初中一次函數(shù)分段函數(shù)典例題

1、識別分段函數(shù)，解決收費問題定義：一般地，如果有實數(shù)ai,a2,aski,k,2k3bi,b2,b3且ai<a2< a3函數(shù) Y與自變量X之間存在k kix+bi x w aiy = k42x+b2 a iWxWm 的函數(shù)解析式，則稱該函數(shù)解析式為X的分段函數(shù)。Ksx+bs a 2<x< as應該指出：（一），函數(shù)解析式這個整體只是一個函數(shù)，并非是Y=KX+b Y=KX+b2 等幾個不同函數(shù)的簡單組合，而kix+bi, k2x+b2 是函數(shù)丫的幾種不同的表 達式.。這個整體只是一個函數(shù)，不能認為它是兩個不同的函數(shù)，只能說是同一函數(shù)中的自變量X在幾種不同取值范圍內(nèi)的不同表達

2、式。（二），由于ki,k2,k3bi,b2,b3是實數(shù)，所以函數(shù)Y在X的某個范圍內(nèi)的特殊函數(shù)，如 正比例函數(shù)和常數(shù)函數(shù)。（三），由于問題的不同，當然分段函數(shù)也可能在自變量某范圍內(nèi)不是一次函數(shù)而 是其他形式的函數(shù)，在這里我們不予討論。（四），一次函數(shù)的分段函數(shù)是簡單的分段函數(shù)。分段函數(shù)應用題分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其關系式（或圖象）也不同的函數(shù)，分段函數(shù)的應用題多設計成兩種情況以上，解答時需分段討論。在現(xiàn)實生活中存在著很多需分段計費的實際問題，因此，分段計算的應用題成了近幾年中考應用題的一種重要題型。收費問題與我們的生活息息相關 ，如水費問題、電費問題、話費問題等，這些收費 問題往

3、往根據(jù)不同的用量，采用不同的收費方式 .以收費為題材的數(shù)學問題多以分段 函數(shù)的形式出現(xiàn)在中考試題中，下面請看幾例 一、話費中的分段函數(shù)例1 （四川廣元）某移動公司采用分段計費的方法來計算話費，月通話時間x （分鐘）與相應話費y （元）之間的函數(shù)圖象如圖 1所示：（1）月通話為100分鐘時，應交話費 元；（2）當x>100時，求y與x之間的函數(shù)關系式；4020100（3）月通話為280分鐘時，應交話費多少元？200 H分鐘）圖1二、水費中的分段函數(shù)例2（廣東）某自來水公司為了鼓勵居民節(jié)約用水，采取了按月用水量分段收費辦法,某戶居民應交水費y（元）與用水量x（噸）的函數(shù)關系如圖2.（1）分別

4、寫出當0WxW 15和x> 15時,y與x的函數(shù)關系式；（2）若某戶該月用水21噸，則應交水費多少元？三、電費中分段函數(shù)例3 （廣東）今年以來，廣東大部分地區(qū)的電力緊缺，電力公司為鼓勵市民節(jié)約用電，采取按月用電量分段收費辦法，若某戶居民每月應交電費y （元）與用電量 x （度）的函數(shù)圖象是一條折線（如圖3所示），根據(jù)圖象解下列問題：（1）分別寫出當0wxw 100和x> 100時，y與x的函數(shù)關系式；（2）利用函數(shù)關系式，說明電力公司采取的收費標準；（3）若該用戶某月用電62度，則應繳費多少元？若該用戶某月繳費105元時，則該用戶該月用了多少度電？B阮）0100 130 近度）談談

5、中考中的分段函數(shù)分段函數(shù)，是近幾年中考數(shù)學中經(jīng)常遇到的題型。它是考查分類思想，讀取、搜集、 處理圖像信息等綜合能力的綜合題。這些分段函數(shù)都是直線型。通常是正比例函數(shù)的圖像和一次函數(shù)的圖像構(gòu)成。爹苦。卜面我們歸納分析如下，供學習時1、二段型分段函數(shù)1.1正比例函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)解答這類分段函數(shù)問題的關鍵 ，就是分別確定好正比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解 析式。例1某家庭裝修房屋，由甲、乙兩個裝修公司合作完成，選由甲裝修公司單獨裝修天，剩下的工作由甲、乙兩個裝修公司合作完成.工程進度滿足如圖系，該家庭共支付工資 8000元.（1）完成此房屋裝修共需多少天？（2）若按完成工作量的多少支付工

