羅爾、拉格朗日、柯西中值定理、洛必達法則與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第3章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容（3.1、3.2）3.1 中值定理名稱條件結(jié)論羅爾中值定理：（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)；（3）至少存在一點使得拉格朗日中值定理：（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點使得柯西中值定理、：（1）在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)；（2）在內(nèi)每點處至少存在一點使得3.2 洛必達法則基本形式型與型未定式通分或取倒數(shù)化為基本形式1）型：常用通分的手段化為型或型；2）型：常用取倒數(shù)的手段化為型或型，即：或；取對數(shù)化為基本形式1）型：取對數(shù)得，其中或；2）型：取對數(shù)得，其中或；3）型：取對數(shù)得，其中或。課后習題全解習題3-11.下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的

2、所有條件？如滿足，請求出滿足定理的數(shù)值。（1）； （2）。知識點：羅爾中值定理。思路：根據(jù)羅爾定理的條件和結(jié)論，求解方程，得到的根便為所求。解：（1）在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，在上滿足羅爾定理的條件。令得即為所求。 （2）在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且， 在上滿足羅爾定理的條件。令，得即為所求。2.驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性。知識點：拉格朗日中值定理。思路：根據(jù)拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論，求解方程，若得到的根則可驗證定理的正確性。解：在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件。又，要使，只要：，使，驗證完畢。3.已知函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，試求滿足定理的。解：

3、要使，只要，從而即為滿足定理的。4.試證明對函數(shù)應(yīng)用拉格朗日中值定理時所求得的點總是位于區(qū)間的正中間。證明：不妨設(shè)所討論的區(qū)間為，則函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，從而有，即，解得，結(jié)論成立。5.函數(shù)與在區(qū)間上是否滿足柯西定理的所有條件？如滿足，請求出滿足定理的數(shù)值。知識點：柯西中值定理。思路：根據(jù)柯西中值定理的條件和結(jié)論，求解方程，得到的根便為所求。解：及在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)的每一點處有，所以滿足柯西中值定理的條件。要使，只要，解得， 即為滿足定理的數(shù)值。6.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。求證：存在，使。知識點：羅爾中值定理的應(yīng)用。思路：從結(jié)論出發(fā)，變形為，構(gòu)造輔助函數(shù)使其導(dǎo)函數(shù)為， 然后再利用羅

4、爾中值定理，便得結(jié)論。構(gòu)造輔助函數(shù)也是利用中值定理解決問題時常用的方法。證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)題意在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，從而由羅爾中值定理得：存在，使，即。注：輔助函數(shù)的構(gòu)造方法一般可通過結(jié)論倒推，如：要使，只要 只要設(shè)輔助函數(shù)7.若函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)函數(shù)，且，證明：在內(nèi)至少有一點，使得。知識點：羅爾中值定理的應(yīng)用。思路：連續(xù)兩次使用羅爾中值定理。證明： 在內(nèi)具有二階導(dǎo)函數(shù)，在、內(nèi)連續(xù)，在、內(nèi)可導(dǎo)，又，由羅爾定理，至少有一點、，使得、；又在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，從而由羅爾中值定理，至少有一點，使得。8.若4次方程有4個不同的實根，證明：的所有根皆為實根。知識點：羅爾中值定理的應(yīng)用。思路：討論方

5、程根的情況可考慮羅爾中值定理。證明：令則由題意，有4個不同的實數(shù)零點，分別設(shè)為，在、上連續(xù)，在、上可導(dǎo)，又，由羅爾中值定理，至少有一點、使得，即方程至少有3個實根，又三次方程最多有3個實根，從而結(jié)論成立。9.證明：方程只有一個正根。知識點：零點定理和羅爾定理的應(yīng)用。思路：討論某些方程根的唯一性，可利用反證法，結(jié)合零點定理和羅爾定理得出結(jié)論。零點定理往往用來討論函數(shù)的零點情況；羅爾定理往往用來討論導(dǎo)函數(shù)的零點情況。解：令，在上連續(xù)，且，由零點定理，至少有一點，使得；假設(shè)有兩個正根，分別設(shè)為、（），則在在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，從而由羅爾定理，至少有一點，使得，這不可能。方程只有一個正根。10.不用

