第4章-線性方程組

1、4.1 消元法消元法4.2 矩陣的秩矩陣的秩 線性方程組可解的判別法線性方程組可解的判別法4.3 線性方程組的公式解線性方程組的公式解4.4結(jié)式和判別式結(jié)式和判別式2021/8/614.1 消元法消元法線性方程組的一般形式線性方程組的初等變換 矩陣、矩陣的初等變換、系數(shù)矩陣與增廣矩陣用消元法解線性方程組2021/8/62一一. 線性方程組的一般形式線性方程組的一般形式 ( m 個(gè)方程 n個(gè)未知數(shù) ( m, n 0 ) )11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xa xa xa xa xba xba xb 解線性方程組的例子（例1）線性方程組的三種初等變換：l

2、 交換兩個(gè)方程的位置；2. 用一個(gè)不為零的數(shù)乘以某一方程；3. 用一個(gè)數(shù)乘以某一個(gè)方程后加到另一個(gè)方程。定理定理4.1.1 初等變換把一個(gè)線性方程組變?yōu)榱硪粋€(gè)與它同解的線性方程組。二. 線性方程組的初等變換三三. 矩陣、矩陣的初等變換、系數(shù)矩陣與增廣矩陣、矩陣的初等變換、系數(shù)矩陣與增廣矩陣矩陣111212122212nnmmmnaaaaaaaaa系 數(shù)常數(shù) 項(xiàng)11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab 系 數(shù) 矩 陣增 廣 矩 陣線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng) 表），叫做一個(gè)s 行 t 列的矩陣， 叫這個(gè)矩陣的元素。 1. 矩陣的定義矩陣的定義111212122212ttss

3、stcccccccccijcijc定義定義1 由 st 個(gè)數(shù) 排成的一個(gè) s 行 t 列的表（下矩陣的表示：A，B，C，.、 等mnA2. 矩陣初等變換矩陣初等變換定義定義2 ： 矩陣的三種行(列)初等變換初等變換指的是對一個(gè)矩陣施行的下列變換： 交換矩陣的兩行(列)；2. 用一個(gè)不為零的數(shù)乘；3. 用一個(gè)數(shù)乘矩陣的某一行(列)后加到另一行(列)。幾個(gè)問題：1. 初等變換能把矩陣化為什么形式？2. 如何用矩陣的初等變換法解線性方程組？3. 線性方程組的解有哪幾種情況？四四. 用消元法解線性方程組用消元法解線性方程組定理定理4.1.2 設(shè)A是一個(gè)m行n列的矩陣111212122212nnmmmn

4、aaaaaaAaaa通過和能把A化為以下形式1*01*0001*000000000000B 進(jìn)而化為以下形式： 1,11,2,1,1,1000100010000000000rnrr nr rr nccccCcc 這里 r 0 ，r m ，r n。消元法及線性方程組解的三種情況消元法及線性方程組解的三種情況（A ,）可以化為（常數(shù)項(xiàng)列不前移）由定理4.1.2 知線性方程組的一般形式的增廣矩陣11,11,22,1,1,11000100010000000000rnrr nrr rr nrmdccdccdccdd 相應(yīng)的線性方程組為11,111122,1122,11100rrnnrrnnrr rrrn

5、nrrmycyc ydycyc ydycyc yddd11nnyyxx這里是的一個(gè)排列 相應(yīng)的線性方程組為11,111122,1122,11100rrnnrrnnrr rrrnnrrmycyc ydycyc ydycyc yddd11nnyyxx這里是的一個(gè)排列由上頁方程組可以看出：情形1：當(dāng) r m ，而 不全為零時(shí)， 方程組無解。情形2：當(dāng) r = m 或 r m而 全為零時(shí)，方程組有解。此時(shí)，原方程組與方程組(1)同解。1.當(dāng) r = n 時(shí)，方程組有唯一解 , i= 1, 2, n。2.當(dāng) r n 時(shí)，方程組有無窮多解，稱為一般解(2)，其中 稱為自由未知量，對其任意取一組值代入方程組

6、(2)都能得到方程組(2)也是原方程組的一個(gè)特殊的解。1,rmdd1,rmddiiyd1,rnyy11,111122,1122,11(1)rrnnrrnnrr rrrnnrycyc ydycyc ydycyc yd111,111222,112,11(2)rrnnrrnnrrr rrrnnydcyc yydcyc yydcyc y消元法解線性方程組的步驟：1. 寫出增廣矩陣；2. 做行初等變換，化為行最簡形。具體解線性方程組時(shí)，一般不交換其增廣矩陣的3. 判斷解的情況，有解的給出其唯一解或一般解。此方法以及階梯形矩陣和行最簡型矩陣參見例2，例3題列，定理中其所以這樣做，是為了使結(jié)果容易敘述，有關(guān)

7、4.2 矩陣的秩矩陣的秩線性方程組可解的判別法線性方程組可解的判別法 矩陣的秩線性方程組可解的判別法2021/8/616上一節(jié)解上一節(jié)解 線性方程組（線性方程組（1）時(shí)的幾個(gè)問題：）時(shí)的幾個(gè)問題： 1. 把（1）的系數(shù)矩陣（2）化為矩陣（3）時(shí)， r 與（2）究竟有什么關(guān)系？ 它是否依賴于所做的初等變換？因?yàn)橐话銇碚f不同的初等變換把（2）化為不同的形如（3）的矩陣 。2. 線性方程組（1）有解時(shí)，它的系數(shù)應(yīng)滿足什么條件？3. 線性方程組（1）有沒有公式解？ k k 階子式階子式 矩陣的秩矩陣的秩mnA 定義定義1 在一個(gè) m 行 n 列的矩陣中任意取 k 行 k 列（km,kn）。位于這些行列

