鹽的儲存數(shù)學建模正式論文

1、鹽的儲存問題摘要 本文結合二維顆粒堆積體在實驗室條件下的實驗數(shù)據(jù)分析，確定了實際堆積體在受到法向集中荷載時的應力分布狀態(tài)。驗證了最大堆積高模型在一定條件下的正確性。我們假設鹽堆積體內(nèi)部具有摩擦內(nèi)阻且不可忽略，簡單地將復雜的內(nèi)力應力分布和剪力分布簡化為單元體受力，運用莫爾圓，求解到鹽堆積體在極限應力狀態(tài)下的摩擦角為13.3°最后由幾何關系，求得對應的最大堆積高度為4.7m.對于鹽堆積體的體積求算，我們建立了模型二，通過近似求解得到鹽堆積體的體積為 。關鍵詞：二維顆粒堆積體 鹽堆積高度 應力分析 庫倫剪切破裂準則一、問題的重述某路政倉庫把冬天用來灑在馬路上的鹽存貯在一個球頂倉庫里大約有1

2、5年了。圖1表示在過去15年中鹽是怎么存貯的。通過駕駛鏟斗車在由鹽鋪成的坡道上進出倉里并利用鏟斗車上的鏟子把鹽裝進倉里或從倉里取出來。最近，一個小組確定這種做法是不安全的。如果鏟斗車太靠近鹽堆的頂端，鹽就會滑動，而鏟斗車就要翻到為加固倉庫而筑的擋壁上去。該小組建議，如果鹽堆是用鏟斗車堆起來的，那么鹽堆的最高高度不要超過4.6米。圖中倉高15.2米，擋壁高1.22米，倉的外直徑31.4米，門的凈空高6米，鏟斗車高3.3米。對這種情況建立一個數(shù)學模型并求得在倉庫中鹽堆的最大高度并估算出鹽堆的體積。 二、符號說明符號含義鹽堆積體的內(nèi)部動摩擦因數(shù)鏟斗車和鹽之間的動摩擦因素鏟斗車和車內(nèi)鹽總質(zhì)量鹽堆積體最

3、大高度擋壁的高度（1.22米）倉庫地面直徑門的凈空高三、模型假設1、 假設鹽堆積體只和擋壁和地面接觸，堆積的鹽不會觸到頂棚。2、 不考慮鹽堆因長時間堆積導致局部硬化造成的的密度不均，從而假設各摩擦因數(shù)保持不變，且不受外界因素的影響。3、 我們假設只從進口到鹽堆積體頂端的斜面運動，并且車從頂端開始倒退向門口堆積。4、 假設鏟斗車作緩慢勻速運動。5、 假設倉庫地面為剛性基底，不發(fā)生下沉。四、模型的建立與求解4.1最大堆積高模型的建立根據(jù)文獻1中的實驗資料，我們可以得到二維顆粒堆積體的應力分布圖(圖4-1)。圖中頂端施加一集中荷載，較明亮區(qū)域為應力分布區(qū)域。在此試驗下的二維顆粒體堆積模型是實際堆積體

4、的一種簡化模型，在一定條件下和實際的堆積體的應力分布具有很大的相似性。所以我們可以據(jù)此得到鹽堆積體的應力分布模型。進而，簡化模型，分析鹽堆積體的受力，根據(jù)相關的已知條件，求解出其最大堆積高度對應的臨界角。圖（1-1）法向集中荷載作用下應力分布經(jīng)過多次試驗，可以知道堆積體內(nèi)部力的分布和傳遞遵循拋物線型方程。（如圖4-2）即應力的分布范圍邊界組成一個拋物線型，且隨著里的增大，應力分布范圍大小不會發(fā)生明顯的變化。圖1-2 不同大小法向集中荷載下堆積體應力范圍擬合曲線此外，隨著深度的不同，應力的大小也發(fā)生著變化。如圖1-3所示，在集中荷載P=400N的集中荷載作用下，不同深度的應力大小分布。在較深的地

5、方會形成像一個拱形的區(qū)域。力的最大值在距離頂部較淺的地方分布。圖1-3 法向集中荷載p=400N時不同深度的法向力分布力基于以上分析，我們可以取鹽堆積體的單元來分析，簡化為如圖2-1所示的斜面體。由材料力學的知識來求解其法向應力和剪力。 現(xiàn)取鹽堆的斜面中一個微小立方體（如圖2-1（1），其截面受力情況如圖2-1（2），微元體在斜面上受正應力和剪應力的作用，在臨界狀態(tài)時內(nèi)部恰好發(fā)生破裂，在此條件下，以一個小的三角形 ABC為研究對象，受力分析如圖2-1（3）所示 在截面三角形ABC中，設截面AB的面積是dA則面AC和面BC的面積分別為dAsin和d Acos，我們?nèi)〕鰣D2-1（3）中的三角形作分

6、析可得下列方程： （6） 考慮三角形ABC的力的平衡,可以列出:截面法向n量方向的投影方程： 解得： （7） 截面切線t方向的投影方程:解得： （8） 庫倫認為巖石和土壤抵抗剪切破壞能力與作用在截面上的剪應力和截面上的正應力有關。在此我們可以將鹽堆類比土堆，其內(nèi)摩擦系數(shù)有限，由庫倫剪切破裂準則我們有： 其中C為粘聚力，為內(nèi)摩擦角，是破裂面上的剪應力，是破裂面上的正應力。由于鹽的粘聚力為C=0，所以上式可以簡化為 即 （9） 在莫爾應力圓（如圖2-2）中，存在如圖兩條與鹽堆破裂時的極限應力圓相切的兩條直線，稱為剪切破裂線，兩個切點代表了共軛剪切面的方位和應力狀態(tài)。由圖2-2可知，鹽堆發(fā)生剪切時破

7、裂面與最大主應力的夾角為，且有： 且 (11）有了這些基礎，我們便可以通過求解來確定鹽堆的最大高度h了。4.1.1最大堆積高模型的求解將(6)、(7)代入(8)中并兩邊同時取倒數(shù)得: (12)即：解得最終的最大值為13.3°。這是保證鹽堆積體穩(wěn)定的最大摩擦角，當大于這個角度時，鹽堆積體會達到極限應力發(fā)生破裂失去穩(wěn)定性?，F(xiàn)在，我們已經(jīng)知道了最大摩擦角，就可以根據(jù)最大摩擦角，依據(jù)圖2-3幾何關系來求得鹽堆積的最大高度。如圖2-3.以E點為圓心建立圓的基本方程。圓的基本方程為，將DF=y=6代入圓的方程，解得DE=x=14.5。當車到達門處時，該處鹽的高度為h2=6-3.3=2.7m,所以我們可以由公式解得： AD=6.2所以有 AE=20.7解得 =4.7m4.2 堆積體體積計算模型的建立對于鹽堆積體的體積，考慮到具體計算的復雜性，我們忽略了鹽堆積體的在受力狀態(tài)下的體積變化，且認為堆積是按照近似圓錐進行堆積的。4.2.1堆積體體積計算模型的求解五、模型的評價和應