6、求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，說明方程有幾個實根，并指出它們所在的區(qū)間。知識點：羅爾中值定理的應(yīng)用。思路：討論導(dǎo)函數(shù)的零點，可考慮利用羅爾中值定理。解： 在、上連續(xù)，在、內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾中值定理，至少有一點、，使得，即方程至少有三個實根，又方程為三次方程，至多有三個實根，有3個實根，分別為、。11.證明下列不等式：（1） ； （2） 當 時， ；（3） 設(shè) ，證明； （4） 當時，。知識點：利用拉格朗日中值定理。思路：用拉格朗日中值定理證明不等式的過程：尋找函數(shù)，通過式子（或）證明的不等式。證明：（1）令， 在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，得。（2）令，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，得

7、，從而當 時，。（3）令，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，得，即， 。（4）令，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，得，即當時，。12.證明等式：.知識點：（為常數(shù)）。思路：證明一個函數(shù)表達式恒等于一個常數(shù)，只要證證明：令，當時，有；當時，有，；成立。13.證明：若函數(shù)在內(nèi)滿足關(guān)系式，且，則。知識點：思路：因為 ，所以當設(shè)時，只要證即可證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，則；。14.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且有，試證在內(nèi)至少存在一點，使。知識點：拉格朗日中值定理的應(yīng)用。思路：關(guān)于導(dǎo)函數(shù)在一點處符號的判斷，根據(jù)已知條件和拉格朗日中值定理的結(jié)論，逐層分析各層導(dǎo)函數(shù)改變量和自變量改變量的符號，得

8、出結(jié)論。證明： 在、上連續(xù)，在、內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，至少有一點、，使得，；又在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，從而至少有一點，使得。15.設(shè)在上可微，且試證明在內(nèi)至少有兩個零點。知識點：極限的保號性、介值定理、微分中值定理。思路：要證明在某個區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)至少存在兩個零點，只要證該函數(shù)在上有三個零點，即可以利用羅爾中值定理，得出結(jié)論。證明：，由極限的保號性知，（不妨設(shè)），對于，均有，特別地，使得，得；同理，由得（），使得，從而得；又在上連續(xù)，由介值定理知，至少有一點使得；在、上連續(xù)，在、內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾中值定理知，至少有一點、，使得，結(jié)論成立。16.設(shè)在閉區(qū)間上滿足，試證明存在唯一的，使得。知識點：

9、微分中值定理或函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用。思路：證明唯一性的題目或考慮利用反證法；或正面論述。此題用反證法和羅爾中值定理，或利用函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論。證明：存在性。在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知，至少有一點，使得。唯一性的證明如下：方法一：利用反證法。假設(shè)另外存在一點，使得，又在（或）上連續(xù)，在（或）內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾中值定理知，至少存在一點（或），使得，這與在閉區(qū)間上滿足矛盾。從而結(jié)論成立。方法二：在閉區(qū)間上滿足，在單調(diào)遞增，從而存在存在唯一的，使得。結(jié)論成立。17.設(shè)函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù)，且試用柯西中值定理證明：。知識點：柯西中值定理。思路：對、在上連續(xù)使用次柯西中值定理便可得結(jié)論。證

10、明：、及其各階導(dǎo)數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且在每一點處，又，連續(xù)使用次柯西中值定理得，從而結(jié)論成立。習題3-21.用洛必達法則求下列極限：（1） ； （2） ； （3）； （4）；（5）； （6）； （7） ； （8）； （9） ； （10）； （11）； （12）；（13）； （14）； （15）； （16）；（17）； （18）； （19）； （20）。知識點：洛必達法則。思路：注意洛必達法則的適用范圍。該法則解決的是未定型的極限問題，基本形式為：型與型未定式，對于這種形式可連續(xù)使用洛必達法則；對于型與型的未定式，可通過通分或者取倒數(shù)的形式化為基本形式；對于型、型與型的未定式，可通過取對數(shù)等手

11、段化為未定式；此外，還可以結(jié)合等價無窮小替換、兩個重要的極限、換元等手段使問題簡化。解： （1） ； （2） ；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） ；（8）；（9） ；（或解為：）（10）；（或解為：當時，）（11）；（12）；（或解為：）（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）令，則 2.驗證極限存在，但不能用洛必達法則求出。知識點：洛必達法則。思路：求導(dǎo)后極限如果不存在，不能說明原式極限不存在，只能說洛必達法則失效。洛必達法則不能解決所有的未定型極限問題。解： ，極限存在；若使用洛必達法則，得，而不存在，所以不能用洛必達法則求出。3.若有二階導(dǎo)數(shù)，