6、資，甲裝修公司應得多少元？1所示的函數(shù)關!y（工作量）工（天）Hi解析：設正比例函數(shù)的解析式為：一,一，一 1，因為圖象經(jīng)過點（3, 1）,所以,4設一次函數(shù)的解析式（合作部分）是因為圖象經(jīng)過點（3, 1）, （5,4y=k1x,1-1-=k1X3,所以k1=,所以12y= -x, 0<x<312y=k2x+b, （k#0,kb 是常數(shù)）1,1）,所以,2由待定系數(shù)法得:k2 3 bk2 5 b14 ,解得:1211k2=8,8：一次函數(shù)的表達式為：完成此房屋裝修共需 方法21y 二 一 x 一89天。1,.11一 ,所以，當y =1時，一x =1,解得x = 9888解：由正比例

7、函數(shù)解析式可知：甲的效率是工，乙工作的效率：-128 12 24甲、乙合作的天數(shù)：3+匚+1=6 （天）412 24甲先工作了 3天，：完成此房屋裝修共需 9天（2）由正比例函數(shù)的解析式：y=x,可知：甲的工作效率是 -1 ,1212所以，甲9天完成的工作量是：9父2=3, 12 4二甲得到的工資是：3X8000 =6000 （元）4評析：在這里未知數(shù)的系數(shù)的意義是表示他們的工作效率。一 ，一一1例2、一名考生步行前往考場，10分鐘走了總路程的 1 ,估計步行不能準時到達，4于是他改乘出租車趕往考場，他的行程與時間關系如圖2所示（假定總路程為 1）,則他到達考場所花的時間比一直步行提前了（）A

8、. 20分鐘B , 22分鐘 C , 24分鐘 D . 26分鐘解析：步行前往考場，是滿足正比例函數(shù)關系,設正比例函數(shù)的解析式為：y=k1x,因為圖象經(jīng)過點1 ,10,"所以,4<10由正比例函數(shù)解析式可知：甲的效率是所以，步行前往考場需要的時間是：路程=k 1 x 10,所以 k1=-, 所以 y=-x, 0<x440401,401 - - =40 （分鐘），40乘出租車趕往考場，是滿足一次函數(shù)關系,所以，設一次函數(shù)的解析式是y=k2x+b, (k=0,kb 是常數(shù))，因為圖象經(jīng)過點(10, 1), (12, 1),所以，42:s 1k2 父10 +b = 由待定系數(shù)法

9、得：44 ,解得：解得：k2=1，b = _1,18k2 12 b = 21. 3一次函數(shù)的表達式為：y= x-1,所以，乘出租車趕往考場用的時間是：x= 841 .-,解得：x=6分鐘，8所以，先步行前往考場，后乘出租車趕往考場共用時間為：10+6=16分鐘，所以，他到達考場所花的時間比一直步行提前了：40-16=24 (分鐘)，故選C評析：在這里未知數(shù)的系數(shù)的意義是表示他們的行使速度。例3、某公司專銷產(chǎn)品 A,第一批產(chǎn)品A上市40天內(nèi)全部售完.該公司對第一批產(chǎn)品(3)中的折線A上市后的市場銷售情況進行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，其中圖表示的是市場日銷售量與上市時間的關系；圖 (4)中的折

10、線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤與上市時間的關系.(1)試寫出第一批產(chǎn)品 A的市場日銷售量y與上市時間t的關系式；(2)第一批產(chǎn)品 A上市后，哪一天這家公司市場日銷售利潤最大？最大利潤是多少售量y與上市是正比例函數(shù)，所以設市場的日銷售量:得，時，市場日銷時間t的關系y=kt,點（30, 60）在圖象上, 60=30 k.k=2.即 y=2t,當30WtW40時，市場日銷售量 y與上市時間t的關系是一次函數(shù)關系, 所以設市場的日銷售量：y=kit+b ,因為點（30, 60）和（40, 0）在圖象上，60-30ki b所以4,0 =40kl b解得 k i=-6, b=240.y=-6t+240.

