第一章事件與概率

1、習(xí)題集第一章 事件與概率1.在某城市中，公發(fā)行三種報紙A,B,C.在這個城市的居民中，訂閱A的占45%，訂閱B的占35%，訂閱C的占30%，同時訂閱A及B的占10%，同時訂閱A及C的占8%,同時訂閱B及C的占5%,同時訂閱A,B,C的占3%.試求下列百分率：（1）只訂閱A的;(2) 只訂閱A及B的；（3）只訂閱一種報紙的；（4）正好訂閱兩種報紙的；（5）至少訂閱一種報紙的；（6）不訂閱報紙的。解：（1）（2） P只訂購A及B的（3） P只訂購A的 P只訂購B的 P只訂購C的故P只訂購一種報紙的P只訂購AP只訂購BP只訂購C. （4）P正好訂購兩種報紙的.（5）P至少訂購一種報紙的= P只訂一種

2、的+ P恰訂兩種的+ P恰訂三種的 .（6）P不訂任何報紙的.2若A，B，C是隨機事件，說明下列關(guān)系式的概率意義：(1)；(2)；(3)；(4).解：（1）ABC，若A發(fā)生，則B與C必同時發(fā)生。（2），B發(fā)生或C發(fā)生，均導(dǎo)致A發(fā)生。（3）與B同時發(fā)生必導(dǎo)致C發(fā)生。（4），A發(fā)生，則B與C至少有一不發(fā)生。3試把表示成n個兩兩互不相容事件的和解： (或)4在某班學(xué)生中任選一個同學(xué)以事件A表示選到的是男同學(xué)，事件B表示選到的人不喜歡唱歌，事件C表示選到的人是運動員。（1）表述及；（2）什么條件下成立;(3) 何時成立;(4)何時同時成立A=B及解：（1）=抽到的是男同學(xué)，又不愛唱歌，又不是運動員；

3、=抽到的是男同學(xué)，又愛唱歌，又是運動員。（2），當(dāng)男同學(xué)都不愛唱歌且是運動員時成立。（3）當(dāng)不是運動員的學(xué)生必是不愛唱歌的時，成立。（4）A=B及，當(dāng)男學(xué)生的全體也就是不愛唱歌的學(xué)生全體，也就不是運動員的學(xué)生全體時成立。也可表述為：當(dāng)男學(xué)生不愛唱歌且不愛唱歌的一定是男學(xué)生，并且男學(xué)生不是運動員且不是運動員的是男學(xué)生時成立。5用摸球模型造一例，指出樣本空間及各種事件運算。解：設(shè)袋中有三個球，編號為1，2，3，每次摸一個球。樣本空間共有3個樣本點（1），（2（3）設(shè)，則 。6若A,B,C,D是四個事件，試用這四個事件表示下列各事件：（1）這四個事件至少發(fā)生一個：（2）A,B都發(fā)生而C,D都不發(fā)生；

4、（3）這4個事件至少發(fā)生一個；（4）這4個事件都不發(fā)生；（5）這4個事件中至多發(fā)生一個。解：（1）至少發(fā)生一個=.（2）恰發(fā)生兩個=.（3）A，B都發(fā)生而C，D都不發(fā)生=.（4）都不發(fā)生=.（5）至多發(fā)生一個= 7從0，1，2，。，9中隨機地抽取出5個數(shù)（可重復(fù)），以記某些數(shù)正好出現(xiàn)i次這一事件（例如52353，既屬于，也屬于及）試用文圖表示的關(guān)系。解：分析一下之間的關(guān)系。先依次設(shè)樣本點，再分析此是否屬于等。（1）為不可能事件。 （2）若，則，即。（3）若，則。（4）若，則必有或之一發(fā)生，但。由此得，。 （5）若，則必有或之一發(fā)生，由此得 。（6）中還有這樣的點：12345，它僅屬于，而不再屬

