2022屆高三數(shù)學一輪復(fù)習（原卷版）第一節(jié) 平面向量的概念及線性運算 教案

1、1第五章第五章平面向量、復(fù)數(shù)平面向量、復(fù)數(shù)第一節(jié)第一節(jié)平面向量的概念及線性運算平面向量的概念及線性運算核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.結(jié)合平面向量的有關(guān)概念，考查對向量特性的理解，凸顯數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)結(jié)合平面向量的有關(guān)概念，考查對向量特性的理解，凸顯數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)2結(jié)合向量的線性運算，考查用向量刻畫平面圖形的能力，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)結(jié)合向量的線性運算，考查用向量刻畫平面圖形的能力，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)3結(jié)合向量的線性運算的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的思想，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)結(jié)合向量的線性運算的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的思想，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)理清主干知識理清主

2、干知識1向量的有關(guān)概念向量的有關(guān)概念名稱名稱定義定義備注備注向量向量既有大小又有既有大小又有方向方向的量的量；向量的向量的大小大小叫做向量的長度叫做向量的長度(或稱模或稱模)平面向量是自由向量，可在平面平面向量是自由向量，可在平面內(nèi)自由平移內(nèi)自由平移零向量零向量長度為長度為0的向量的向量記作記作 0，其方向是任意的，其方向是任意的單位向量單位向量長度等于長度等于1個單位的向量個單位的向量非零向量非零向量 a a 的單位向量為的單位向量為a a| a a |平行向量平行向量方向方向相同或相反相同或相反的非零向量的非零向量(又叫做又叫做共線向量共線向量)0 與任一向量平行或共線與任一向量平行或共線

3、相等向量相等向量長度相等且方向長度相等且方向相同相同的向量的向量兩向量只有相等或不相等，不能兩向量只有相等或不相等，不能比較大小比較大小相反向量相反向量長度相等且方向長度相等且方向相反相反的向量的向量0 的相反向量為的相反向量為 02向量的線性運算向量的線性運算向量向量運算運算定義定義法則法則(或幾何意義或幾何意義)運算律運算律加法加法求兩個向量和的運算求兩個向量和的運算(1)交換律交換律： a ab bb ba a；(2)結(jié)合律：結(jié)合律：(a ab b)c ca a(b bc c)2減法減法求求 a a 與與 b b 的相反向量的相反向量b b 的和的運算叫的和的運算叫做做a a 與與 b

4、b 的差的差a ab ba a(b b)數(shù)乘數(shù)乘求實數(shù)求實數(shù)與向量與向量 a a 的的積的運算積的運算|a a|a a|，當當0 時時，a a的方向與的方向與 a a 的方向的方向相同相同；當當1，因為因為 oc oa ob，所以所以 m od oa ob，即即 odmoamob.又知又知 a，b，d 三點共線，三點共線，所以所以mm1，即，即m，所以所以1，故選，故選 b.二、創(chuàng)新考查方式二、創(chuàng)新考查方式領(lǐng)悟高考新動向領(lǐng)悟高考新動向1已知平面上點已知平面上點 o 與線段與線段 ab，若線段，若線段 ab 上有上有 n(n1)個異于端點個異于端點 a，b 的互異動點的互異動點 p1，11p2，

5、 ， pn， 且滿足且滿足 opkkoakob， k， kr,r,1kn， kz z， 則則(12n)(12n)的取值范圍是的取值范圍是()a(0，12n)b(0，14n)c(0，14nd14n，)解析：解析：選選 b因為因為(ab2)2aba22abb24 ab 240，所以所以 ab(ab2)2對任意對任意 a，br r 均成立，并且當且僅當均成立，并且當且僅當 ab 時等號成立時等號成立由于由于 pk，a，b 共線，所以共線，所以kk1，由于由于 pk在線段在線段 ab 上且異于端點上且異于端點 a，b，結(jié)合，結(jié)合 opkkoakob以及平行四邊形法則以及平行四邊形法則可知可知k0，k0

