2018版高中數(shù)學(xué)小問題集中營專題2.3二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

1、專題三 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值數(shù)、問題的提出12017課標(biāo) j 理14】函數(shù)fxn2x3coY（-匕）的最大值二次函數(shù)是中學(xué)階段研究最深入、最完備的一類函數(shù)，雖然是初中所學(xué)內(nèi)容，卻一直是高考與 各類數(shù)學(xué)競賽中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，很多創(chuàng)新試題都是以二次函數(shù)為載體命制的 .尤其是二次函數(shù) 在閉區(qū)間上的最值,是二次函數(shù)中難度較大且考查頻率較高的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，本專題對(duì)此作一些 探討 二、問題的探源本題解法：化簡三角函數(shù)的解析式:/(x) =1 cos2x+二 cos1X當(dāng)g = 時(shí)，函數(shù)/（專取得最大值Jtr【點(diǎn)睛】本題經(jīng)三角函數(shù)式的化簡將三角函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)

2、稱“三個(gè)二次”，它們常結(jié)合在一起，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法。一般從：開口方向；對(duì)稱軸位置；判 別式；端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析。1. 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是考察對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論；求解二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，解題的關(guān)鍵都是抓住“三點(diǎn)一軸”，“三點(diǎn)”即區(qū)間兩端點(diǎn)與區(qū)間中點(diǎn)，“一軸”即為拋物線的對(duì)稱軸對(duì)于動(dòng)函數(shù)、動(dòng)區(qū)間的類型同樣是抓住“三點(diǎn)一軸”，只不過討論要復(fù)雜一些而已2. 對(duì)于“動(dòng)軸定區(qū)間”問題，一般分兩大類

3、：若軸在區(qū)間左邊或右邊，則直接依單調(diào)性可解；若軸在區(qū)間中，則最值在頂點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)取得（有時(shí)需要比較區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，從而進(jìn) 行二次分類）.cosx2丿7T由自變量的范圍：XE可得:cosxe 0,1 -2 -3.函數(shù)f X在閉區(qū)間上的最大值、最小值必在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處取得;設(shè) f x =ax bxc=：0 a . 0 ,則二次函數(shù)在閉區(qū)間 lm,n 上的最大、最小值有如下的分布情況:對(duì)于開口向下的情況，討論類似其實(shí)無論開口向上還是向下，都只有以下兩種結(jié)論:(1)若-m,nl,則2ar fb)inmaxf m,f,fn , f xmi當(dāng)對(duì)稱軸位于區(qū)間之間時(shí)，考慮最值時(shí)需考慮對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊或右

4、邊，往往通過比較對(duì)稱軸-與區(qū)間中點(diǎn)的大小來判斷2a2另外，當(dāng)二次函數(shù)開口向上時(shí)，自變量的取值離開 x 軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大；反過來，當(dāng) 次函數(shù)開口向下時(shí)，自變量的取值離開 x 軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小 三、問題的佐證(一)對(duì)稱軸定，區(qū)間動(dòng)2m：n :2am :b2acn即b_e2abm：n最大、最小值minXnf Xmax =max!fn,fm?f b ) f(x L=f .亠min2af xmaxin=min(2)若擬=maxf m ,f n，f Xmin=min 計(jì) m ,f n ffx = ax2+力石+c = 0 0 -3 -【例 1】已知函數(shù)f(x) =2x -4x 3,則函

5、數(shù)f (x)在-1,2上的最大值為【解析】f(x)=4x4,令f (x)0有1 x乞2,令f(x)：O有-仁x：1,所以函數(shù)f (x)-4 -在1-1,1為減函數(shù)，在1,21 上為增函數(shù)故函數(shù)f(x)在一1,2上的最大值為f(_1)或f(2),而f(-1) =9,f(2) =3.故最大值為9.【例 2】求函數(shù) y =x2_4x 3 在區(qū)間 lt,t 1 上的最值.【解析】對(duì)稱軸 X。=2(1) 當(dāng) 2 : t 即 t 2 時(shí)，ymin二 f t =t24t 3, ymax=f t 1 = 一 2t ；(2) 當(dāng) t 空 2 乞 t1 即 1 乞 t 乞 2 時(shí)，ymin=f 2=1,當(dāng) 1 小

