2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版選修2-2學(xué)案：3.2.1　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其幾何意義 Word版含解析

1、32.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其幾何意義目標(biāo) 1.熟練掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加減法運(yùn)算法則.2.理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題重點(diǎn) 復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則難點(diǎn) 復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義知識點(diǎn)一復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則填一填1設(shè)z1abi，z2cdi是任意兩個復(fù)數(shù)，則z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.2對任意z1，z2，z3c，則z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)答一答1兩個復(fù)數(shù)的和，差分別是一個確定的復(fù)數(shù)，那么兩個虛數(shù)的和，差是否仍為虛數(shù)？提示：兩個虛數(shù)的和，差可能是虛數(shù)也可能是實(shí)數(shù)2若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2>0，能

2、否認(rèn)為z1>z2?提示：不能如2ii>0，但2i與i不能比較大小知識點(diǎn)二復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義填一填如圖：設(shè)，分別與復(fù)數(shù)z1abi，z2cdi對應(yīng)，則(a，b)，(c，d)，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得(ac，bd).(ac，bd)這說明兩個向量與的和就是與復(fù)數(shù)(ac)(bd)i對應(yīng)的向量，與的差就是與復(fù)數(shù)(ac)(bd)i對應(yīng)的向量，即圖中四邊形oz1zz2為平行四邊形，則與z1z2對應(yīng)的向量是，與z1z2對應(yīng)的向量是.答一答3設(shè)復(fù)數(shù)z1abi，z2cdi(a，b，c，dr)對應(yīng)的向量分別是，那么向量，的坐標(biāo)分別是什么？z1z2對應(yīng)的向量的坐標(biāo)是什么？提示：由復(fù)數(shù)與平面向量的一一對

3、應(yīng)可知(a，b)，(c，d)，故(ac，bd)由復(fù)數(shù)加法的幾何意義可知即為z1z2對應(yīng)的向量，故z1z2對應(yīng)的向量的坐標(biāo)為(ac，bd)4從復(fù)數(shù)減法的幾何意義理解：|z1z2|表示什么？提示：表示z1與z2兩點(diǎn)間的距離5若a，b，r為實(shí)常數(shù)，且r>0，則滿足|z(abi)|r的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是什么？提示：是以點(diǎn)(a，b)為圓心，r為半徑的圓1對復(fù)數(shù)加法的理解(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法運(yùn)算法則是一種規(guī)定，以后就要按照規(guī)定進(jìn)行運(yùn)算(2)復(fù)數(shù)的加法法則是在復(fù)數(shù)的代數(shù)形式下進(jìn)行的(3)復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算的結(jié)果仍然是復(fù)數(shù)(4)實(shí)數(shù)的移項法則在復(fù)數(shù)中仍然成立(5)復(fù)數(shù)的加法法則可以推廣到多

4、個復(fù)數(shù)相加的情形2對復(fù)數(shù)加、減法幾何意義的理解(1)對于應(yīng)用向量加法法則求復(fù)數(shù)的和，可以利用平行四邊形法則，也可以利用三角形法則(2)復(fù)數(shù)的減法法則用向量的減法法則來進(jìn)行運(yùn)算，應(yīng)用向量來進(jìn)行復(fù)數(shù)的減法，三角形法則顯得更加方便(3)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算可以通過向量的加減法運(yùn)算進(jìn)行；反之，向量的加減法運(yùn)算也可以通過復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算進(jìn)行(4)利用復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算的幾何意義可以直觀地解決復(fù)數(shù)問題類型一復(fù)數(shù)加減法的運(yùn)算【例1】計算：(1)(12i)(34i)(56i)；(2)5i(34i)(13i)；(3)(abi)(2a3bi)3i(a，br)【解】(1)(12i)(34i)(56i)(42i)(56i)

5、18i.(2)5i(34i)(13i)5i(4i)44i.(3)(abi)(2a3bi)3i(a2a)b(3b)3ia(4b3)i.(1)類比實(shí)數(shù)運(yùn)算，若有括號，先計算括號內(nèi)的，若沒有括號，可從左到右依次進(jìn)行.(2)算式中出現(xiàn)字母，首先要確定其是否為實(shí)數(shù)，再確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，最后把實(shí)部、虛部分別相加.設(shè)f(z)z2i，z134i，z22i，則f(z1z2)等于(d)a15i b29ic2i d53i解析：z1z255i，f(z1z2)55i2i53i.類型二復(fù)數(shù)加減法的幾何意義【例2】如圖所示，在平行四邊形oabc中，頂點(diǎn)o，a，c分別表示0,32i，24i.求：(1)所表示的復(fù)數(shù)，所表示