8、交點(diǎn)處的元素所構(gòu)成的 k 階行列式叫做這個(gè)矩陣的一個(gè) 定義定義2 一個(gè)矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫做這個(gè)。若一個(gè)矩陣沒有不等于零的子式，就認(rèn)為這個(gè)矩陣矩陣的秩為零。矩陣A的秩表示為：秩A 或R(A)。(rank)幾個(gè)問題： 1. 矩陣 的秩的范圍？ （r0，rm，rn）2. 若矩陣 的秩為r，則有沒有一個(gè)r+1（或 r-1 ）階的不為零的子式？有沒有可能所有的r-1階子式都等于零？3. 討論用定義求一般矩陣的秩的可行性？mnA初等變換與矩陣的秩初等變換與矩陣的秩218294003342000035000000定理定理4.2.1 初等變換不改變矩陣的秩。 此定理使矩陣求秩問題變得簡單，我們先

9、把想要求秩的矩陣化為階梯形，它的秩就等于不全為零的行的行數(shù)?？聪铝须A梯形矩陣它有一個(gè)3階子式不等于零，4階子式全為零，故秩是3。線性方程組可解的判別法線性方程組可解的判別法 解的個(gè)數(shù)解的個(gè)數(shù)定理定理4.2.2 （線性方程組可解的判別法）線性方程組（1）有解的充分必要條件是：它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩。定理定理4.2.3 設(shè)線性方程組（1）的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩 r ，那么當(dāng) r 等于方程組所含未知量的個(gè)數(shù) n 時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng) r n 時(shí)，方程組有無窮多解。4.3 線性方程組的公式解線性方程組的公式解 線性方程組的公式解齊次線性方程組及其有關(guān)結(jié)論2021/8/621m 個(gè)方

10、程個(gè)方程可以可以歸結(jié)為歸結(jié)為 r 個(gè)方程個(gè)方程12,tG GGiG12,tG GG線性方程組（1）的就是由它的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)表示而用初等變換化簡方程組時(shí)，系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都發(fā)生了變化，因而此方法不能得到公式解。同樣，若方程組（1）的 m 個(gè)方程（設(shè)為）中某一個(gè)方程 是其他 t 個(gè)方程（不妨設(shè)為 ) 的結(jié)果，即存在 t 個(gè)數(shù) 使則方程組（1）舍去 所得方程組與（1）同解。定理定理4.3.1 設(shè)方程組（1）有解，它的系數(shù)矩陣A和增廣矩陣的秩都為 r0。那么可以在（1）的 m 個(gè)方程中選出 r 個(gè)方程，使得剩下的 m-r 個(gè)方程中的每一個(gè)都是這 r 個(gè)方程的結(jié)果，因而解方程組（1）可以歸結(jié)為 解由這r 個(gè)

11、方程所組成的線性方程組。12,tk kk1122ittGk Gk Gk GiG線性方程組的公式解線性方程組的公式解1,rxx11 1111,1111 1,11(2)rrrrnnrrrrrrrrrnna xa xa xa xa xa xba xba x左上角的 r 階子式不為零（線性方程組（1） 。則線性方程組（1）與線性方程組（2）同解。把 當(dāng)成未知量，把 當(dāng)成常數(shù)，將其寫成下列形式：方程組（2）適合克拉默規(guī)則的條件，所以有公式解。 在公式解中， 為自由未知量。1,rnxx1,rnxx齊次線性方程組齊次線性方程組111122121122221122(3)000nnnnmmmnna xa xa

12、xa xaxaxa xa xax定義定義 若線性方程組的常數(shù)項(xiàng)都等于零，則此方程組叫做齊次線性方程組齊次線性方程組。齊次線性方程組系數(shù)矩陣與增廣矩陣的一定相等，所以它一定有解，至少有零解（零解（ ）若還有其他解，則稱為非零解非零解。10nxx齊次線性方程組的有關(guān)結(jié)論齊次線性方程組的有關(guān)結(jié)論定理定理4.3.2 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是：其系數(shù)矩陣的秩 r 小于未知量的個(gè)數(shù) n。推論推論4.3.3 含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是：方程組的系數(shù)行列式等于零。推論推論4.3.4 若齊次線性方程組中，方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，那么這個(gè)方程組一定有非零解。注

13、：注：以上討論的是求線性方程組的精確解的理論和方法，在實(shí)際問題中常常只需求近似解，它還有相應(yīng)的另一套方法，參閱有關(guān)計(jì)算數(shù)學(xué)的書。4.4 結(jié)式和判別式結(jié)式和判別式2021/8/626關(guān)于結(jié)式和判別式的幾個(gè)定理關(guān)于結(jié)式和判別式的幾個(gè)定理101( )(0)nnng xbxbxb n101( )(0)nnng xb xbxb n101( )(0)mmmf xa xaxa m定理定理4.4.1 如果多項(xiàng)式如果多項(xiàng)式有公根，或者有公根，或者 ，那么它們的結(jié)式等于零。，那么它們的結(jié)式等于零。 定理定理4.4.2 設(shè)設(shè)是復(fù)數(shù)域是復(fù)數(shù)域C上的多項(xiàng)式。上的多項(xiàng)式。 是它們的結(jié)式。是它們的結(jié)式。000ab( , )R f g101( )(0)mmmf xa xaxa m 00a 12, ,mC 012( ,)() ()()nmR f ga ggg(i) 如果如果 ， 而而 是是 的