6、：| 時(shí),ymax二 f t 1 =t22t,當(dāng) I 空亡 2 時(shí),ymax二 f t = F 一 4t 3 ；(3) 當(dāng) 2 t 1 即 t：1 時(shí)，ymin二 f t 1 二 t2-2t, ymax二 f t 二 F - 4x 3【例 3】【2015 高考浙江】已知函數(shù)f (x x2ax b(a,bR)，記M (a, b)是| f (x) |在區(qū)間-1,1上的最大值.證明：(1)當(dāng)|a|_2時(shí)，M (a,b) _2；(2)當(dāng)a，b滿足M (a,b)冬2，求|a |b|的最大值.【解析】分析：(1)分析題青可知丁 00 在-LI上單調(diào)，從而可知Ma,b) =/(-l) |,分類討論的取 11

7、 范圍即可求解 j|1 一口+5 冃只一 1)隹 2,即可得證-2解析：(1)由f(x) =(x)2b，得對(duì)稱軸為直線x，由|a|-2，242a得 |一才-1，故f (x)在T,1上單調(diào)，二M(a,b)=max| f f ( T)|,當(dāng)a - 2時(shí)，由f一f(一1) = 2a一4，得max f (1), f (一1)一2，即M (a,b)一2,分析題意可知|糾+ |皆ra + b.abQa b abd,再由歐砧)- 1 恒成立，求t的取值 范圍3【解析】若tV1,要使f(x) - 1 恒成立，只需f( - 1) - 1,即 4t+ 2- 1,則t-, 這與tV-1 矛盾.2若一 Kt- 1 恒

8、成立，只需f(t) - 1,即一t2+ 2t+ 1- 1,貝U1- 3 2,要使f(x) - 1 恒成立，只需f(2) - 1,即一 2t+ 5- 1, 2Vtw3.綜上所述,t的取值范圍是1 - , 3,3.【例 5】已知f(x) =ax2- 2x(0wxw1),求f(x)的最小值g(a).【解析】(1)當(dāng)a= 0 時(shí),f(x) =- 2x在0,1上單調(diào)遞減，- g(a) =f(x)min=f(1) =- 2.21當(dāng)a0 時(shí),f(x) =ax-2x的圖象開口方向向上，且其對(duì)稱軸為x=.a12當(dāng)0Vaw1,即宀時(shí)，f(x)=ax-2x的圖象對(duì)稱軸在0,1內(nèi)，12a1,即 oa1 時(shí)，f(x)

9、=ax- 2x的圖象對(duì)稱軸在0,1的右側(cè)，二f(x)在0,1上單調(diào)遞減，g(a) =f(x)min=ff(x)在 |0,單調(diào)遞減，在la，-6 -g(a) =f(x)min=f(1) =a 2.21當(dāng)a 0 時(shí),f(x) =ax 2x的圖象的開口方向向下，且對(duì)稱軸x= 0,在y軸的左側(cè)，af(x) =ax2 2x在0,1上單調(diào)遞減， g(a) =f(x)min=f(1)=a 2.ra 2,a 1.Ia【例 6】2015 高考湖北文 17】為實(shí)數(shù)，函數(shù) f(x)=|x2ax|在區(qū)間0, 1上的最大值記為 g(a).求 g(a)的值最小.【解析】因?yàn)楹瘮?shù) f(x) =|x2-ax |，所以分以下幾