11、綜上可知，當0wtw30時，市場的日銷售量：y=2t,當30WtW40時，市場的日銷售量： y=-6t+240 。（2）由圖4可得，當0WtW20時，市場銷售利潤 w與上市時間t的關系是正比例函數(shù), 所以設市場的日銷售量：w=kt,點（20, 60）在圖象上，60=20 k.k=3.即 w=3t ,當20wtw40時，市場銷售利潤 w與上市時間t的關系是常數(shù)函數(shù),所以，w=60,當0wtw20時，產(chǎn)品的日銷售利潤：m=3t X2t=6t 2 ;. k=6>0,所以，m隨t的增大而增大，當t =20時，產(chǎn)品的日銷售利潤 m最大值為：2400萬元。當207 W30時，產(chǎn)品的日銷售利潤：m=6

12、0X 2t =120t,k=120 >0,所以，m隨t的增大而增大，當t =30時，產(chǎn)品的日銷售利潤 m最大值為：3600萬元；當 30WtW40 時，產(chǎn)品的日銷售利潤：m= 60X （-6t+240）=-360t+14400 ;k=-360 <0,所以，m隨t的增大而減小，當t =30時，產(chǎn)品的日銷售利潤 mm最大值為：3600萬元，綜上可知，當t=30天時，這家公司市場的日銷售利潤最大為3600萬元.評析：本題不僅考查同學們對分段函數(shù)意義的理解，而且同時還考查了同學們對分類思想的掌握情況，和對一次函數(shù)性質(zhì)的理解和應用。1.2 一次函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)例4、為了鼓勵小強做

13、家務，小強每月的費用都是根據(jù)上月他的家 務勞動時間所得獎勵加上基本生活費從父母那里獲取的.若設 小強每月的家務勞動時間為 x小時，該月可得（即下月他可獲 得）的總費用為y元，則y （元）和x （小時）之間的函數(shù)圖像 如圖5所示.(1)根據(jù)圖像，請你寫出小強每月的基本生活費；父母是如何獎勵小強家務勞動的？(2)若小強5月份希望有250元費用，則小強 4月份需做家務多少時間？解：(1)從圖象上可知道，小強父母給小強的每月基本生活費為150元；當0WxW20時，y (元)是x (小時)的一次函數(shù)，不妨設 y=kix+150, 同時，圖象過點(20, 200),所以，200=k1x20+150,解得：

14、k1=2.5 ,所以，y=2.5x+150 ,當20Vx時，y (元)是x (小時)的一次函數(shù)，不妨設y=k2x+b,同時，圖象過點(20, 200), (30, 240),20k2 + b = 200所以，,2 ,30k2 + b = 240解得：k2=4, b=120,所以，y=4x+120, 所以，如果小強每月家務勞動時間不超過20小時，每小日獲獎勵 2.5元；如果小強每月家務勞動時間超過20小時，那么20小時按每小時2.5元獎勵，超過部分按每小時4元獎勵(2)從圖象上可知道，小強工作20小時最多收入為200元，而5月份得到的費用為250元，大于200元，所以說明4月小強的工作時間一定超

15、過20小時，所以應選擇分段函數(shù)中當20Vx時的一段，所以，由題意得，4x+120 = 250,解得：x=32.5答：當小強4月份家務勞動32.5小時，5月份得到的費用為 250元.評析：本題不僅考查同學們對分段函數(shù)意義的理解，而且同時還考查了同學們對分類思想的掌握情況，和對分段函數(shù)的選擇能力。1.3 常數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)例5、有甲、乙兩家通迅公司，甲公司每月通話的收費標準如圖6所示；乙公司每月通話收費標準如表1所示.以后，每分鐘的通話費為(1)觀察司用戶月不超過100付話費金額是元；月租費通話費2 5元0 15元/分鐘表1元；甲公司用戶通話圖6,甲公通話時間分鐘時應100分鐘(2)

