(完整word版)矩陣的特征值與特征向量專題講解

1、i 1i 1矩陣的特征值與特征向量專題講解一、內(nèi)容提要一、矩陣的特征值和特征向量1、基本概念設(shè) A 為n階方陣，若存在數(shù) 和n為非零向量a 0,使 Aa a ,則稱 是 A 的特征值，a是屬于的特征向量；矩陣EA 稱為 A 的特征矩陣；E A 是的n次多項式，稱為 A 的特征多項式;E A =0 稱為 A 的特征方程；2、特征值、特征向量的求法（1）計算 A 的特征值，即解特征方程E A =0 ；（2 ）對每一個特征值，求出相應(yīng)的齊次線性方程組E AX 0一個基礎(chǔ)解系1，2,，3,則屬于0的全部特征向量為K!. ks s，其中心,ks為不全為零的任意常數(shù)；3、特征值、特征向量的性質(zhì)（1）A 與

2、A的特征值相同（但特征向量一般不同）；（2）屬于同一特征值的特征向量的線性組合仍是屬于該特征值的特征向量；（3）屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)；（4） 設(shè) Aa a a 0，則 kA,Am,P A 的特征值分別為 k ,m, P ，其中P x 為任一多項式，而a仍為相應(yīng)的特征向量；（5 ）若 A 可逆，Aa a a 0，則-是 A1的特征值；是 A*的特征值，a仍為相應(yīng)的特征向量;n（6 ）設(shè)1，2，.n是n階方陣的特征值，則有inaHtr A（跡）；推論：A 可逆當(dāng)且僅當(dāng) A 的特征值全不為零;i 1(7)若 A 為實對稱陣，則 A 的所有特征值均為實數(shù)，且屬于不同特征值的特征向量彼此正交

3、。二、相似矩陣1、 定義設(shè)A,B為n階方陣，若存在n階可逆陣 P，使 P1AP B,稱 A 與 B 相似，記 為 AB ;2、 AB 的性質(zhì)ATBT,kAkB, AMBM,P AP B ,其中 P 為任一多項式；r A r B , A B , E A E B ,特征值相同，tr A tr B ;若 A 可逆，則 B 也可逆，且 A1B1。三、矩陣對角化的條件及方法1、 若矩陣 A 與對角陣相似，則稱 A 可對角化，(1)n階方陣 A 可對角化的充分必要條件是 A 有n個線性無關(guān)的特征向量；(2)若 A 的特征值兩兩不同，則必可對角化。2、 實對稱陣 A 必可對角化，且存在正交陣 P，使 P1A

4、P實對稱矩陣正交對角化具體計算步驟如下：(1)求出實對稱矩陣 A 的全部特征值；(2)若特征值是單根，則求出一個線性無關(guān)的特征向量，并加以單位化； 若特1 A2(2)矩陣 A 的特征值和特征向量。(98, 9 分)征值是重根，則求出重數(shù)個線性無關(guān)的特征向量，然后用施密特 正交化方法化為正交組，再單位化;(3) 將這些兩兩正交的單位特征向量按列拼起來，就得到了正交矩陣、典型例題解齊次線性方程組 0E A x 0 不妨設(shè)求:(1 ) A1 2T TT T TT,因為T=0,所以(2)設(shè)Ax x, x 0,則A2xAx2x，而A2O，故2x0,而 x 0 ,題型 1 :求數(shù)字矩陣的特征值與特征向量1

5、E(837,6分)求矩陣A 01+301故屬于特征值設(shè)向量=0,記矩陣24的實特征值及對應(yīng)的特征向量。1所以實特征值為02，基礎(chǔ)解系a01 的所有特征向量為 k 0,2,1T,k 為任意非零常數(shù)。Ta1,a2, ,anb|,b2,.,bn丁都是非零向量,且滿足條件A=T,-241301aiO,bi0,ab.albnbb2.bna2b1AMa2b2.a2bn00 .0，可得基礎(chǔ)解系MMM MMankhanb2.anbn00 .01b2,1,0,.Tb32 TT.,0,.,0 ,7 n 1,0,0,.11于是bb1bA 的屬于特征值0 的全部特征向量為C11C2 2.Cn 1 n 1,其中C|,C

6、2,., Cn i是不全為零的任意常數(shù)300例 3(09,4)設(shè)T1,1,1 ,1,0,kT,若矩陣T相似于000,000則 k =-11 0k解T=11,0,k1 0k ,由題意，trT1 k 3 0 0,即11 0kk 2。12 2例 4 設(shè)A 212221設(shè)Aa a(a 0),則 P A 的特征值為 P ，其中 P x 為任一多項式，而+122122解E-A =2+12r2+r11102150,-22+1221所以 A 的特征值為 1,1 ,5 ;由特征值性質(zhì)可知,(1)求 A 的特征值；(2)求 E+A-1的特征值。A1的特征值為 1,“4仍為相應(yīng)的特征向量。于是 E+A 的特征值為

