大學(xué)物理習(xí)題精選-答案——第2章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

1、 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)習(xí)題答案2-1一個(gè)質(zhì)量為P的質(zhì)點(diǎn)，在光滑的固定斜面（傾角為）上以初速度運(yùn)動(dòng)，的方向與斜面底邊的水平線AB平行，如圖所示，求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道. 解: 物體置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐標(biāo)：取方向?yàn)檩S，平行斜面與軸垂直方向?yàn)檩S.如圖2-1.圖2-1 方向： 方向： 時(shí) 由、式消去，得2-2 質(zhì)量為的物體被豎直上拋，初速度為，物體受到的空氣阻力數(shù)值為，為常數(shù).求物體升高到最高點(diǎn)時(shí)所用時(shí)間及上升的最大高度.解：研究對(duì)象：受力分析：受兩個(gè)力，重力及空氣阻力 牛頓第二定律：合力：y分量：即 時(shí)，物體達(dá)到了最高點(diǎn)，可有為 時(shí)，2-3 一條質(zhì)量為，長(zhǎng)為的勻質(zhì)鏈條，放在一光滑的水平桌面，鏈子

2、的一端由極小的一段長(zhǎng)度被推出桌子邊緣，在重力作用下開始下落，試求鏈條剛剛離開桌面時(shí)的速度. 解：鏈條在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其部分的速度、加速度均相同，沿鏈條方向，受力為，根據(jù)牛頓定律，有通過(guò)變量替換有 ，積分由上式可得鏈條剛離開桌面時(shí)的速度為2-5 升降機(jī)內(nèi)有兩物體，質(zhì)量分別為和，且2用細(xì)繩連接，跨過(guò)滑輪,繩子不可伸長(zhǎng)，滑輪質(zhì)量及一切摩擦都忽略不計(jì)，當(dāng)升降機(jī)以勻加速上升時(shí)，求：(1) 和相對(duì)升降機(jī)的加速度(2)在地面上觀察和的加速度各為多少?解: 分別以,為研究對(duì)象，其受力圖如圖所示(1)設(shè)相對(duì)滑輪(即升降機(jī))的加速度為，則對(duì)地加速度；因繩不可伸長(zhǎng)，故對(duì)滑輪的加速度亦為，又在水平方向上沒(méi)有受牽連運(yùn)動(dòng)的

3、影響，所以在水平方向?qū)Φ丶铀俣纫酁?，由牛頓定律，有題2-5圖聯(lián)立，解得方向向下(2) 對(duì)地加速度為 方向向上在水面方向有相對(duì)加速度，豎直方向有牽連加速度，即 ，左偏上2-6 一物體受合力為（SI），做直線運(yùn)動(dòng)，試問(wèn)在第二個(gè)5秒內(nèi)和第一個(gè)5秒內(nèi)物體受沖量之比及動(dòng)量增量之比各為多少？解：設(shè)物體沿+x方向運(yùn)動(dòng)，N·S（沿方向）N·S（沿方向）2-7 一彈性球，質(zhì)量為kg，速率m/s，與墻壁碰撞后跳回. 設(shè)跳回時(shí)速率不變，碰撞前后的速度方向和墻的法線夾角都為，求碰撞過(guò)程中小球受到的沖量設(shè)碰撞時(shí)間為s，求碰撞過(guò)程中小球 受到的平均沖力解:N·S2-9 一顆子彈由槍口射出時(shí)速

4、率為，當(dāng)子彈在槍筒內(nèi)被加速時(shí)，它所受的合力為 F =()N(為常數(shù))，其中以秒為單位：(1)假設(shè)子彈運(yùn)行到槍口處合力剛好為零，試計(jì)算子彈走完槍筒全長(zhǎng)所需時(shí)間；(2)求子彈所受的沖量(3)求子彈的質(zhì)量解: (1)由題意，子彈到槍口時(shí)，有,得(2)子彈所受的沖量將代入，得(3)由動(dòng)量定理可求得子彈的質(zhì)量2-10 木塊B靜止置于水平臺(tái)面上，小木塊A放在B板的一端上，如圖所示. 已知kg，0.75kg，小木塊A與木塊B之間的摩擦因數(shù)0.5，木板B與臺(tái)面間的摩擦因數(shù)0.1. 現(xiàn)在給小木塊A一向右的水平初速度40m/s，問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間A、B恰好具有相同的速度？（設(shè)B板足夠長(zhǎng)）圖2-10解：當(dāng)小木塊A以初速