5、于其它。諸之間的關(guān)系用文圖表示（如圖）。8證明下列等式：（1）；（2）；（3）.解：（1）因為，兩邊對x求導(dǎo)得，在其中令x=1即得（2）在上式中令x=-1即得（3）要原式有意義，必須。由于此題即等于要證.見（1.3.6）利用冪級數(shù)乘法可證明此式。因為，比較等式兩邊的系數(shù)即得證。9.一部五卷的文集，按任意次序放書架上去，試求下列概率：（1）第一卷出現(xiàn)在旁邊；（2）第一卷及第五卷出現(xiàn)在旁邊；（3）第一卷或第五卷出現(xiàn)在旁邊；（4）第一卷及第五卷都不出現(xiàn)在旁邊；（5）第三卷正好在正中。解：（1）第一卷出現(xiàn)在旁邊，可能出現(xiàn)在左邊或右邊，剩下四卷可在剩下四個位置上任意排，所以（2）可能有第一卷出現(xiàn)在左邊而

6、第五卷出現(xiàn)右邊，或者第一卷出現(xiàn)在右邊而第五卷出現(xiàn)在左邊，剩下三卷可在中間三人上位置上任意排，所以 （3）p=P第一卷出現(xiàn)在旁邊+P第五卷出現(xiàn)旁邊-P第一卷及第五卷出現(xiàn)在旁邊=.（4）這里事件是（3）中事件的對立事件，所以 另解：第一卷和第五卷出現(xiàn)在旁邊有種，剩下的3卷可以全排列有種所以（4） 第三卷居中，其余四卷在剩下四個位置上可任意排，所以10.袋中有白球5只，黑球6只，陸續(xù)取出三球，求順序為黑白黑的概率。解：11.把1，2，3，4，5諸數(shù)各寫在一小紙片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得數(shù)是偶數(shù)的概率。解：末位數(shù)吸可能是2或4。當(dāng)末位數(shù)是2（或4）時，前兩位數(shù)字從剩下四個數(shù)字中選排，所

7、以 12.在一個裝有n只白球，n只黑球，n只紅球的袋中，任取m只球，求其中白、黑、紅球分別有只的概率。解：樣本空間有種可能，有利場合數(shù)目為所以13.甲袋中有3只白球，7辦紅球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只紅球，9只黑球?，F(xiàn)從兩袋中各取一球，求兩球顏色相同的概率。解：P兩球顏色相同=P兩球均白+P兩球均黑+P兩球均紅.14.由盛有號碼，N的球的箱子中有放回地摸了n次球，依次記下其號碼，試求這些號碼按嚴(yán)格上升次序排列的概率。解：若取出的號碼是按嚴(yán)格上升次序排列，則n個號碼必然全不相同，。N個不同號碼可產(chǎn)生種不同的排列，其中只有一個是按嚴(yán)格上升次序的排列，也就是說，一種組合對應(yīng)一種嚴(yán)格上升排

8、列，所以共有種按嚴(yán)格上升次序的排列。總可能場合數(shù)為，故題中欲求的概率為.15.在上題中這些號碼按上升（不一定嚴(yán)格）次序排列的概率。解法一：先引入重復(fù)組合的概念。從n個不同的元素里，每次取出m個元素，元素可以重復(fù)選取，不管怎樣的順序并成一組，叫做從n個元素里每次取m個元素的重復(fù)組合，其組合種數(shù)記為. 這個公式的證明思路是，把n個不同的元素編號為,n，再把重復(fù)組合的每一組中數(shù)從小到大排列，每個數(shù)依次加上,則這一組數(shù)就變成了從共個數(shù)中，取出m個數(shù)的不重復(fù)組合中的一組，這種運算構(gòu)成兩者之間一一對應(yīng)。若取出n個號碼按上升（不一定嚴(yán)格）次序排列，與上題同理可得，一個重復(fù)組合對應(yīng)一種按上升次序的排列，所以共