12、證明。知識點：導(dǎo)數(shù)定義和洛必達法則。思路：使用洛必達法則，對極限中的函數(shù)上下求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)定義得結(jié)論。證明： ，結(jié)論成立。4.討論函數(shù)在點處的連續(xù)性。知識點：函數(shù)在一點連續(xù)的概念。思路：討論分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性，要利用函數(shù)在一點處左、右連續(xù)的概念。解：，在處右連續(xù)；又，在處左連續(xù)；從而可知，在點處連續(xù)。5.設(shè)在處二階可導(dǎo)，且。試確定的值使在處可導(dǎo)，并求，其中 。知識點：連續(xù)和可導(dǎo)的關(guān)系、洛必達法則。思路：討論分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性、可導(dǎo)性，一般考慮利用定義。解：要使在處可導(dǎo)，則必有在處連續(xù)，又在處，；由導(dǎo)數(shù)定義，。內(nèi)容概要名稱 主要內(nèi)容（3.3）3.3 泰勒公式泰勒中值定

13、理：如果在含有的某個開區(qū)間內(nèi)具有階的導(dǎo)數(shù)，則對任一，有，此公式稱為階泰勒公式；其中（介于于之間），稱為拉格朗日型余項；或，稱為皮亞諾型余項。階麥克勞林公式：其中（）或。常用的初等函數(shù)的麥克勞林公式：1）2）3）4）5）6）習題3-31.按的冪展開多項式。知識點：泰勒公式。思路：直接展開法。求按的冪展開的階泰勒公式，則依次求直到階的導(dǎo)數(shù)在處的值，然后帶代入公式即可。解：，；，；，；將以上結(jié)果代入泰勒公式，得。2.求函數(shù)按的冪展開的帶有拉格朗日型余項的三階泰勒公式。知識點：泰勒公式。思路：同1。解：，；，；，；將以上結(jié)果代入泰勒公式，得，（介于與4之間）。3.把在點展開到含項，并求。知識點：麥克勞

14、林公式。思路：間接展開法。為有理分式時通常利用已知的結(jié)論。解：；又由泰勒公式知前的系數(shù)，從而。4.求函數(shù)按的冪展開的帶有皮亞諾型余項的階泰勒公式。知識點：泰勒公式。思路：直接展開法，解法同1；或者間接展開法，為對數(shù)函數(shù)時，通常利用已知的結(jié)論。方法一：（直接展開），；，；，；，；將以上結(jié)果代入泰勒公式，得。方法二：。5.求函數(shù)按的冪展開的帶有拉格朗日型余項的階泰勒公式。知識點：泰勒公式。思路：直接展開法，解法同1；或者間接展開法，為有理分式時通常利用已知的結(jié)論。方法一：，；，；，；將以上結(jié)果代入泰勒公式，得 （介于與之間）。方法二： （介于與之間）。6.求函數(shù)的帶有皮亞諾型余項的階麥克勞林展開式

15、。知識點：麥克勞林公式。思路：直接展開法，解法同1；間接展開法。中含有時，通常利用已知結(jié)論。方法一：，；，；，將以上結(jié)果代入麥克勞林公式，得 。方法二： 。7.驗證當時，按公式計算的近似值時，所產(chǎn)生的誤差小于，并求的近似值，使誤差小于。知識點：泰勒公式的應(yīng)用。思路：利用泰勒公式估計誤差，就是估計拉格朗日余項的范圍。解：；。8.用泰勒公式取，求的近似值，并估計其誤差。知識點：泰勒公式的應(yīng)用。解：設(shè)，則，從而；其誤差為：。9.利用函數(shù)的泰勒展開式求下列極限：（1） ； （2） 。知識點：泰勒展開式的應(yīng)用。思路：間接展開法。利用已知的結(jié)論將函數(shù)展開到適當?shù)男问?，然后利用極限的運算性質(zhì)得到結(jié)果。解：（

16、1）。（2）。10.設(shè)，證明：。知識點：泰勒公式。思路：用泰勒公式證明不等式是常用的一種方法。特別是不等式的一邊為某個函數(shù)，另一邊為其冪級數(shù)展開的一部分時，可考慮用泰勒公式。解：（介于與之間）， ，從而，結(jié)論成立。（也可用§3.4函數(shù)單調(diào)性的判定定理證明之）11.證明函數(shù)是次多項式的充要條件是。知識點：麥克勞林公式。思路：將按照麥克勞林公式形式展開，根據(jù)已知條件，得結(jié)論。解：必要性。易知，若是次多項式，則有。充分性。，的階麥克勞林公式為：，即是次多項式，結(jié)論成立。12.若在上有階導(dǎo)數(shù)，且證明在內(nèi)至少存在一點，使。知識點：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。思路：證明，可連續(xù)使用拉格朗日中