7、2,2,5題型 2 特征值、特征向量的逆問題1 2 -11是矩陣A= 5 a11 b向量，(1)試確定參數(shù)a,b及特征向量 所對應(yīng)的特征值;(2)問 A 能否相似于對角陣？說明理由2 1 211 2 1 20解(1)5 a 31015 a 300 ha 3, b 01 b2111 b 202 12/、A5335(2)1 021 是二重特征根，31210 1E A5 23011 ,秩為 2,所以只有一個線性無關(guān)的特征向1 0 100 0量，故 A 不可對角化。a1c例 2 設(shè)矩陣A= 5b3，其行列式 A1，又 A 的伴隨矩陣 A*有一1c0a個特征值，屬于的一個特征向量為1, 1,1T求a,b

8、,c和的值解 由題設(shè)，AA*AEE,A*aa,AAaAa, aAa,即有例 1 (97,6分，數(shù)一)已知23的一個特征2題型 3:相似矩陣的判定及其逆問題2 0 0例 1( 9 2,7 分)設(shè)矩陣 AB，其中A 2 x 2 ,B311（1）求x與 y 的值；（2）求可逆矩陣 P，使得 P1AP B解因為 AB，所以 E A E B，即令=0 ,得 2 x22y，令=1，得y 2,所以 x 0。2 00100(2)A202,B020，對應(yīng)于 A 和 B 的共同特征值-1 , 2,311002a1c110ac5b3110b2c 0a110c a1-(3)得0=1,代入(2 ）得b入 A1a1aa

9、1 aaa 1a5335335231 a0a1 1 0100(1)代入（1）得a c,再代類題（+8,10 分)設(shè)矩伴隨矩陣 A*有一個特征值o，屬于a, b, c和0的值。答案a3,bc 4,0=1 .a 31，所以 ac3，其行列式 Abo的一個特征向量為 a1，又 A 的1,1,1T，求13 ,A1110122x 1x 212 y ,-2 的特征向量分別為10,2, 1T,20,1,1T,31,0, 1T，得可逆矩陣0 0 1210，滿足 P1AP B1 1 1題型 4:可對角化的判定及其逆問題足的條件。112110，得A 的特征值為0248012010，21 ,32,2EA240001

10、 ,1000800020226 00基礎(chǔ)解糸31，取P011，0 60使 P1AP01000 02因為 A 相似于對角陣，所以 r 6E A1，即x=0，基礎(chǔ)解系例 2 （+05 , 7 分）已知矩陣A28x2 2 0相似于對角陣0 0 6，試求常數(shù)x,并求可逆陣 P,使 P1AP8x2解EA220006126,32,4-8x126E-A=24000000002620得 A 得特征值例 1（ 94，8 分）設(shè)有三個線性無關(guān)的特征向量，求x和 y應(yīng)滿0 x01、21,3只要對應(yīng)1有兩個線性無關(guān)的特征向量即可，即矩陣1 0 11 011 EA 的秩等于 1，1WAx 0 y0 0y x，只要滿足1

11、 0 10 00 x y0即可。5 5、正定二次型與正定矩陣若對X 0, ,有f (X) XTAX 0，稱f(X)為正定.二次型，A 正定的充分必要條件；(1) A 的正慣性指數(shù)等于n;(2) A 與 E 合同，即存在可逆陣 D，使 A DTD；(3)A 的特征值全正；(4)A 的順序主子式全正；A 正定的必要條件：aii0,i1,2,.n; A 0 ;若 A 是正定矩陣，則AT,A1,A*,Am,P(A)均為正定陣，其中P(x)為系數(shù)全正的多項式；若 代B均為正定陣，則kA IB(k,l 0)也是正定陣；但 AB 正定AB BA;其他類似還有負(fù)定、半正定、半負(fù)定等。典型例題題型 1 :二次型

12、的矩陣、秩和正負(fù)慣性指數(shù)例1(04，4 分)二次型 f(X1,X2,X3)X12X2X22X3X3X12的秩為2 22解f(X1,X2,x3)X1X2X2X3X3X12 2 22x12X22X32X-|X22X-|X32X2X3，2 11112112于是二次型的矩陣為A 1 210330331 12033000r(A) 2，即原二次型的秩為 2.2.題型 2 2:化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型 例 1 1 求一正交變換化二次型類題(95 , 10 分)已知二次型仁為兀必)4x；3X|4X24X1X38X2X3(1)寫出二次型f的矩陣表達式(2)用正交變換把二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的正交矩陣。02 2X

13、1答案f(X1,X2,X3)(X1, X2,X3)24 4X2243X32115.30P053016,f (X1,X2,X3)y16y26 y31225、30.62X14x24x34X|X24x38X2X3為標(biāo)1解二次型的矩陣為A= -22-24-42-4，4E-A1,20,9,對1,2求得線性無關(guān)的特征向量T2,1,0,2T2,0,1再正交化得1 1,T.2,4,5，對9，求得線性無關(guān)的特征向量1, 21T再單位化得12,0，T2,4,5，331,T2,22 / . 5P= 1/ .52/3.54/3.55/3.51/32/3作正交變換2/3Py標(biāo)準(zhǔn)形f9yf題型 3:化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的逆問