9、有種按上升次序的排列，總可能場合數(shù)為，從而.解法二：現(xiàn)按另一思路求解。取出的n個數(shù)中間可設(shè)n-1個間壁。當(dāng)取出的n個數(shù)全部相同時，可以看成中間沒有間壁，故間壁有種取法；這時只需取一個數(shù)字，有種取法；這種場合的種數(shù)有種。當(dāng)n個數(shù)由小大兩個數(shù)填上，而間壁的位置有種取法；數(shù)字有種取法；這種場合的種數(shù)有種。當(dāng)n個數(shù)由三樣數(shù)構(gòu)成時，可得場合種數(shù)為種，等等。最后，當(dāng)n個數(shù)均為不同數(shù)字時，有n-1個間壁，有種取法；數(shù)字有種取法；這種場合種數(shù)的種。所以共有有利場合數(shù)為：.此式證明見本章第8題（3）?？偪赡軋龊蠑?shù)為，故所還應(yīng)的概率為.16.任意從數(shù)列，N中不放回地取出n個數(shù)并按大小排列成：，試求的概率，這里。解

10、：因為不放回，所以n個數(shù)不重復(fù)。從中取出m-1個數(shù)，從中取出個數(shù)，數(shù)M一定取出，把這n個數(shù)按大小次序重新排列，則必有。故。當(dāng)或時，概率.17.上題中，若采取有放回取數(shù)，這時,試求的概率解：從中有放回地取n個數(shù)，這n個數(shù)有三類：n<M，n=M，n>M。如果我們固定次是取到小于M的數(shù)，次是取到大于M的數(shù)，當(dāng)然其余一定是取到M的。當(dāng)次數(shù)固定后，n<M的有種可能的取法（因為每一次都可以從個數(shù)中取一個），大于M的有種可能的取法，而n=M的只有一種取法（即全是M），所以可能的取法有 1 種。對于確定的來說，在n次取數(shù)中，固定哪次取到小于M的數(shù)，哪次取到大于M的數(shù)，這共有種不同的固定方式，

11、因此次取到小于M的數(shù)，次取到大于M的數(shù)的可能取法有種。設(shè)B表示事件“把取出的n個數(shù)從小到大重新排列后第m個數(shù)等于M“，則B出現(xiàn)就是次取到<M的數(shù)，次取到>M的數(shù)的數(shù)，因此B包含的所有可能的取法有種。所以18從6只不同的手套中任取4只，問其中恰有一雙配對的概率是多少？解：有利場合是，先從6雙中取出一雙，其兩只全取出；再從剩下的5雙中取出兩雙，從其中每雙中取出一只。所以欲求的概率為19.從n雙不同的鞋子中任取2r(2r<n)只，求下列事件發(fā)生的概率：（1）沒有成對的鞋子；（2）只有一對鞋子；（3）恰有兩對鞋子；（4）有r對鞋子。解：（1）有利場合是，先從n雙中取出2r雙，再從每雙

12、中取出一只。（2）有利場合是，先從n雙中取出一雙，其兩只全取出，再從剩下的雙中取出雙，從每雙中取出一只。.（3）有利場合是，先從n雙中取出兩雙，其四只全取出，再從剩下的2雙中取出雙，從每雙中取出一只。.（4）有利場合是，先從n雙中取出r雙，再從r雙中的每雙取出2只。.20.袋中有n只球，記有號碼，求下列事件的概率：（1）任意取出兩球，號碼為1,2；（2）任意取出3球，沒有號碼1；（30任意取出5球，號碼1,2,3,中至少出現(xiàn)一個。解：（1）P任意取出兩球，號碼為1，2=.（2）任取3個球無號碼1，有利場合是從除去1號球外的個球中任取3個球的組合數(shù)，故 P任取3球，無號碼1.（3）其中任取5球無