5、度向右開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，它將受到木板B的摩擦阻力的作用，木板B則在A給予的摩擦力及臺(tái)面給予的摩擦力的共同作用下向右運(yùn)動(dòng). 如果將木板B與小木塊A視為一個(gè)系統(tǒng)，A、B之間的摩擦力是內(nèi)力，不改變系統(tǒng)的總動(dòng)量，只有臺(tái)面與木板B之間的摩擦力才是系統(tǒng)所受的外力，改變系統(tǒng)的總動(dòng)量. 設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間，A、B具有相同的速度，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理 再對(duì)小木塊A單獨(dú)予以考慮，A受到B給予的摩擦阻力，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理 以及 解得 代入數(shù)據(jù)得 m/s =7.65s圖2-112-11一粒子彈水平地穿過(guò)并排靜止放置在光滑水平面上的木塊，如圖2-11所示. 已知兩木塊的質(zhì)量分別為和，子彈穿過(guò)兩木塊的時(shí)間各為和，設(shè)子彈在木塊中所受的

6、阻力為恒力，求子彈穿過(guò)后，兩木塊各以多大速度運(yùn)動(dòng). 解：子彈穿過(guò)第一木塊時(shí)，兩木塊速度相同，均為，初始兩木塊靜止， 由動(dòng)量定理，于是有設(shè)子彈穿過(guò)第二木塊后，第二木塊速度變?yōu)?，?duì)第二塊木塊，由動(dòng)量定理有 解以上方程可得 2-12一端均勻的軟鏈鉛直地掛著，鏈的下端剛好觸到桌面. 如果把鏈的上端放開，證明在鏈下落的任一時(shí)刻，作用于桌面上的壓力三倍于已落到桌面上那部分鏈條的重量.解：設(shè)開始下落時(shí)，在任意時(shí)刻落到桌面上的鏈長(zhǎng)為，鏈未接觸桌面的部分下落速度為，在時(shí)間內(nèi)又有質(zhì)量（為鏈的線密度）的鏈落到桌面上而靜止. 根據(jù)動(dòng)量定理，桌面給予的沖量等于的動(dòng)量增量，即 所以 由自由落體的速度得這是時(shí)刻桌面給予鏈的

7、沖力. 根據(jù)牛頓第三定律，鏈對(duì)桌面的沖力，方向向下，時(shí)刻桌面受的總壓力等于沖力和時(shí)刻已落到桌面上的那部分鏈的重力之和，所以 所以即鏈條作用于桌面上的壓力3倍于落在桌面上那部分鏈條的重量.2-13一質(zhì)量為50kg的人站在質(zhì)量為100kg的停在靜水中的小船上，船長(zhǎng)為5m，問(wèn)當(dāng)人從船頭走到船尾時(shí)，船頭移動(dòng)的距離. 解:以人和船為系統(tǒng)，整個(gè)系統(tǒng)水平方向上動(dòng)量守恒 設(shè)人的質(zhì)量為，船的質(zhì)量為，應(yīng)用動(dòng)量守恒得 其中，分別為人和小船相對(duì)于靜水的速度， 可得人相對(duì)于船的速度為 設(shè)人在時(shí)間內(nèi)走完船長(zhǎng)，則有 在這段時(shí)間內(nèi)，人相對(duì)于地面走了 所以 船頭移動(dòng)的距離為2-14質(zhì)量為的木塊靜止在光滑的水平桌面上，質(zhì)量為，速