16、李女士買了一部手機，如果她的月通話時間不超過100分鐘，她選擇哪家通迅公司更合算？如果她的月通話時間超過100分鐘，又將如何選擇？解析：1)從圖6,可以看出，這是常數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù),當0w t w 100時，話費金額 y=20；當t >100時，話費金額y是通話時間t的一次函數(shù)，不妨設 y=kt+b , 且函數(shù)經(jīng)過點（100, 20）和（ 200, 40）,100k+b =20 . 口所以，解得：k=0.2, b=0,所以，y=0.2t,200k + b = 40所以，甲公司用戶月通話時間不超過100分鐘時應付話費金額是20元；當甲公司用戶通話100分鐘以后，每分鐘的通話費

17、為0.2元；2）仔細觀察表1,可以知道乙公司每月通話收費y=0.15t+2.5,當 0 w t w 100時，甲公司的話費金額 y=20 ;乙公司通話收費 y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5,所以，李女士如果月通話時間不超過100分鐘，她選擇乙通迅公司更合算；因為，0.15t+2.5=0.2t,所以，t=500 ,所以，當通話時間t=500分鐘時，選擇甲、乙兩家公司哪一家都可以；因為，0.15t+2.5 >0.2t ,所以，tv 500,所以，當通話時間100Vt v 500分鐘時，選擇甲公司；因為，0.15t+2.5 V0.2t ,所以，t>500,所以，當通話時間t

18、>500分鐘時，選擇乙公司；2、三段型分段函數(shù)例6如圖7,矩形ABCM, AB= 1, AD- 2, M是CD的中點，點 P在矩形的邊上沿 A一B一8 M運動，則4 APM的面積y與點P經(jīng)過的路程x之間的函數(shù)關系用圖象表示大致是下圖中的（）AyAy解析：1）、當 0WxW1, y=XxX2=x;如圖 8 所示;22)、當 1vxW3, y=1x 2-1x1x2- 1 x( x-1 ) x 1- 1x 1x ( 3-x)222225 1=x ;如圖9所本;4 43)當 3 v xw 3.5 , y= 1 X ( 7 -x ) X 2 22= -x ;如圖10所示；2，_一，一一 5 11所

19、以C、D兩個選項是錯誤的，又因為函數(shù)y=5 - 1X中的k=- 1 <0,所以直線整體4 44應該是分布在二、一、四象限，所以選項B也是錯誤的，所以選 Ao評析：對于運動型問題，關鍵是根據(jù)題意借助分類的思想用變量x分別出圖形的面積。在表示面積時，要注意整體思想的運用。3、四段型分段函數(shù)例7、星期天，小強騎自行車到郊外與同學一起游玩，從家出發(fā) 2小時到達目的地， 游玩3小時后按原路以原速返回，小強離家4小日40分鐘后，媽媽駕車沿相同路線迎接小強，如圖 11,是他們離家的路程 y（千米）與時間x（時）的函數(shù)圖像。已知小強騎車的速度為 15千米/時，媽媽駕車的速度為 60千米/時。（1）小強家與游玩地的距離是多少？千米）（2）媽媽出發(fā)多長時間與小強相遇？夕葭解析:1）當0WxW2,路程y（千米）是時間x（時）的正比例函數(shù)，且 k=15 ,所以 y=15x;30千米。所以，當x=2時，y=2X 15=30,所以，小強家與游玩地的距離是2）當2vxW5,路程y（千米）是時間x（時）的常數(shù)函數(shù)，所以y=30;當5<x,路程y(千米)是時間x(時)的一次函數(shù)，且 k=-15 ,所以，設y=-15x+b ,又圖象過點(5,30),所以 30=-75+b,所以b=105,所以直線BD的解析式為