13、號碼1,2,3，有利場合是從除去1,2,3號球外的個球中任取5個球的組合數(shù)。P任取5球，號碼1,2,3中至少出現(xiàn)1個=任取5球，號碼1,2,3不出現(xiàn).21.袋中裝有號的球各一只，采用（1）有放回；（1）不放回方式摸球，試求在第k次摸球時首次摸到1號球的概率。解：（1）有利場合是，前次從個號中（除1號外）抽了，第k次取到1號球， （2）考慮前k次摸球的情況，。22.m個男孩和n個女孩（n m）隨機地沿著圓桌坐下，試求任意兩個女孩都不相鄰的概率。P=23已知10只產(chǎn)品中有3只次品，在其中取兩次，每次任取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率：A兩只都是正品； B至少有一只正品； C第二次取出的是正品

14、。解：A, B,設(shè)D=兩次取的都是次品則P(B)=1-P(D) =1- C,記=第一次取出正品 =第一次取出次品則P(C)=P(C)+P(C)=P()P(C/)+P()P(C/)= 24.從52張撲克牌中任意抽取13張來，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張草花的概率。解：25.橋牌游戲中（四人各從52張紙牌中分得13張），求4張A集中在一個人手中的概率。解：.或解為，4張A集中在特定一個手中的概率為，所以4張A集中在一個人手中的概率為 .26.在撲克牌游戲中（從52張牌中任取5張），求下列事件的概率：（1）以A打頭的同花順次五張牌；（2）其它同花是非曲直次五比重牌；（3）有四張牌同點數(shù)；（

15、4）三張同點數(shù)且另兩張也同點數(shù)；（5）五張同花；（6）異花順次五張牌；（7）三張同點數(shù)；（8）五比重中有兩對；（9）五張中有一對；（10）其它情況。解：（1）. 這里設(shè)A只打大頭，若認(rèn)為可打兩頭AKQJ10及A2345，則答案有變，下同。（2）取出的一張可民由K，Q，6八個數(shù)中之一打頭，所以.（3）取出的四張同點牌為13個點中的某一點，再從剩下48張牌中取出1張，所以 （4）取出的3張同點占有13個點中一個點，接著取出的兩張同點占有其余12個點中的一個點，所以 (5)5張同花可以是四種花中任一種，在同一種花中，5張牌占有13個點中5個點，所以 (6)異花順次五張牌=順次五張牌同花順次五張牌。順

16、次五張牌分別以A，K，6九個數(shù)中之一打頭，每張可以有四種不同的花；而同花順次中花色只能是四種花中一種。所以p = P順次五張牌同花順次五張牌（7）三張同點牌占有13個點中一個占有剩下12個點中兩個點，所以（8）P五張中有兩對=P五張中兩對不同點+P五張中兩對同點 （9）（10）若記（i）事件為，則而事件兩兩不相容，所以27.某碼頭只能容納一只船，現(xiàn)預(yù)知某日將獨立來到兩只船，且在24小時內(nèi)各時刻來到有可能性都相等，如果它們需要停靠的時間分別為3小時及4小時，試求有一船要在江中等待的概率。解：設(shè)x，y分別為此二船到達(dá)碼頭的時間，則 24 F E. 兩船到達(dá)碼頭的時間與由上述條件決定的正方形內(nèi)的點是

17、一一對應(yīng)的（如圖） 設(shè)A表事件“一船要等待空出碼頭”，則發(fā)生意味著同時滿足下列兩不等式 24 由幾何概率得，事件的概率，等于正方形中直線 之間的部分面積，與正方形CDEF的面積之比，即28.兩人約定于7點到8點在某地會面，試求一人要等另一人半小時以上的概率。解：設(shè)x，y分別為此二人到達(dá)時間，則 y F N E。顯然，此二人到達(dá)時間 8與由上述條件決定的正方形CDEF內(nèi)和 M H點是一一對應(yīng)的(如圖)。 7 D設(shè)A表事件“其中一人必須等另外一人的 C G 時間1/2小時以上“，則A發(fā)生意味著滿足如下 0 7 8 x不等式 。由幾何概率得，事件A的概率等于GDH及FMN的面積之和與正方形CDEF的