14、題2 2 2例 1 (93, 9 分)設(shè)二次型f(X!,X2,X3)人X2X32XM22X2X32乂必經(jīng)正交變換XPy化成f y；2y；，試求常數(shù)，?！痉治觥拷?jīng)正交變換(注意不是非退化線性變換)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，前 后二次型所對應(yīng)的矩陣必相似，從而有相同的特征多項式，由此可確定參解變換前后二次型的矩陣分別為110 0 0A1 ,B 010110 0 22求二次型f的矩陣的所有特征值；3若二次型f的規(guī)范形為y；y；，求a的值。a 01解二次型f的矩陣A 0 a 1110 0即101 01100 2解法一332 322 223322 ,比較系數(shù)得0解法二:令1，得20；令2，得20，解的0B,因為

15、 P 為正交矩陣，故有 P1AP B，因此E B，E APTAP例 2(09，11 分)設(shè)二次型f(X1,X2,X3)2ax12ax2(a 1)X|2X1X32X2X31a 20,即 a題型 4:合同變換與合同矩陣【答案】應(yīng)選(B)且A、B有相同的正慣性指數(shù)。例 2 2 設(shè)A，B是同階實對稱陣，已知 AB,AB,證明A 與 B合同。舉例說明反之不成立。證 因為A， B均為實對稱陣，故均可對角化，且存在正交陣 P,QP,Q，使_1 _1P AP=1,Q BQ=2, ,因為 ABAB，所以A，B得特征值相同，適當(dāng)排列 P P 的列，可，亠-1 -1 -1 -1 -1 -1使12，于是P AP=Q

16、BQ QP APQ =W AW=B，其中W=PQ，因為P,QP,Q 均為正交陣，故 W W 也有正交陣，所以W-1AW=WTAW=B, ,即A 與 B合同，反之,得A得特征值1a 2,a,(1)由f得規(guī)范形為2y12y2，知A友 2 個特征值為正，1 個為零，所以例 1 (07 , 4 分)設(shè)矩陣,B(A)合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D )既不合同，又不相似解由 E-A0 得A得特征值為0，3，3，而而A與 B 不相似；又 r A r B2，且A B有B 合同。注：(1 )若A與 B 相似，則 A同的特征值；B ;r A r B ;tr A tr B ; A 與 B有

17、相(2)若A、B為實對稱矩陣，則A 與 B合同的充分必要條件是r A r B，A 與 B合同，不能推出 ABAB。1, ,使得1/2似，因為它們的特征值不同注：相似的實對稱陣必合同，注意條件實對稱陣是重要的，對一般矩陣并不成立。和正慣性指數(shù)，且它們都是對稱矩陣，所以他們合同， 【答案】應(yīng)選（D D ）。注：（1 1 ）若 A A、B B 為實對稱矩陣，則 A A 與 B B 相似（1）若 A A、B B 為實對稱矩陣，則 A A 與 B B 相似題型 5:正定二次型與正交矩陣?yán)?1 （99 , 7 分）設(shè) A 為m n實矩陣，已知B= E+ATA,求證：當(dāng)0 時,矩陣 B 為正定矩陣（+08

18、, 7 分）證 用定義證BTE ATA E ATA B故 B 為實對稱陣；對任意 實向量 x 0，有 xTBxxTE ATA x xTx xTATAx xTx Ax 丁 Ax, 當(dāng) x 0 時，xTx 0, Ax 丁 Ax 0，因此，當(dāng) 0時，對任意實向量 x 0， 有xTBx 0,即矩陣 B 為正定矩陣。QQQ例 2 （91，6 分）考慮二次型f洛4X24X322X1X34X2X3，問1A4，B存在可逆陣CCTAC1/241/2B故A 與 B合同，但A 與 B不相例 3 3 （ 0808， 4 4 分）設(shè)A=,則在實數(shù)域上與 A A 合同的矩陣為(A)(B)(C(C)(D)-1-2解E-A =+1-2 -130,得矩陣 A A 的特征值為11，23，同理計算四個選項的特征值，發(fā)現(xiàn)選項（D D）的特征值與 A A 一致，即它們有相同的秩A A 與 B B 有相同的特征值;A A 與 B B 合同，但反之不一定成立。取何值時，f為正定二次型?用順序主子式討論。例 4 設(shè)A是n階正定陣，E 是n階單位陣，證明：A E 的行列陣大于 1.證設(shè) A 的特征值為ii1,.n ,則 A E 的特征值為i1 i 1,.n ,因為A是正定陣，所以i0 i 1,n ,所以 A E 的特征值i1 1 i 1,.n ,于是 A E例 4 設(shè) A 是m階實對稱陣且正定，B 為m n實矩陣，試證：