10、種情況對(duì)其進(jìn)行討論：當(dāng)a乞0時(shí)，函數(shù)f (x) =|x2-ax | = x2-ax 在區(qū)間0, 1上單調(diào)遞增，所以 f (x)max二 g(a) =1 -a ;22當(dāng) 0：a：2 2 一 2 時(shí)，此時(shí) f(a)=|(a)2_a f ,f(1)=1_a,22242 2而乞-(1 _a)二魚空-2 叮 0 ,所以 f(x)max二 g(a)二 1 - a ；443當(dāng)22時(shí)，/=用一 n 卜一” 4頁在區(qū)間(0 匸)上遞増，2r-在(即 1)上遞減-當(dāng)彳時(shí)/W 取得最大值礙=和4當(dāng)a2?皿|=*十皿在區(qū)間0,1遞増當(dāng)工=1 時(shí)，1童衛(wèi)22fW取得最大值/O) = 1-3 則 g(d) = a2-2f

11、l2 在 2,2 血-2上遞制,斗衛(wèi)-IQ2土(2 血 7 杠 0上遞増，即當(dāng) a =20-2 時(shí)，威町的值最小-故應(yīng)填222.【點(diǎn)睛】將含絕對(duì)值的二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題和分段函數(shù)的最值問題融合在一起，運(yùn)用分類討論的思想將含絕對(duì)值問題轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的問題，充分體現(xiàn)了分類討論和化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，能較好的考查知識(shí)綜合能力 .其解題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類討論求出 g(a)的表達(dá)式和分段函數(shù)在區(qū)間上的最值求法-7 -四、問題的解決3結(jié)合圖形3乞m乞3222.函數(shù)y = x X(-1 _ X _ 3)的值域是( )A 0,121C.卜一，122【答案】B11【解析】二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為x,結(jié)合單調(diào)

12、性可知當(dāng)x時(shí)函數(shù)取得最小值2211-,當(dāng)x= 3 時(shí)函數(shù)取得最大值12,因此函數(shù)值域?yàn)?,12443.【2017 課標(biāo) II 文 8】函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是A.( , 2)B.( 1)C.(1,+乂)D.(4,+乂)【答案】D【解析】函數(shù)有意義，則：X2-2X-8 0，解得：x-2或x 4，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)同增異減的原則可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為D.4.【2016 高考浙江】已知函數(shù)f(x) =x2+bx,則b0”是“f(f(x)的最小值與f(x)的最小值相等”的(A.充分不必要條件)B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件1 已知函

13、數(shù)y=x2-3x-4的定義域是0, m1值域?yàn)?生,-4,則m的取值范圍是(IL4A.0,41 B.C.D.【答案】C2【解析】由題y=x -3x_4,對(duì)稱軸為:x =.貝 Vf () = -,f (0) - -4 = f (3). 2241B卜- ,124D. -,1244,=.故選2,-8 -C.充分必要條件【答案】A-9 -【點(diǎn)晴】研究函數(shù)三個(gè)思想 1.等價(jià)轉(zhuǎn)換思想：將不等式恒成立，有解問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題 2.數(shù)形結(jié)合思想：利用函數(shù)圖像，研究函數(shù)性質(zhì) 否有解及實(shí)根分布轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)性質(zhì)與圖像問題7.已知函數(shù) f(x)= x2 6x + 8,x 1,a,并且 f (x)的最小值

14、為 f (a),則實(shí)數(shù) a 的取值【解析】由題意知/十丘之兀+尸，最小值為244令SH,則于(才(功=于二纟尸一24斗當(dāng) D的最小值與只的最小值相等 3 4當(dāng)D 時(shí)，/(/(x) = x4的最小值為 0, /()的最小值也為 0,所以“fg的最小值與/(x)的最卜值相等環(huán)能推出“族曠 故選A.5.【2014 高考重慶理第 12 題】函數(shù)f (x) =log2、x Jog2(2X)的最小值為1【答案】-41【解析】f xlog2x -|2 log2_2| 1 ,x 1二2I】4所以，當(dāng)log2x=-，即x時(shí)，f x取得最小值-丄.224所以答案應(yīng)填:6.【2014 江蘇理 10】已知函數(shù)f(x)