18、面積之比，所以29.在一線段AB中隨機取兩個把線段截為三段，求這三段可以構(gòu)成一個三角形的概率（三線段能夠成三角形的充要條件是任意兩邊之和大于第三邊）解：設(shè)則 ， a與由上述條件決定的正方形EFGH內(nèi)的點是一一 I 對應(yīng)的（如圖）。（I）設(shè)。 II ，則三線段構(gòu)成三角形的充要條件是 E a 這決定三角形區(qū)域I。（II）設(shè)。 ，則三線段構(gòu)成三角形的充要條件是 這決定區(qū)域II。 （III）當(dāng)時，不能構(gòu)成三角形。由幾何概率知，30. 在線段0,1上任意投三個點，問由0至三點線段能夠成三角形與不能構(gòu)成三角形與不能構(gòu)成三角形這兩個事件中哪一個事件的概率大。解：設(shè)0到三點的三線段長分別為x,y,z，即相應(yīng)的

19、 1 C右端點坐標(biāo)為x,y,z，顯然這三條線 段構(gòu)成三角形的充要條件是： A D。 在線段0，1上任意投三點x,y,z。與立方體 0 1，中的點 1 y一一對應(yīng)，可見所求“構(gòu)成三角形”的概率，等價于在 x B邊長為1的立方體T中均勻地擲點，而點落在區(qū)域中的概率；這也就是落在圖中由ADC，ADB，BDC，AOC，AOB，BOC所圍成的區(qū)域G中的概率。由于 ，由此得，能與不能構(gòu)成三角形兩事件的概率一樣大。31.在一張紙打上方格的紙上投一枚直徑為硬幣，方格要多小才能使硬幣與線不相交的概率小于1%。解：設(shè)方格邊長為a。當(dāng)硬幣圓心落于圖中陰影部分才與邊界不相交（圖中只取一個方格）。由幾何概率得 1.令

20、a 1因為當(dāng)時，硬幣必與線相交（必然事件），故只需考慮 aa>1當(dāng)止式得 。即當(dāng)方格邊長時，才能使硬幣與線不相交的概率小于1%。32.從（0，1）中隨機選取兩個數(shù)，求下列概率：（1）兩數(shù)之和小于1.2；（2）兩數(shù)之積小于；（3）以上兩種要求同時滿足。、解：從（0，1）中取出的兩數(shù)分別為x,y，則與 y正方形ABCD內(nèi)的點一一對應(yīng)。 1 D C（1） 直線與BC交點坐標(biāo)為（1，0.2），與 (I )DC點坐標(biāo)為（0.2，1），所以由幾何概率可得 A B （2）雙曲線與BC交點坐標(biāo)為 1與DC交點坐標(biāo)為，所以由幾何概率得 （3）直線與曲線的交點坐標(biāo)為（如圖） .P兩數(shù)之和小于1.2，兩數(shù)之積

21、小于33.設(shè)是隨機事件，試用歸納法證明下列公式：。證：當(dāng)時，與兩者不相容，所以.此即當(dāng)時原式成立。 設(shè)對原式成立，現(xiàn)證對原式也成立。對前后兩項分別應(yīng)用歸納假設(shè)得.至此，原式得證。34.某班有N個士兵，每人各有一支槍，這些槍外形完全一樣，在一次夜間緊急集合中，若每人隨機地取走一支槍，問至少有一個拿到自己的槍的概率。解：設(shè)個戰(zhàn)士拿到自己的槍，。之間相容，現(xiàn)用上題公式解。.由公式得P至少有一個戰(zhàn)士拿到自己的槍注：由此可求得，事件“至少有一個戰(zhàn)士拿到自己的槍”的對立事件的概率為PN個戰(zhàn)士沒有一個戰(zhàn)士拿到自己的槍35.在上題中求恰好有k()個人拿到自己的槍的概率。解：某k個指定的戰(zhàn)士拿到自己的槍的概率是

