八年級勾股定理培優(yōu)題型歸納總結(jié)

1、勾股定理培優(yōu)題型歸納總結(jié)一、巧解幾何圖形折疊問題折疊圖形的主要特征是折登前后的兩個圖形繞著折線翻折能夠完全重合，解答折疊,問題就 是巧用軸對稱及全等的性質(zhì)解答折疊中的變化規(guī)律.利用勾股定理解答折疊問題的一般步驟:運用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角：(2)在圖形中找到一個直角三角形，然后設(shè)圖形中某一線段的長為x,將此直角三角形,的三邊 長用數(shù)或含有x的代數(shù)式表示出來：(3)利用勾股定理列方程求出x： (4)進行相關(guān)計算解決問題.考點1、巧用對稱法求折疊中圖形的面積1、將長方形A8CO沿直線刀。折卷，使點C落在點。處，BC交AD于E, AO=8, A8=4,A E /、0求而積.來【解析】由題意

2、易知AO8G，N2=N3.,: ABCD 與A BCD 關(guān)于直線 8D對稱，AZ1 = Z2.，N1 = N3.：.EB=ED.設(shè) 則 EO=x, AE=AO-ED=8一工在 Rd A8E 中，AB2+AE2=BE2,42+(8 - x)2=/.，x=5.ZD£=5.ZS=S£d=£UB=1x5x4=10.考點2、巧用全等法求折疊中線段的長1、如圖是一直角三角形紙r片，NA = 30。，BC=4cm,將其折疊，使點。落在斜邊上的點。處，折痕為3。，如圖，再將圖沿OE折疊，使點A落在。C的延長線上的點水處,如圖，則折痕。上的長為（8A. - cm B.24cm C.

3、 2娘cm D. 3 cm【答案】AJ考點3,巧用折疊探究線段之間的數(shù)立關(guān)系1、如圖，將長方形ABCO沿直線上尸折疊，使點。與點A重合，折痕交A。于點E,殳BC于點F，連接(1)求證：AE=AF=CE=CF(2)設(shè) AE=n, ED=b, DC=c,請寫出一個小b, G三者之間。的數(shù)量關(guān)系式.證明：由題怠知，AF=CF, AE=CE, /AFE=/CFE,又四邊形A8CO是長方形，故AD/BC, ：. ZAEF= ZCFE.：. NAFE= ZAEF. ：.AE=AF=EC=CF.(2)【解析】由題意知,AE=EC=cb E,D=b, DC=c,由 NQ=90。知,ED2+DC2 = CE2,

4、即分+/=/考點4、巧用方程思想求折疊中線段的長1、如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊。的中1s點,將 ADE沿AE對折侄 AFE, 延長EF交BC于點G,連接AG.求證：b ABGWAFG： 2）求8G的長.(1)證明：在正方形 A5CO 中，AD=AB, ZD=ZB=90°.將 ADE 沿 AE 對茄至 AFE, ：.AD=AF, ZD=ZAFE=90°.：.AB=AFf N8=NAFG=90。,又AG=AG, AR/a ABGRtA AFG(HL).(2)【解析】ABG烏 AAEG, ：BG產(chǎn)FG.設(shè) BG=FG=x,則 GC=6；v, 口E 為 CO 的中點

5、，：.CE=DE=EF=3, ，EG=3+x，在 RfZkCEG 中，32+(6-x)2=(3+x)2,解得x=2,，BG=2.專題二、勾股定理求最短路徑長度問題求最短距離的問題，第一種是通過.計算比較解最短問題：第二種是平面圖形，將分散的條 件通過幾何變換(平移或軸對稱)進行集中，然后借助勾股定理解決；第三種是立體圖形，將 立體圖形展開為平面圖形，在平面圖形中將路程轉(zhuǎn)化為兩點間的距離，然后借助直角三角 形利.用勾股定理求出最短路程(距離), 考點1、通過計算比較解最短問題1、小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)開通，便設(shè)計了如下問題：如圖，以往從黃石A坐客車到 武昌客運站8, 現(xiàn)在可以在黃石A坐“武

6、黃城際列車”到武漢青山站C,再從青山站。坐市 內(nèi)公共汽車到武昌.客運站3.設(shè)A8=80妨j, BC=20km, NABC= 120。.請你幫助小明解決以 下問題：(1)求A,。之間的距離.(參考數(shù)據(jù)：21=4.6)(2)若客車的平均速度是60 km/h,市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40 h小，“武黃城際列車” 的平均速度為180h小，為了在最短時間內(nèi)到達武昌客運站，小明應(yīng)選擇哪種乘車方案？請 說明理由.(不計候車時間)【解析】(1)如圖，過點C作AB的垂線，交AB的延長線于點£V ZABC= 120°,，NBCE=300,在 Ra C8E 中，9：BC=20knu ：.BE=