6、的復(fù)數(shù)；(2)對角線所表示的復(fù)數(shù)；(3)對角線所表示的復(fù)數(shù)及的長度【解】(1)因為0(32i)32i，所以所表示的復(fù)數(shù)為32i.因為，所以所表示的復(fù)數(shù)為32i.(2)因為，所以所表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)52i.(3)因為對角線，所以所表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)16i，所以|.向量加法、減法運(yùn)算的平行四邊形法則和三角形法則是復(fù)數(shù)加法、減法幾何意義的依據(jù).利用加法“首尾相接”和減法“指向被減數(shù)”的特點(diǎn)，在三角形內(nèi)可求得第三個向量及其對應(yīng)的復(fù)數(shù).注意向量 對應(yīng)的復(fù)數(shù)是zbza(終點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)減去起點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)(1)在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為12i，23i，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(a)a15i

7、 b15ic34i d34i(2)向量表示的復(fù)數(shù)為32i，將向量向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度，將得到的向量記為，分別寫出：向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)；點(diǎn)o對應(yīng)的復(fù)數(shù)；向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)解：如右圖所示，o為原點(diǎn)，點(diǎn)a的坐標(biāo)為(3,2)，向上平移3個單位長度再向左平移2個單位長度后，點(diǎn)o的坐標(biāo)為(2,3)點(diǎn)a的坐標(biāo)為(1,5)，坐標(biāo)平移不改變的方向和模向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為32i；點(diǎn)o對應(yīng)的復(fù)數(shù)為23i；向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為32i.類型三復(fù)數(shù)加減法的綜合運(yùn)算【例3】設(shè)z1，z2c，已知|z1|z2|1，|z1z2|，求|z1z2|.【解】法1：設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dr)，由題設(shè)知a2b21

8、，c2d21，(ac)2(bd)22，又(ac)2(bd)2a22acc2b22bdd2，2ac2bd0.|z1z2|2(ac)2(bd)2a2c2b2d2(2ac2bd)2，|z1z2|.法2：作出z1，z2對應(yīng)的向量，使，|z1|z2|1，又，不共線(若，共線，則|z1z2|2或0與題設(shè)矛盾)，平行四邊形oz1zz2為菱形，又|z1z2|，z1oz290°，即四邊形oz1zz2為正方形，故|z1z2|.與復(fù)數(shù)模有關(guān)的幾個常見結(jié)論在復(fù)平面內(nèi)，z1，z2對應(yīng)的點(diǎn)為a，b，z1z2對應(yīng)的點(diǎn)為c，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形oacb：(1)為平行四邊形；(2)若|z1z2|z1z2|，則四邊形

9、oacb為矩形；(3)若|z1|z2|，則四邊形oacb為菱形；(4)若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|，則四邊形oacb為正方形已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.解：設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，z1，z2，z1z2對應(yīng)的點(diǎn)分別為a，b，c.|z1|z2|z1z2|1，oab是邊長為1的正三角形，四邊形oacb是一個內(nèi)角為60°，邊長為1的菱形，且|z1z2|是菱形的較長的對角線oc的長，|z1z2|oc|.復(fù)數(shù)與最值【例4】復(fù)數(shù)z滿足|z1i|1，求|z1i|的最小值【思路分析】利用復(fù)數(shù)減法的幾何意義【解】因為|z1i|1，所以由復(fù)數(shù)減法的幾何意義可知，z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以

10、點(diǎn)(1,1)為圓心，1為半徑的圓，而|z1i|則是圓上的點(diǎn)到點(diǎn)(1，1)的距離，所以|z1i|min121.【解后反思】|z(abi)|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)到復(fù)數(shù)abi對應(yīng)的點(diǎn)的距離；而|z(abi)|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)與abi對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離若zc，且|z1|z1|，則|z1i|的最小值是1.解析：|z1|z1|，z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是虛軸，|z1i|表示對應(yīng)點(diǎn)與(1,1)的距離，所以|z1i|min1.1已知復(fù)數(shù)z134i，z234i，則z1z2等于(b)a8i b6c68i d68i解析：z1z2(34i)(34i)(33)(44)i6，故選b.2若復(fù)數(shù)z滿足zi33i，則z等于(d)a0 b2ic6 d62i解析：zi33i，z(33)(ii)62i，故選d.3設(shè)o是原點(diǎn)，向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為23i，32i，那么向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是55i.解析：(23i)(32i)55i，即對應(yīng)的復(fù)數(shù)為55i.4a，b分別是復(fù)數(shù)z1，z