22、。利用上題注（視這里個戰(zhàn)士都沒有拿到自己槍的概率為。恰有k個戰(zhàn)士拿到自己的槍，則這k個戰(zhàn)士可以是N個戰(zhàn)士中任意的k個戰(zhàn)士，從N個戰(zhàn)士中選出一組k個戰(zhàn)士共有種選法，所以事件“恰有k個戰(zhàn)士拿到自己槍“的概率，是事件”某k個指定戰(zhàn)士拿到自己的槍，且其余個戰(zhàn)士沒有拿到自己的槍“概率的倍，可得P恰有k個戰(zhàn)士拿到自己槍.36.考試時共有N張考簽，n個學(xué)生參加考試，被抽過的考簽立刻放回，求在考試結(jié)束后，至少有一張考簽沒有被抽過的概率。解：設(shè)考簽編號為，記事件，則，；諸相容，利用第33題公式計算得P=至少有一張考簽未被抽到.37.甲，乙丙三人按下面規(guī)則進(jìn)行比賽，第一局由甲，乙參加而丙輪空，由第一局的優(yōu)勝者與丙

23、進(jìn)行第二局比賽，而失敗者則輪空，比賽用這種方式一直進(jìn)行到其中一個人連勝兩局為止，連勝兩局者成為整場比賽的優(yōu)勝者。若甲，乙，丙勝每局的概率各為1/2，問甲，乙，丙成為整場比賽優(yōu)勝者的概率各是多少？解：這些比賽的可能結(jié)果，可以用下面方法表示：aa，acc，acbb，acbaa，acbacc，acbacbb，bb，bcc，bcaa，bcabb，bcabcc，bcabcaa，其中a表甲勝，b表乙勝，c表丙勝。在這些結(jié)果中，恰巧包含k個字母的事件發(fā)生的概率應(yīng)為，如aa發(fā)生的概率為1/4，acbb發(fā)生的概率為1/16等等。則.由于甲，乙兩人所處的地位是對稱的，所以，得.38.父，母，子三人舉行比賽，每局總

24、有一人勝一人負(fù)（沒有和局），每局的優(yōu)勝者就與未參加此局的人再進(jìn)行比賽，如果某人首先勝了兩局，則他就是整個比賽就是的優(yōu)勝者，又父決定第一局由哪兩個人參加，其中兒子實力最強。所以父為了使自己得勝的概率達(dá)到最大，就決定第一局由他與妻子先比賽，試證父的決策為最優(yōu)決策（任何一對選手中一人勝對方的概率在整個比賽中是不變的）證：設(shè)父勝子的概率為，子勝父的概率為，父勝母，母勝父，母勝子，子勝母的概率分別是。則諸間有關(guān)系：。仿上題，設(shè)首局為父對母，比賽的可能結(jié)果為： ，a表父勝，但父勝母與父勝子的概率不同，為明確起見，比賽結(jié)果中字母附加下標(biāo)，下標(biāo)中i對應(yīng)概率，故 類似地，第一局若父對子，則可得第一局若子對母，則

25、易見。由于，所以，因此。從而 這說明父的決策最優(yōu)。39.給定，求及。解： .*40.已知：，證明：。證：設(shè).由可得， （1）又 再由得 A C2 C1 B （2）由并利用得 （3）由（1），（2），（3）可得 41.設(shè),是給定的實數(shù)，適證明存在兩個事件及使得的充要條件是下列四個不等式同時成立： 證：（1），由單調(diào)性及得.（2），兩次利用（1）的結(jié)果得 *42用概率論想法求N階行列式的展開式中包含主對角線的項數(shù)。解：設(shè)N階行列式中元素，行列式展開式的每一項為不同行不同列元素的乘積。對于每一項中的各個元素，從第一列中取一個元素有N種取法，當(dāng)從第一列中取的元素取定后，再從第二列中取一個元素有種取法，

