3.7分式方程及應(yīng)用

1、學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、理解整式方程、分式方程及增根的概念；、理解整式方程、分式方程及增根的概念；2、掌握可化為一元一次、一元二次方程的、掌握可化為一元一次、一元二次方程的分式方程的解法；分式方程的解法；3、了解分式方程產(chǎn)生增根的原因及掌握驗(yàn)、了解分式方程產(chǎn)生增根的原因及掌握驗(yàn)根的方法。根的方法。引例引例: 列方程列方程某數(shù)與某數(shù)與1的差除以它與的差除以它與1的和的商等于的和的商等于,求這個(gè)數(shù)求這個(gè)數(shù).解解 :設(shè)某數(shù)為設(shè)某數(shù)為x, 得得12 =X-1X+1121 1、2 2( (x x1 1) )= =x x1 1; x; x2 2x x-20=0; -20=0; x x+2+2y y=1=12

2、、 整式方程整式方程: 方程兩邊都是整式的方程方程兩邊都是整式的方程.分式方程：分式方程：方程中只含有分式或整式方程中只含有分式或整式,且且分母含有未知數(shù)的方程分母含有未知數(shù)的方程.觀察下列方程觀察下列方程：19511 ; 1111 ;2111 ; 0112xxxxyxxxxx 概概 念念一元一次方程一元一次方程一元二次方程一元二次方程找一找：找一找： 1. 下列方程中屬于分式方程的有（下列方程中屬于分式方程的有（ ）;屬于一元分式方程的有（屬于一元分式方程的有（ ）. x2 +2x-1=0 鞏鞏 固固 定定 義義1312xxx124131xyx734yx2、已知分式、已知分式 ,當(dāng)當(dāng)x= 時(shí)

3、時(shí), 分式無意義分式無意義.1322xx3、分式、分式 與與 的最簡(jiǎn)公分母的最簡(jiǎn)公分母 是是 .) 3( 22xxxx332X2-1=0-1=0X(x3)3)12X(x3)例例1 解分式方程解分式方程 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn),得整式方程得整式方程 2(x1)=x1解整式方程解整式方程,得得 x=3. 把把x=3代入原方程代入原方程 左邊左邊= , 右邊右邊= . 左邊左邊=右邊右邊 原方程的根是原方程的根是 x=3. 分式方程分式方程整式方程整式方程解整式方程解整式方程檢檢 驗(yàn)驗(yàn)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 2111xx檢驗(yàn)：檢驗(yàn)：解分式方程解分式方程解解: 方程的兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母方程的兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母2(x1), 得

4、得 2(x1) 2(x1)2111xx21131321例例2 解分式方程解分式方程 解解 方程兩邊同乘以方程兩邊同乘以(x1)(x1),解整式方程解整式方程,得得 x1=1, x2=8 得得 （x-1)2 =5x+9195112xxxxx2-2x+1=5x+9 -2x+1=5x+9 X X2 2-7x-8=0-7x-8=0(x+1)(x-8)=0(x+1)(x-8)=0例例2 解分式方程解分式方程 解解 方程兩邊同乘以方程兩邊同乘以(x1)(x1),解整式方程解整式方程,得得 x1=1, x2=8檢驗(yàn)檢驗(yàn):把把x1=1，x2=8代入原方程代入原方程當(dāng)當(dāng)x1=1時(shí)時(shí), 原方程的兩個(gè)分母值為零原方

5、程的兩個(gè)分母值為零,分分式無意義，因此式無意義，因此x1=1不是原方程的根不是原方程的根.當(dāng)當(dāng)x2=8時(shí)時(shí), 左邊左邊= , 右邊右邊= 左邊左邊=右邊右邊, 因此因此x2=8是原方程的根是原方程的根. 原方程的根是原方程的根是x=8. 得得 （x-1)2 =5x+9195112xxxx+1+1(x+1)(x-1)(x+1)(x-1)9797例例2 解分式方程解分式方程 解解 方程兩邊同乘以方程兩邊同乘以(x1)(x1),解整式方程解整式方程,得得 x1=1, x2=8檢驗(yàn)檢驗(yàn):把把x1=1，x2=8代入原方程代入原方程當(dāng)當(dāng)x1=1時(shí)時(shí), 原方程的兩個(gè)分母值為零原方程的兩個(gè)分母值為零,分分式無

6、意義，因此式無意義，因此x1=1不是原方程的根不是原方程的根.當(dāng)當(dāng)x2=8時(shí)時(shí), 左邊左邊= 7 / /9 , 右邊右邊=7 / /9左邊左邊=右邊右邊, 因此因此x2=8是原方程的根是原方程的根. 原方程的根是原方程的根是x=8. 得得 （x-1)2 =5x+9195112xxxx增根增根增根的定義增根的定義增根增根:在去分母在去分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程中出現(xiàn)的不適合于原方式方程的過程中出現(xiàn)的不適合于原方程的根程的根.產(chǎn)生的原因產(chǎn)生的原因:分式方程兩邊同乘以一個(gè)分式方程兩邊同乘以一個(gè)后后,所得的根是整式方程的根所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根而不是分式