8、度的子彈水平地射入木塊，并陷在木塊內(nèi)與木塊一起運(yùn)動(dòng).求：(1)子彈相對(duì)木塊靜止后，木塊的速度和動(dòng)量；(2)子彈相對(duì)木塊靜止后，子彈的動(dòng)量；(3) 在這個(gè)過(guò)程中，子彈施于木塊的沖量.解：子彈相對(duì)木塊靜止后，其共同速度設(shè)為，子彈和木塊組成系統(tǒng)動(dòng)量守恒（1） 所以 （2）子彈的動(dòng)量（3）針對(duì)木塊，由動(dòng)量守恒知，子彈施于木塊的沖量為2-15質(zhì)量均為的兩輛小車沿著一直線停在光滑的地面上，質(zhì)量為的人自一輛車跳入另一輛車，接著又以相同的速率跳回來(lái). 試求兩輛車的速率之比.解： 質(zhì)量為的人，以相對(duì)于地面的速度從車A跳到車B，此時(shí)車A得到速度，由于車是在光滑的地面上，沿水平方向不受外力，因此，由動(dòng)量守恒得人到達(dá)

9、車B時(shí)，共同得速度為，由動(dòng)量守恒得人再由車B以相對(duì)于地面的速度跳回到車A，則車B的速度為，而車A與人的共同速度為，如圖所示，由動(dòng)量守恒得聯(lián)立方程解得： 所以車B和車A得速率之比為2-16體重為的人拿著重為的物體跳遠(yuǎn)，起跳仰角為，初速度為. 到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，該人將手中的物體以水平向后的相對(duì)速度拋出，問(wèn)跳遠(yuǎn)成績(jī)因此增加多少？解：人和物體組成系統(tǒng)在最高點(diǎn)拋出物體前后沿水平方向動(dòng)量守恒，注意到對(duì)地面這個(gè)慣性參考系 從最高點(diǎn)到落地，人做平拋運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間跳遠(yuǎn)距離增加為 2-17鐵路上有一平板車，其質(zhì)量為，設(shè)平板車可無(wú)摩擦地在水平軌道上運(yùn)動(dòng). 現(xiàn)有個(gè)人從平板車的后端跳下，每個(gè)人的質(zhì)量均為，相對(duì)平板車的速度均為

10、. 問(wèn)在下述兩種情況下，平板車的末速度是多少？（1）個(gè)人同時(shí)跳離；（2）一個(gè)人、一個(gè)人的跳離. 所得結(jié)果是否相同.解：取平板車和個(gè)人為研究對(duì)象，由于在水平方向上無(wú)外力作用，故系統(tǒng)在該方向上動(dòng)量守恒. 取平板車運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樽鴺?biāo)軸正方向，設(shè)最初平板車靜止，則有所以個(gè)人同時(shí)跑步跳車時(shí)，車速為（2）若一個(gè)人、一個(gè)人地跳車，情況就不同了. 第一個(gè)跳車時(shí)，由動(dòng)量守恒定律可得第二個(gè)人跳車時(shí)，有以此類推，第個(gè)人跳車時(shí)，有所以因?yàn)楣?-18質(zhì)量為的物體作直線運(yùn)動(dòng)，受力與坐標(biāo)關(guān)系如圖2-18所示。若時(shí)，試求時(shí)，圖2-18 解：在到過(guò)程中，外力功為力曲線與軸所圍的面積代數(shù)和40J 由動(dòng)能定理為：即 2-19在光滑的水

11、平桌面上，水平放置一固定的半圓形屏障. 有一質(zhì)量為的滑塊以初速度沿切線方向進(jìn)入屏障一端，如圖2-19所示,設(shè)滑塊與屏障間的摩擦因數(shù)為，試證明當(dāng)滑塊從屏障另一端滑出時(shí)，摩擦力作功為 圖2-19解：滑塊做圓周運(yùn)動(dòng)，依牛頓定律，有： 法向： 切向：由以上兩式，可得 對(duì)上式兩邊積分，有可得 由動(dòng)能定理可得摩擦力做功為2-20質(zhì)量為的木塊靜止于光滑水平面上，一質(zhì)量為，速率為的子彈水平射入木塊后嵌在木塊內(nèi)，并于木塊一起運(yùn)動(dòng)，求：（1）木塊施于子彈的力所做的功；（2）子彈施于木塊的力所做的功；（3）木塊和子彈系統(tǒng)耗散的機(jī)械能.解：把子彈和木塊當(dāng)作一個(gè)系統(tǒng)，動(dòng)量守恒因而求得子彈和木塊共同速度（1）（2）（3）