26、接著從第三列中取一個元素有種取法，等等。每種取法教都是等可能的，共有種取法。設(shè)表事件N階行列式的項含，則，至少含一個主對角線元素的項的概率為.由此得包含主對角線元素的項數(shù)為 注：不含主對角線元素項的概率為， .43.利用概率論的想法證明下列恒等式：其中A，a都是正整數(shù)，且。證：設(shè)袋中有A個球，其中a個是白球，不還原隨機取出，第k次才首次取得白球的概率為 .因為袋中有a個白球，個黑球，若一開始總是取到黑球，直到把黑球取完為止，則至遲到第次一定會取到白球；也就是說，第一次或第二次或至遲到第次取得白球事件是必然事件，其概率為1。所以等式兩邊同乘以得.44.從一只裝有100只燈泡的箱子中任抽5只燈泡，

27、發(fā)現(xiàn)有2只是次品，你對此批燈泡的次品數(shù)作如何估計？（比較用最大似然估計法所得結(jié)果與用頻率估計概率法定結(jié)果是否相同。這種抽樣調(diào)查當(dāng)然用不放回方式。）解：有明顯療效的頻率為368/512=71.9%，所以，某胃潰瘍病人若服此藥，約有71.9%的可能有明顯療效。45.求包含事件A,B的最小域解：此域首先包括諸元素，然后通過求逆，并交運算逐步產(chǎn)生新的元素，得共包含16個元素：證一：現(xiàn)證明它是包含A，B的最小域。首先它包含A，B；由于所有集均由A，B產(chǎn)生，故最小。集是有限個，故只需證它為代數(shù)，即按如下兩條驗證集系封閉即可： 若，則； 若，則。能動驗證知確為代數(shù)。證二：由圖知，兩個集至多可產(chǎn)生四個部分，可

28、稱之為產(chǎn)生集的最小部分，從這四個部分中任取0，1，2，3，4個求并集，共同構(gòu)成 A B 1 2 3 4個集。故若能找到16個由A，B產(chǎn)生的不同的集，則它們一定是由A，B產(chǎn)生的域，為此只須驗證如上16個集兩兩不同就夠了。也可在一開始就根據(jù)這16個集的構(gòu)成法依次構(gòu)造出來，即得欲求的代數(shù)，而不需要再證明。46.證明的一切子集組成的集類是一個域。證：記F=的一切子集（i）是的子集，所以。(ii) 若，則A是的子集，也是的子集，所以。(iii)，當(dāng)然有。任一。必有某一，使，所以，從而，即也是的一個子集，故。F是域。47.證明：域之交仍為域。證：設(shè)是域，記.(i) 每一，所以，即.(ii) ，則每一，由是

29、域得每一，所以，從而.(iii) ，則諸必屬于每一，由于是域，所以每一，即.是域。48. 證明：包含一切形如的區(qū)間的最小域是一維波雷爾域。證：一維波雷爾域是由左閉右開區(qū)間灶產(chǎn)生的域，是由形如區(qū)間類產(chǎn)生的域。因為 等式左邊是中兩個集的差，由此知包含一切形如的集，而B是由一切形如的集類產(chǎn)生的域，所以。又由于 ，等式右邊是B中集的可列并，由此知B包含一切形如的集，與上段同理得.49.設(shè)Q是定義在域上的非負(fù)廣義實值函數(shù)（即可以取有限或無限值的函數(shù)），如果它具有可列可加行，并且，則稱Q為測度，試說明測度概念是算術(shù)中計數(shù)概念及幾何中長度、面積、體積等概念的推廣。解：算術(shù)中的計數(shù)：以表集合E包含的元素的個數(shù)