7、0km.由勾股定理可得CE= 10小km.在 Rd ACE 中，9：AC2=AE2+CE2=(AB+BE)2 + CE2=8 100+300=8 400, ，AC=20Vi=20x4.6=92(k).(2)選擇乘“武黃城際列車”.理由如下：乘客車所需時間為群電)，乘“武黃城際列車”所需時間約為需+于島的.志選擇乘“武黃城際列車”.2、如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人從A走到8,為了避免拐角C走''捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他J門僅僅少走了 步路(假設(shè)2步為1。，卻踩傷了花草.【答案】4考點2、用平移法求平面中最短問題1、如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分

8、別是50o，30cm, 0cni, A和B是這個臺階的兩個相對的端點,A點上有一只壁虎,它想到3點去吃可口的食物,請你想一想，這只壁虎從A點出發(fā)，沿著臺階而爬到5點，至少需爬()A. 13 cm B. 40 cm C. 130 cm D. 169 cm【解析】將臺階而展開，連接A8,如圖，線段AB即為壁虎所爬的最短路線.因為 3c=30x3+10x3=120Q)，AC =50 cm.在ABC 中，根據(jù)勾股定理,得ABZnAC+BnlGgOO,所以A8= 130cn所以壁虎至少爬行130cn 2、如圖，己知N8=N.C=NO=NE=90。，且 AB=CO=3, 3c=4, DE=EF=2,則 A

9、E的長足【答案】10 考點3、用對稱法求平面中最短問題1、如圖，正方形A8CQ的邊長為8,點M在OC上且0M=2, N是AC上的一動點，求ON+MN最小值【解析】如圖所示，：正方形是軸對稱圖形，點8與點D是關(guān)于直線AC為對稱軸的對稱點 ，連接BN, BD,則直線AC即為8。的垂直平分線，:.BN=ND.,:.DN+MN=BN+MN.連接8M交AC于點P, ,點N為AC上的動點，由三角形兩邊之和大于第三邊， 知當點N運動到點P時，DN+MN=BP+PM=BM, ON+MN的最小值為8M的長度.:四邊形 A5CO 為正方形，8C=CO=8, CM=8-2 = 6,ZBCM=90°, AM

10、=MbC2+CM2=、82+62=10,即 DN+MN 的最小值為 10.2、高速公路的同一側(cè)有A, 8兩城鎮(zhèn)，如圖，它.們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA'=2k，BB'=4 km, A'8'=8 h”,要在高速公路上AA比'之間建一個出口 P,使A, B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小.求這個最短距離.【解析】如圖，作點B關(guān)于直線MN的對稱點C,連接AC交MN于點P,則點P即為所建的出口.此時A, 3兩城鎮(zhèn)到出口 P的距離之和最小，最短距離為AC的長.作AO_L8夕于點。，在 RdADC 中，AD=AB=8ki, DC=6 km., .MC=/AD2+

11、DC2= 10 km. 這個最短距離為10考點4、用展開法求回柱中的最短問題2如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為/高為2, AB, CO分別是兩底面的直徑.若一只小蟲從A點出發(fā)，沿圓柱側(cè)面爬行到。點，則小蟲爬行的最短路線的長度是(結(jié)果保留根號).7 / z z / 【解析】將圓柱體的側(cè)面沿AO剪開并鋪平得長方形/VVOD,連接AC,如圖.線段AC就 21是小蟲爬行的最短路線.48=,2仍2=2.在由 ABC中，由勾股定理得從。2=八鼠+8。2= 22+22=8,."。=m=2班.考點5、用展開法求圓錐中的兼短問題已知：如圖，觀察圖形回答下而的問題：(1)此圖形的名稱為.(2)請你與同伴一

12、起做一個這樣的物體，并把它沿AS剪開，鋪在桌而上，則它的側(cè)面展開圖 是一個.(3)如果點。是SA的中點，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不 能直接沿AC爬到。處，只能沿此立體圖形的表而爬行，你能在側(cè)而展開圖中畫出蝸牛爬行 的最短路,線嗎？(4)SA的長為10,側(cè)而展開圖的圓心角為90。，請你求出蝸牛爬行的最短路程.SaAAC【解析】（1）圓錐（2）扇形 把此立體圖形的側(cè)面展開，如圖所示，AC為蝸牛爬行的最短路線（4）在RaASC中，由勾股定理，得從。=1。2+52= 125,，AC=yi芯=54，故蝸牛爬行的最短潞程為54.考點6、用展開法求正方體中的最短問題 如圖,，一個正方體木柜放在墻角處（與墻而和地面均沒有隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著 木柜表面爬到柜角G處.請你在正方體木柜的表面展開圖中畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑: 當正方體木柜的棱長為4時，求螞蟻爬過的最短路徑的長.解析】（1）螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑有如圖的AC1和AG.如佟I,（4+4） 2+42=4書.所以螞蟻爬過的最短路徑的長是44.考點7、用展開法求長方體中的選短問題如圖，長方體盒子的長、寬、高分別是12 cm, 8 cm, 30。%在AB的中點。處有一滴蜜糖,一只小蟲從E處沿盒子表面爬到。處去吃，求小蟲爬行的最