17、值定理，驗證在上滿足羅爾中值定理；或者利用泰勒中值定理，根據(jù)在處的泰勒展開式及已知條件得結(jié)論。方法一： 在上可導(dǎo)，且，由羅爾中值定理知，在內(nèi)至少存在一點，使得； 在上可導(dǎo)，且，由羅爾中值定理知，在內(nèi)至少存在一點，使得；依次類推可知，在 上可導(dǎo)，且，由羅爾中值定理知，在內(nèi)至少存在一點，使得。方法二：根據(jù)已知條件，在處的泰勒展開式為：，從而得，結(jié)論成立。內(nèi)容概要名稱 主要內(nèi)容（3.4）3.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)單調(diào)性的判別法：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則（1）若在內(nèi)，則在上單調(diào)增加；（2）若在內(nèi)，則在上單調(diào)減少。1） 曲線凹凸性的概念：設(shè)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，如果對上任意兩點，恒有，則稱在上的圖形

18、是凹的；如果恒有，則稱在上的圖形是凸的。2）拐點的概念：連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點成為曲線的拐點。曲線凹凸性的判別法：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，則（1）若在內(nèi)，則在上的圖形是凹的；（2）若在內(nèi)，則在上的圖形是凸的。習題3-41.證明函數(shù)單調(diào)增加。知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用一階導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性是常用的方法。在某個區(qū)間上，（），則在單調(diào)增加（減少）。證明：（僅在處），在內(nèi)是單調(diào)增加的。2.判定函數(shù)的單調(diào)性。解：（僅在處），是單調(diào)增加的。3.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1） ； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）。知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用一階導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)

19、性。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，用導(dǎo)數(shù)為零的點及不可導(dǎo)點，將定義域劃分成若干個區(qū)間，然后在每個區(qū)間上判斷函數(shù)的單調(diào)性；如果劃分定義域的點有兩個或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些。解：（1） 的定義域為；令，得，。列表討論如下：由上表可知，在、內(nèi)嚴格單增，而在內(nèi)嚴格單減。（2） 在內(nèi)，令，得；當 時，有；當 時，有；在內(nèi)嚴格單增，在內(nèi)嚴格單減。（3）的定義域為；令，得；為不可導(dǎo)點。列表討論如下：由上表可知，在、內(nèi)嚴格單增，而在內(nèi)嚴格單減。（4）的定義域為，在內(nèi)嚴格單增。（5）的定義域為，在上嚴格單增。（6）的定義域為，令，得；當時，；當時，；在內(nèi)嚴格單增，在內(nèi)嚴格單減。4.證明下列不等式：（1） 當時

20、，； （2）當時，；（3）當時，； （4）時，。知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用或者泰勒公式的應(yīng)用。思路：利用泰勒公式可以證明一些不等式（見習題3-3第10題），利用函數(shù)單調(diào)性也是證明不等式常用的方法。解：（1）方法一：令，則當時，在上嚴格單增；從而，即，結(jié)論成立。方法二：由泰勒公式，得（），從而得，結(jié)論成立。（2）方法一：令，則當時，在內(nèi)嚴格單增，從而，在內(nèi)嚴格單增，在內(nèi)，結(jié)論成立。注：利用的符號判斷的單調(diào)性，利用的單調(diào)性判斷其在某區(qū)間上的符號，從而得出在某區(qū)間上的單調(diào)性，也是常用的一種方法。方法二：令，當時，在內(nèi)嚴格單增， ，從而有，即，結(jié)論成立。（3）令，則當時有（僅在時，），在上嚴格單增，從而有，即

21、，結(jié)論成立。（4）令，則當時，有從而在內(nèi)嚴格單增，即在內(nèi)；再令，則當時，從而在內(nèi)嚴格單增，即在內(nèi)，結(jié)論成立。5.試證方程只有一個實根。知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而討論方程的根是常用的方法。解：易知，即是方程的一個根；令，則（僅在處），在內(nèi)嚴格單增，從而只有一個零點，即方程只有一個實根。6.單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是否必為單調(diào)函數(shù)？研究例子：。知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用一階導(dǎo)數(shù)符號判斷單調(diào)性，從而證明結(jié)論。解：單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不一定為單調(diào)函數(shù)。（僅在處），在內(nèi)嚴格單增；而在內(nèi)嚴格單減，在內(nèi)嚴格單增，從而在上不單調(diào)。7.求下列函數(shù)圖形的拐點及凹凸區(qū)間：（1）； （2）