30、。（1）非負(fù)。（2）對，若任意兩個與都不包含相同的元素，則，即和集中包含元素的個數(shù)等于每個集所包含元素個數(shù)之和，集函數(shù)具有有限可加性。（3）若是空集，它不包含任何元素，則有。幾何度量中的長度：以表區(qū)間的長度。（1）非負(fù)。（2）對區(qū)間，若任兩個與都不相交，則，具有可列可加性。（3）空集的長度。當(dāng)區(qū)間改成區(qū)域，長度改成面積或體積時，如上結(jié)論也成立。把算數(shù)中計數(shù)、幾何度量中的共同性質(zhì)非負(fù)，可列可加性，空集對應(yīng)值為0抽象出來，并加以適當(dāng)?shù)赝茝V，就得到測度的概念。以一維L-測度為例，區(qū)間的L-測度就是區(qū)間的長度；利用有限可加性定義由集系產(chǎn)生的環(huán)上的測度，再利用測度延拓就得到了波雷爾域B上的L-測度。50

31、.用測度概念解釋古典概型、幾何概率論公理化結(jié)構(gòu)中關(guān)于概率的定義。解：在概率論公理化結(jié)構(gòu)中，定義在事件域F上的集合函數(shù)，若滿足(1)非負(fù)性：；(2)規(guī)范性：；(3)可列可加性：若，則；則稱P為F上的概率。由這三條性質(zhì)可推得。與上題比較可知，定義在F上的概率P實質(zhì)上就是定義在F上的規(guī)范性測度。概率的古典定義：；對定義其概率為。P具有非負(fù)性，有限可加性，。這里的概率P相當(dāng)于算術(shù)中的計數(shù)，所不同的是，P還具有規(guī)范性，即。這里P實質(zhì)上是定義在F=的一切子集上具有規(guī)范性的測度。幾何概率的定義：,與G都是波雷爾可測集，對G定義其概率為，其中表示區(qū)域G的L-測度。顯然P具有非負(fù)性。由L-測度具有可列可加性得P

32、也具有可列可加性。另外，。所以P是定義在上的具有規(guī)范性的測度。51.向邊長為 的正方形由任意投一點，求此點正好落在對正方形對角線上的概率?解： 由于點落入正方形是等可能的，此屬幾何概型,事件A=點落于兩條對角線上了的測度, 故P(A)= 52.在10只電子表中有2只是次品，現(xiàn)從中不放回的連續(xù)抽取兩次，每次抽取一只，求正好抽到一個是正品，一個是次品的概率?、解: 由于此時樣本點總數(shù)是90 ,有利場合數(shù)是32 所求概率53在5雙不同的鞋中任取4雙，求至少能配成一雙的概率?解：解：記選取的樣品至少配成一雙，由于樣品總數(shù)是的有利場合數(shù)是 54.在整數(shù)0至9中任取4個，能排成一個四位偶數(shù)的概率是多少?解

33、：從0至9 中任取4個數(shù)進(jìn)行排列共有10×9×8×7種排法. 其中有（4×9×8×74×8×79×8×7）種能成4位偶數(shù). 故所求概率55.兩人相約于7點到8點間在某地相會，約定先到者等候另一人20分鐘,過時離去，試求這兩人能會面的概率是多少?解：以分別表示兩人到達(dá)的時刻, 則可能取值范圍是 則兩人能會面的范圍 故能會面的概率P= 56.有10個電阻，其電阻值分別為，從中取出三個，要求取出的三個電阻，一個小于,一個大于,另一個等于，問取一次就能達(dá)到要求的概率。解：從10個電阻中取三個電阻的取法有種取法 滿足要求的取法有 種取法 ， 故所求概率 57.兩船欲靠同一碼頭，設(shè)兩船獨立地到達(dá)，而且各自到達(dá)時間在一晝夜間是可能的，如果此兩船在碼頭停留的時間分別是1及2小時，試求一船要等待空出