7、方程的根.使分母值為零的根使分母值為零的根(填空填空)1、解方程、解方程:解解:方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母 , 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn),得得 . 解得解得 x1= , x2= . 檢驗(yàn)檢驗(yàn):把把x1= ,代入最簡(jiǎn)公分母代入最簡(jiǎn)公分母, x(x-2)= = 0;0; 把把x2= ,代入最簡(jiǎn)公分母代入最簡(jiǎn)公分母, x(x-2)= =0 x=x= 是增根是增根, ,舍去舍去. . 原方程的根是原方程的根是x=x= . .026212xxxxx(x- -2)x 2+ x - -6=0 或或x(x+1)-6=0-3 2-3 2- -3 - -3(- -3- -2) 152 2(2- -2) 2-

8、 -3練練 一一 練練 (填空填空)1、解方程、解方程:解解:方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母 , 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn),得得 . 解得解得 x1= , x2= . 檢驗(yàn)檢驗(yàn):把把x1= ,代入最簡(jiǎn)公分母代入最簡(jiǎn)公分母, x(x-2)= = 0;0; 把把x2= ,代入最簡(jiǎn)公分母代入最簡(jiǎn)公分母, x(x-2)= =0 x=x= 是增根是增根, ,舍去舍去. . 原方程的根是原方程的根是x=x= . .026212xxxxx(x- -2)x 2+ x - -6=0 或或x(x+1)-6=0-3 2-3 2- -3 - -3(- -3- -2) 152 2(2- -2) 2- -3練練 一一

9、練練 7 (填空填空)1、解方程、解方程:解解:方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母 , 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn),得得 . 解得解得 x1= x2= . 檢驗(yàn)檢驗(yàn):把把x1= ,代入最簡(jiǎn)公分母代入最簡(jiǎn)公分母, x(x-2)= ; ; 把把x2= ,代入最簡(jiǎn)公分母代入最簡(jiǎn)公分母, x(x-2)= .原方程的根是原方程的根是x x1 1= ,x= ,x2 2= =02212xxxxx(x- -2)x 2+ x - -7=0練練 一一 練練 2291 22912291) 22291(229122917) 22291(2291002291 2291 2、分式方程、分式方程 的最簡(jiǎn)公分母是的最簡(jiǎn)公分母是

10、.1211xx3、如果、如果 有增根有增根,那么增根為那么增根為 .xxx213215、若分式方程、若分式方程 有增根有增根x=2,則則 a= .04422xxaX=2X- -1分析分析: 原分式方程去分母原分式方程去分母,兩邊同乘以兩邊同乘以(x2 -4),得得 a(x+2)+4=0 把把x=2代入代入,得得 4a+4=0, a=- -1 a=-1時(shí)時(shí),x=2是原方程的增根是原方程的增根.- -14、關(guān)于、關(guān)于x的方程的方程 =4 的解是的解是x= ,則則a= .xax 12126、解下列方程：、解下列方程： ； ； ； . .3132xx253xx1211xx1212xxx x= x= x

11、=-3 x=-3 x x1 1= , x= , x2 2= = x=-2 (x=1x=-2 (x=1是增根是增根, ,已舍去已舍去) )2941714171思思 考考:解分式方程的驗(yàn)根與解一元一次、解分式方程的驗(yàn)根與解一元一次、一元二次方程的驗(yàn)根有什么區(qū)別？一元二次方程的驗(yàn)根有什么區(qū)別？小小 結(jié)結(jié):1、整式方程、分式方程的概念；、整式方程、分式方程的概念；2、解分式方程；（注意檢驗(yàn)）、解分式方程；（注意檢驗(yàn)）3、增根及增根產(chǎn)生的原因；、增根及增根產(chǎn)生的原因；4、體會(huì)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想方法。、體會(huì)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想方法。 分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用34211xxxx6272332xx432425222

12、xxxxx( (1)1)( (2)2)( (3)3) 問題：?jiǎn)栴}：某校招生錄取時(shí)，為了防止數(shù)據(jù)某校招生錄取時(shí)，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯(cuò)，輸入出錯(cuò)，26402640名學(xué)生的成績(jī)數(shù)據(jù)分別由名學(xué)生的成績(jī)數(shù)據(jù)分別由兩位程序操作員各向計(jì)算機(jī)輸入一遍，然兩位程序操作員各向計(jì)算機(jī)輸入一遍，然后讓計(jì)算機(jī)比較兩人的輸入是否一致后讓計(jì)算機(jī)比較兩人的輸入是否一致. .已知已知甲的輸入速度是乙的甲的輸入速度是乙的2 2倍，結(jié)果甲比乙少用倍，結(jié)果甲比乙少用2 2小時(shí)輸完小時(shí)輸完. .問這兩個(gè)操作員每分鐘各能輸問這兩個(gè)操作員每分鐘各能輸入多少名學(xué)生的成績(jī)？入多少名學(xué)生的成績(jī)？課前熱身課前熱身列方程解應(yīng)用題的列方程解應(yīng)用題的步