22、 ； （3） ；（4）； （5） ； （6） 。知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用二階導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的凹凸性；求拐點和凹凸區(qū)間，用二階導(dǎo)數(shù)為零的點及不可導(dǎo)點，將定義域劃分成若干個區(qū)間，然后在每個區(qū)間上判斷函數(shù)的凹凸性；如果劃分定義域的點有兩個或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些。解：（1），當時，在上為凹函數(shù)，沒有拐點。（2）的定義域為；，令，得；當或時，；當或時，；的凹區(qū)間為、，凸區(qū)間為、；拐點為。（3） 的定義域為，在整個定義域上為凹函數(shù)，沒有拐點。（4）的定義域為，在整個定義域上為凹函數(shù)，沒有拐點。（5） 的定義域為，令，得；列表討論如下：由上表可知，的凸區(qū)間為、，凹區(qū)間為，拐點為及。

23、（6）的定義域為，令，得；當時，；當時，；的凹區(qū)間為，凸區(qū)間為，拐點為。8.利用函數(shù)圖形的凹凸性，證明不等式：（1）； （2）。知識點：函數(shù)凹凸性的概念。思路：利用函數(shù)凹凸性的概念可證明一些不等式，特別是不等式中含不同變量的線性組合及其函數(shù)值的線性組合時可考慮利用函數(shù)的凹凸性。證明：（1）令，在內(nèi)是凹的。利用凹函數(shù)的定義，有，結(jié)論成立。（2）令，在內(nèi)，在內(nèi)是凸的。利用凸函數(shù)的定義，有，結(jié)論成立。9.求曲線的拐點。知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：同7。解：的定義域為，令，得，；現(xiàn)列表討論如下：由上表可知，拐點為、。10.問及為何值時，點為曲線的拐點？知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：拐點通常是二階導(dǎo)數(shù)的零點或

24、者是不可導(dǎo)點。又高階可導(dǎo)的函數(shù)的拐點一定是二階導(dǎo)數(shù)的零點。解：的定義域為，；將代入中，得：；將代入中，得：；由得，。11.試確定曲線中的、，使得在處曲線有水平切線，為拐點，且點在曲線上。知識點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：利用可導(dǎo)函數(shù)的拐點一定是二階導(dǎo)數(shù)的零點，在某點處的導(dǎo)數(shù)值等于該點處切線的斜率，以及已知條件，建立方程組，確定函數(shù)中的待定參數(shù)。解：，； 將代入，得 將分別代入與中，得 ； 將代入中，得 由得，。12.試確定中的值，使曲線的拐點處的法線通過原點。知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：可導(dǎo)的拐點必為二階導(dǎo)數(shù)為零的點；依此求出拐點坐標，寫出法線方程，根據(jù)已知條件，求出值。解：的定義域為；

25、，；令，得。易知，當?shù)娜≈低ㄟ^的兩側(cè)時，會變號，與均為的拐點；，兩拐點處法線方程分別為：，；又兩法線過原點，將代入法線方程，得，解得。13.設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有三階導(dǎo)數(shù)，如果，而，試問是否為拐點，為什么？知識點：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。思路：根據(jù)極限的保號性和拐點的定義得結(jié)論。方法一：，不妨設(shè)，即；由極限的保號性知，必存在，使得，均有；從而當時，有，當時，有；為拐點。內(nèi)容概要名稱 主要內(nèi)容（3.5）3.5 函數(shù)的極值與最大值最小值極值的概念：設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，若對該鄰域內(nèi)任意一點（），恒有（或），則稱在點處取得極大值（或極小值），而成為函數(shù)的極大值點（或極小值點）。函數(shù)極值的判別法第一充分條件：設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)（可以不存在），（1）若在的左鄰域內(nèi)，；在在的右鄰域內(nèi)，則在處取得極大值；（2）若在的左鄰域內(nèi)，；在在的右鄰域內(nèi)，則在處取得極小值；（3）若在的左鄰域內(nèi)，不變號，則在處沒有極值。注：第一充分條件利用一階導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性。第二充分條件：設(shè)在處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則（1）當時，函數(shù)在處取得極大值；（2）當時，函數(shù)在處取得極小值。注：利用駐點處二階導(dǎo)數(shù)符號判斷駐點是否為極值點。函數(shù)的最大值和最小值：注意函數(shù)極值和最值的區(qū)別和聯(lián)系習題3-51.求下列函數(shù)的極值：（1） ； （2）； （3）