12、2-21一質(zhì)量kg的物體放在光滑的水平桌面上，并與一水平輕彈簧相連，彈簧的勁度系數(shù)N/m. 今有一質(zhì)量1kg的小球以水平速度4m/s飛來(lái)，與物體相撞后以2m/s 的速度彈回，試問(wèn)：(1) 彈簧被壓縮的長(zhǎng)度為多少？(2) 小球和物體的碰撞是完全彈性碰撞嗎？(3) 如果小球上涂有黏性物質(zhì)，相撞后可與粘在一起，則（1），（2）所問(wèn)的結(jié)果又如何？ 解：碰撞過(guò)程中物體、彈簧、小球組成系統(tǒng)的動(dòng)量守恒 m/s小球與彈簧碰撞，彈簧被壓縮，對(duì)物體有作用力，對(duì)物體，由動(dòng)能定理（1） 彈簧被壓縮的長(zhǎng)度 m（2）4.2J（3）小球與物體碰撞后粘在一起，設(shè)其共同速度為，根據(jù)動(dòng)量守恒及動(dòng)量定理 此時(shí)彈簧被壓縮的長(zhǎng)度m2-

13、22 一根勁度系數(shù)為的輕彈簧的下端，掛一根勁度系數(shù)為的輕彈簧，的下端一重物，的質(zhì)量為，如2-22圖求這一系統(tǒng)靜止時(shí)兩彈簧的伸長(zhǎng)量之比和彈性勢(shì)能之比 圖2-22 解: 彈簧及重物受力如2-22圖所示平衡時(shí)，有 又 所以靜止時(shí)兩彈簧伸長(zhǎng)量之比為彈性勢(shì)能之比為2-23 如題2-23圖所示，一物體質(zhì)量為2kg，以初速度3m·s-1從斜面點(diǎn)處下滑，它與斜面的摩擦力為8N，到達(dá)點(diǎn)后壓縮彈簧20cm后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù)和物體最后能回到的高度 圖2-23解: 取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原長(zhǎng)處為彈性勢(shì)能零點(diǎn)。則由功能原理，有式中，再代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得 再次運(yùn)用功

14、能原理，求木塊彈回的高度代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得 ,則木塊彈回高度2-24鉛直平面內(nèi)有一光滑的軌道，軌道的部分是半徑為的圓. 若物體從處由靜止下滑，求應(yīng)為多大才恰好能使物體沿圓周運(yùn)動(dòng)?圖2-25解：木塊如能通過(guò)點(diǎn)，就可以繞整個(gè)圓周運(yùn)動(dòng). 設(shè)木塊質(zhì)量為，它在點(diǎn)的法向運(yùn)動(dòng)方程為 式中為圓環(huán)給木塊的法向推力. 顯然0時(shí)，木塊剛好能通過(guò)點(diǎn)，所以木塊剛好能繞圓周運(yùn)動(dòng)的條件為選木塊和地球?yàn)橄到y(tǒng)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，所以可得 聯(lián)立求解得即高度為時(shí)木塊剛好能繞圓周運(yùn)動(dòng)2-25兩個(gè)質(zhì)量分別為和的木塊和，用一個(gè)質(zhì)量忽略不計(jì)、倔強(qiáng)系數(shù)為的彈簧連接起來(lái)，放置在光滑水平面上，是緊靠墻壁，如圖示. 用力推木塊使彈簧壓縮，然后釋放.

15、 已知，求(1) 釋放后，、兩木塊速度相等時(shí)的瞬時(shí)速度的大?。?2) 釋放后，子彈的最大伸長(zhǎng)量.圖2-26解：釋放后，子彈恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)將要離開墻壁，設(shè)此時(shí)的速度為，由機(jī)械能守恒，由 得離開墻壁后，系統(tǒng)在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，有 （1）當(dāng)時(shí)，求得： （2）（2）彈簧有最大伸長(zhǎng)量時(shí)，由式（2）得 2-26兩塊質(zhì)量各為和的木塊，用勁度系數(shù)為的輕彈簧連在一起，放置在地面上，如圖示，問(wèn)至少要用多大的力壓縮上面的木塊，才能在該力撤去后因上面的木板升高而將下面的木板提起？圖2-27解： 將和彈簧和地球視為一個(gè)系統(tǒng)，該系統(tǒng)在壓力撤離后，只有保守力作用，所以機(jī)械能守恒. 設(shè)壓力撤離時(shí)刻為初