13、驟是怎樣的呢？步驟是怎樣的呢？ 602264022640 xx解設(shè)乙每分鐘能輸入解設(shè)乙每分鐘能輸入x x名學(xué)生的成績(jī)，名學(xué)生的成績(jī)，則則甲每分能輸入甲每分能輸入2x2x名學(xué)生的成績(jī)，根據(jù)題意得名學(xué)生的成績(jī)，根據(jù)題意得解得解得x x1111經(jīng)檢驗(yàn)，經(jīng)檢驗(yàn)，x x1111是原方程的解是原方程的解. .并且并且x x1111，2 2x x2 211112222，符合題意，符合題意. .答：甲每分鐘能輸入答：甲每分鐘能輸入2222名學(xué)生的成績(jī)，乙每分鐘名學(xué)生的成績(jī)，乙每分鐘能輸入能輸入1111名學(xué)生的成績(jī)名學(xué)生的成績(jī). .三、例題講解與練習(xí)三、例題講解與練習(xí) 已知兩邊的速度之比為已知兩邊的速度之比為5

14、 5：2 2，所以設(shè)大車，所以設(shè)大車的速度為的速度為2x2x千米千米/ /時(shí)，小說車的速度為時(shí)，小說車的速度為5x5x千米千米/ /時(shí)，而時(shí)，而A A、B B兩地相距兩地相距135135千米，則大車行駛時(shí)間千米，則大車行駛時(shí)間 小時(shí)，小車行駛小時(shí)，小車行駛時(shí)間時(shí)間 小時(shí)，由題意可知大車早出發(fā)小時(shí)，由題意可知大車早出發(fā)5 5小時(shí)，又比小車小時(shí)，又比小車早到早到3030分鐘，實(shí)際大車行駛時(shí)間比小車行駛時(shí)間多分鐘，實(shí)際大車行駛時(shí)間比小車行駛時(shí)間多4.54.5小時(shí)，由此可得等量關(guān)系小時(shí)，由此可得等量關(guān)系x2135x5135解：設(shè)大車的速度為解：設(shè)大車的速度為2x2x千米千米/ /時(shí)，小車的速度時(shí)，小車

15、的速度為為5x5x千米千米/ /時(shí)，根據(jù)題意得時(shí)，根據(jù)題意得解之得解之得 x=9x=9x2135x513521=5-=5-經(jīng)檢驗(yàn)經(jīng)檢驗(yàn)x=9x=9是原方程的解是原方程的解當(dāng)當(dāng)x=9x=9時(shí)，時(shí)，2x=182x=18，5x=455x=45答：大車的速度為答：大車的速度為1818千米千米/ /時(shí)，小車的速時(shí)，小車的速度為度為4545千米千米/ /時(shí)時(shí)三、例題講解與練習(xí)三、例題講解與練習(xí)1)1)甲乙兩人同時(shí)從甲乙兩人同時(shí)從A A地出發(fā)，騎自行車到地出發(fā)，騎自行車到B B地，已知兩地，已知兩地地ABAB的距離為的距離為3030，甲每小時(shí)比乙多走，甲每小時(shí)比乙多走3 3，并且比乙，并且比乙先到先到404

16、0分鐘設(shè)乙每小時(shí)走分鐘設(shè)乙每小時(shí)走x x，則可列方程為，則可列方程為（ ）（2 2）我軍某部由駐地到距離）我軍某部由駐地到距離3030千米的地方去執(zhí)行任務(wù)，千米的地方去執(zhí)行任務(wù)，由于情況發(fā)生了變化，急行軍速度必需是原計(jì)劃的由于情況發(fā)生了變化，急行軍速度必需是原計(jì)劃的1.51.5倍，才能按要求提前倍，才能按要求提前2 2小時(shí)到達(dá)，求急行軍的速度。小時(shí)到達(dá)，求急行軍的速度。課堂小結(jié)課堂小結(jié)(1)(1)列分式方程與列一元一次方程解應(yīng)用題列分式方程與列一元一次方程解應(yīng)用題的差別是什么？的差別是什么？(2)(2)你能總結(jié)一下列分式方程應(yīng)用題的步驟嗎？你能總結(jié)一下列分式方程應(yīng)用題的步驟嗎？王明同學(xué)準(zhǔn)備在課外活動(dòng)時(shí)間組織