15、=x2，mx-1，若對(duì)于任意的Im, m 11都有f (x) : 0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【答案】(_辺,0)2【解析】 據(jù)題意2 2f (m)二m mT：0,2f(m 1)=(m 1) m(m 1)T：0,解得ZE：0.23.函數(shù)與方程思想：將方程是-10 -區(qū)間是_ .【答案】1,31-11 -【解析】函數(shù)f x=x?_6x+8,的對(duì)稱軸為x=3,要使1,a時(shí),最小值為f a,根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知a3,故實(shí)數(shù) a 的取值區(qū)間是1,38.函數(shù) f x =ax2-2ax 2 b a = 0 在|2,3 |上有最大值 5 和最小值 2,求a,b的值.9.設(shè)函數(shù) f(x) =x2-4x -4

16、的定義域?yàn)?It -2, t -1,對(duì)任意 tR ,求函數(shù) f(x)的最小值的解析式.【解析】將二次函數(shù)配方得：f(x) =X2_4x _4=(x -2)2-8其對(duì)稱軸方程為x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2, _8),圖象開口向上(1)當(dāng) 2：t -2 ,即 t 4.當(dāng) x = t -2 時(shí),函數(shù)取得最小值,f (t _2)鼻化 _4)2_8 = t2_8t 8(2) 當(dāng) t -2 空 2 乞-1,即 3 乞 t 乞 4.當(dāng)x =2時(shí)，函數(shù)取得最小值，f (2) = -8(3) 當(dāng) t -1：2,即 t：3.當(dāng) x =t -1 時(shí)，函數(shù)取得最小值，f (t -1) =(t -3)2-8_6t - 1 -

17、8t +8(t A4)綜上討論,得二-8(3 竺 遼 4)I2t -6t 1(t : 3)10.討論函數(shù) fx =x2亠 x-a 亠 1 的最小值.2【解析】f X =x2 X -a1 =x2-a JX a,這個(gè)函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，由于上下兩段# _x +a +1,x a上的對(duì)稱軸分別為直線 X =，X =丄，當(dāng) a :：-1, -丄遼 a :：丄，a _丄時(shí)原函數(shù)的圖象分別如 2 2 22 2 2【解析 1 對(duì)稱軸舟十珂故函數(shù) f在區(qū)間2上單調(diào)一1)當(dāng)小時(shí)網(wǎng)數(shù)論)在區(qū)間2 習(xí)上是増函數(shù)，故；舄叮；暑 二2) 3a=3-12 -下(1),( 2),( 3)1 12(2)當(dāng) 一 2 空 a：2

18、時(shí),fxmina；=a 1；(3)當(dāng) a -時(shí)，f xmin=f -=- a2”! 411. 設(shè)函數(shù)f(x) =x2-2x 1 在區(qū)間t,t+ 1上有最小值g(t),求g(t)的解析式.2 2【解析】f(x) =x 2x 1 = (x 1) 2.1當(dāng)t1 時(shí),f(x)在區(qū)間t,t+ 1上是增函數(shù),則最小值g(t) =f(t) =t2 2t 1 ；23當(dāng)t+11,即t 1.12. 設(shè)函數(shù)y=x2 2x,x 2,a,若函數(shù)的最小值為g(a),求g(a).【解析】函數(shù)y=x2 2x= (x 1)2 1,對(duì)稱軸為直線x= 1,Tx= 1 不一定在區(qū)間一 2,a內(nèi)，.應(yīng)進(jìn)行討論.2當(dāng)一 21時(shí)，函數(shù)在2,1上單調(diào)遞減，在1,a上單調(diào)遞增，則當(dāng)x= 1 時(shí)，y取得最小值，即ymin=1.廣2a2a,21.13. 是否存在實(shí)數(shù)a,使函數(shù)f(x) =x2 2ax+a的定義域?yàn)?,1時(shí)，值域?yàn)?,2 ?若存在，求a的值；-13 -若不存在，說明理由.2 2【解析】f(x) = (xa) +aa.-14 -當(dāng)av1 時(shí),f(x)在1,1上為增函數(shù)a= 1(舍去)；f(a)=aa2= 2當(dāng)-代 0時(shí)，f(1 )= 1 a= 2?a=1；f(a)=aa2= 2 = -f( 1)= 1 + 3