16、態(tài)，恰好提離地面時(shí)為末態(tài)，初態(tài)、末態(tài)時(shí)動(dòng)能均為零. 設(shè)彈簧原長(zhǎng)時(shí)為坐標(biāo)原點(diǎn)和勢(shì)能零點(diǎn)， 則 式中為壓力作用時(shí)彈簧的壓縮量，則式中為恰好能提離地面時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量，此時(shí)要求聯(lián)立以上幾個(gè)方程解得故能使提離地面的最小壓力為2-27一質(zhì)量為的三角形木塊放在光滑的水平面上，另一質(zhì)量為的立方木塊由斜面最低處沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，相對(duì)于斜面的初速度為，如圖所示，如果不考慮木塊接觸面上的摩擦，問(wèn)立方木塊能沿斜面上滑多高？圖2-28 解：三角形木塊與立方木塊組成的系統(tǒng)在水平方向不受外力作用， 水平方向動(dòng)量守恒. 初始時(shí)，立方木塊速度為，其水平方向分量為，三角形木塊靜止；當(dāng)立方木塊達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，相對(duì)于三角形木塊靜止，設(shè)二者

17、共同的速度為，則 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，兩木塊和地球組成的系統(tǒng)只有重力做功，機(jī)械能守恒，得 由以上兩式得立方木塊沿斜面上滑的高度為 2-28兩個(gè)形狀完全相同、質(zhì)量都為M的弧形導(dǎo)軌A和B，放在地板上，今有一質(zhì)量為的小物體，從靜止?fàn)顟B(tài)由A的頂端下滑，A頂端的高度為，所有接觸面均光滑. 試求小物體在B軌上上升的最大高度（設(shè)A、B導(dǎo)軌與地面相切）圖2-29 解：設(shè)小物體沿A軌下滑至地板時(shí)的速度為，對(duì)小物體與A組成的系統(tǒng)，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律及沿水平方向動(dòng)量守恒定律，有 （1） （2）解得 （3）當(dāng)小物體以初速沿B軌上升到最大高度H時(shí)，此時(shí)小物體相對(duì)B的速度為零，設(shè)小物體與B相對(duì)地沿水平方向的共同速度為，根據(jù)動(dòng)量

18、守恒與機(jī)械能守恒，有 （4） （5）聯(lián)立（3）（5）解得2-29 一質(zhì)量為200g的砝碼盤懸掛在勁度系數(shù)N/m的彈簧下，現(xiàn)有質(zhì)量為100g的砝碼自30cm高處落入盤中，求盤向下移動(dòng)的距離（假設(shè)砝碼與盤的碰撞是完全非彈性碰撞）圖2-30解：第一階段：砝碼落入盤中以前，由機(jī)械能守恒有 第二階段：砝碼與盤碰撞，因?yàn)橥耆菑椥耘鲎?，其共同速度設(shè)為，在垂直方向，砝碼和盤組成系統(tǒng)之碰撞內(nèi)力遠(yuǎn)大于重力、彈簧的彈性力，可認(rèn)為在 垂直方向動(dòng)量守恒，因而有 第三階段：砝碼和盤向下移動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，注意到彈性勢(shì)能零點(diǎn)是選在彈簧的原長(zhǎng)處解以上方程可得 向下移動(dòng)的最大距離為2-30倔強(qiáng)系數(shù)為的輕彈簧，一端固定，另一端與桌面上的質(zhì)量為的小球B相連接. 推動(dòng)小球，將彈簧壓縮一端距離后放開，假定小球所受的滑動(dòng)摩擦力大小為且恒定不變，滑動(dòng)摩擦系數(shù)與靜摩擦系數(shù)可視為相等. 試求必須滿足什么條件時(shí)，才能使小球在放開后就開始運(yùn)動(dòng)，而且一旦停止下