數(shù)f(x)=2x2mx+ 3圖象的對稱軸為直線x=詈，由函數(shù)f(x)的增減區(qū) m間可知 4' = 2, .m= 8,即 f(x) = 2x2+8x+3, . f(1) = 2 +8 +3= 13.3,若幕函數(shù)y=(m23m+3) xm2m2的圖象不過原點(diǎn)，則 m的取值是()A. 1 <m<2B.m=1 或 m=2C. m=2D.m= 1B 由幕函數(shù)性質(zhì)可知m2 3m+3= 1,

46、 ；m=2或m= 1.又幕函數(shù)圖象不過 原點(diǎn)，m2 m2<0,即一10m02, .m=2 或 m=1.4 .已知函數(shù)y= ax2+bx+c,如果a>b>c且a+ b+c= 0,則它的圖象可能 是()D 由 a+b+c=0, a>b>c知 a>0, c<0,則c<0,排除 B, C乂 f(0) = ac< 0,所以也排除A.5 .若函數(shù)f(x) = x2ax a在區(qū)間0,2上的最大值為1,則實(shí)數(shù)a等于()B.1A. 1C.2D.-2B 函數(shù)f(x) = x2ax a的圖象為開口向上的拋物線, .函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得. f(0)= a,

47、 f(2) = 43a,或,4 3a=1,解得a=1.二、填空題6 . (2017上海八校聯(lián)合測試改編)已知函數(shù)f(x)=ax22ax+1 + b(a>0).若 f(x)在2,3上的最大值為4,最小值為1,則a =, b=.1 0 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的對稱軸為x= 1,又a>0,- 一一% - f2 戶 1,所以f(x)在2,3上單調(diào)遞增，所以' 二f(3 戶 4,即a22-2a2+1 + b=1, 、a 322a 3+1 + b=4,解方程得a=1, b = 0.7 .已知P = 21, q=!)，r=；)，則P，q，R的大小關(guān)系是.【導(dǎo)學(xué)號：01772042P>R&

48、gt;Q 干=21=鏢3,根據(jù)函數(shù)v= x3是R上的增函數(shù)且當(dāng)>2>5，得像 3>2)>3，即 P>R>Q.225，28 .已知函數(shù)f(x) = x2ax+ 5在(一8, 2上是減函數(shù)，且對任意的 xi, X2 C1, a+1,總有|f(xi) f(x2)|04,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.222,3 f(x) = (x a) +5 a ,根據(jù) f(x)在區(qū)間(一oo, 2上是減函數(shù)知，a>2, 則 f(1)>f(a+1),從而 f(x1) f(x2)|max= f(1) f(a) = a2 2a + 1,由 a2 2a+104,解彳#- 1<a

49、<3,又 a>2,所以 2&a03.三、解答題9 .已知幕函數(shù)f(x)= x(m2+m)T(mC N )經(jīng)過點(diǎn)(2, V2),試確定m的值，并 求滿足條件f(2 a)>f(a1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍.解幕函數(shù)f(x)經(jīng)過點(diǎn)(2,柩,.,亞=2(m? +m) 1,即 22= 2(m?+m) 1,m2 + m=2,解得 m= 1 或 m= 2.4 分 *,又 mC N ,m= 1.i.f(x) = x,則函數(shù)的定義域?yàn)?, +8),并且在定義域上為增函數(shù).f2-a>0, 由 f(2 a)>f(a1),得a10,10分、2 a>a 1, 一 3 解彳31&l

50、t;a<2.；a的取值范圍為|1, 3l2分10 .已知函數(shù) f(x) = x2+(2a- 1)x 3,當(dāng)a = 2, xC2,3時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若函數(shù)f(x)在1,3上的最大值為1,求實(shí)數(shù)a的值.解(1)當(dāng)2= 2 時(shí)，f(x) = x2+3x 3, x-2,3,一 3對稱軸 x= - 2 C 2,3, 2 分f(x)min = f 39 9 a 212 r 4-2 7 二 4,f(x) max= f(3)= 15,.7 211;值域?yàn)镴 了，15.5分一，一. 2a 1(2)對稱軸為x= 2.2a 11當(dāng)一2a201,即a)2時(shí)，f(x)max= f(3)= 6a+

51、3,.6a+3=1,即a=滿足題意；8分32a 11當(dāng)一芻尸>1,即a< 2時(shí)，f(x) maxf(-1)=-2a-1, 2a1 = 1,即a= - 1才兩足題意.綜上可知a= 1或1.12分3B組能力提升（建議用時(shí)：15分鐘）1. (2017江西九江一中期中)函數(shù)f(x) = (m2m 1)x4m9m51是幕函數(shù)，對任意的x1, x2C (0, +00)且x1wx2,滿足31觸功>0,若a, bCR,且a x1 x2+ b>0, ab<0,則 f(a) + f(b)的值()【導(dǎo)學(xué)號：01772043】B.恒小于0A.恒大于0C.等于0D.無法判斷A - f(x)

52、 = (m2-m- 1)x4m9-m5- 1 是幕函數(shù)，m2 m1 = 1,解得 m=2 或 m= 1.當(dāng)m= 2時(shí)，指數(shù)4X29251=2 015>0,滿足題意.當(dāng)m= 1時(shí)，指數(shù)4X ( 1(1)5 1 = 4<0,不滿足題意， .f(x) = x2 015. 幕函數(shù)f(x) = x2 015是定義域R上的奇函數(shù)，且是增函數(shù).又a, bC R,且 a+b>0, . . a> b,又ab<0,不妨設(shè)b<0,則 a>b>0, . f(a)>f(b)>0,又 f(b) = f(b), .f(a)>f(b),.取)+ 他)>0

53、.故選 A.2 .設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間a, b上的兩個(gè)函數(shù)，若函數(shù)y= f(x)g(x) 在xC a, b上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱f(x)和g(x)在a, b上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”， 區(qū)間a, b稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”.若f(x)=x2 3x+ 4與g(x)=2x+m在0,3上是“關(guān) 聯(lián)函數(shù)”，則m的取值范圍為.(* -21 由題意知，y=f(x) g(x) = x2 5x+ 4- m 在0,3上有兩個(gè)不同 的零點(diǎn).在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù) y= m與y= x2-5x+ 4(x 0,3)的圖象如 圖所示，結(jié)合圖象可知，當(dāng) xC 2,3時(shí)，y= x2 5x+ 4 卜4, 21,故當(dāng)mC 4

54、，- 2 時(shí)，函數(shù)y=m與y=x25x+4(xC 0,3)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).3 .已知二次函數(shù) f(x) = ax2+bx+ 1(a, b R), xCR.(1)若函數(shù)f(x)的最小值為f( 1) = 0,求f(x)的解析式，并寫出單調(diào)區(qū)問；(2)在(1)的條件下，f(x)>x+ k在區(qū)間3, 1上恒成立，試求k的范圍.解(1)由題意知bI 二=1,a= 1,i 2a解得/2分b 2f1 戶 ab+1 = 0,1b所以 f(x) = x2+2x+ 1,由f(x)= (x+1)2知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為1, +00),單調(diào)遞減區(qū)間 為(8 , 1.6 分(2)由題意知，x2+2x+1>