6、.若若kk12，此時，此時 pk為線段為線段 ab 的中點，僅有的中點，僅有 1 點，但點，但 n1，所以，所以 0(12n)(12n)(11)(22)(nn)(112)2(222)2(nn2)214n，故選故選 b.2.趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家，大約在公元趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家，大約在公元 222 年，趙爽為周髀年，趙爽為周髀算經(jīng)算經(jīng)一書作序時一書作序時，介紹了介紹了“勾股圓方圖勾股圓方圖”，亦稱亦稱“趙爽弦圖趙爽弦圖”(以弦為邊以弦為邊長得到的正方形長得到的正方形由由 4 個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的的)類比類

7、比“趙爽弦圖趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由它是由 3 個全等的三角個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設(shè)形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設(shè) df2af，則，則()a ad213ac913abb ad29ac127abc ad313ac913abd ad213ac613ab解析：解析：選選 c由題意知由題意知 ad3 af， cf3 ce， be3 bd，則則 ad3 af3( ac cf)3 ac9 ce3 ac9 cb9 be3 ac9( ab ac)27 bd6 ac9 ab27( ad ab)6 ac18 ab27

8、 ad，所以所以 ad313ac913ab.3.窗的運用是中式園林設(shè)計的重要組成部分窗的運用是中式園林設(shè)計的重要組成部分，常常運用象征常常運用象征、隱喻隱喻、借借12景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營造出廣闊的審美意境從窗的外形看，常見的景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營造出廣闊的審美意境從窗的外形看，常見的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等如圖，在平面直角坐標系有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等如圖，在平面直角坐標系 xoy 中，中，o 為正八邊為正八邊形形p1p2p8的中心的中心，p1p8x 軸軸，現(xiàn)用如下方法等可能地確定點現(xiàn)用如下方法等可能地確定點 m：點點 m 滿足滿足 2om

9、opiopj0(其中其中 1i，j8 且且 i，jn n*，ij)，則點則點 m(異于點異于點 o)落在坐標軸上的概率為落在坐標軸上的概率為()a.35b37c.38d27解析：解析：選選 d由題意可知由題意可知opiopj所有可能結(jié)果有：所有可能結(jié)果有：op1op2，op1op3，op1op4，op1op5，op1op6，op1op7，op1op8，op2op3，op2op4，op2op5，op2op6，op2op7，op2op8，op3op4，op3op5，op3op6，op3op7，op3op8，op4op5，op4op6，op4op7，op4op8，op5op6，op5op7，op5o

10、p8，op6op7，op6op8，op7op8，共有共有 28 種種點點 m(異于點異于點 o)落在坐標軸上的結(jié)果有落在坐標軸上的結(jié)果有：op1op4，op1op8，op2op3，op2op7，op3op6，op4op5，op5op8，op6op7，共有，共有 8 種，種，所以點所以點 m(異于點異于點 o)落在坐標軸上的概率為落在坐標軸上的概率為 p82827.故選故選 d.課時跟蹤檢測課時跟蹤檢測一、基礎(chǔ)練一、基礎(chǔ)練練手感熟練度練手感熟練度1(多選多選)設(shè)設(shè) a a，b b 是非零向量，記是非零向量，記 a a 與與 b b 所成的角為所成的角為，下列四個條件中，使，下列四個條件中，使a|

11、a|b|b|成立的成立的充要條件是充要條件是()aa ab bb0ca a2b bd解析：解析：選選 bca|a|b|b|等價于非零向量等價于非零向量 a a 與與 b b 同向共線，即同向共線，即0，故，故 b 正確對于選項正確對于選項 c，a a2b b，則，則 a a 與與 b b 同向共線，故同向共線，故 c 正確正確2設(shè)設(shè) d，e，f 分別為分別為abc 的三邊的三邊 bc，ca，ab 的中點，則的中點，則 eb fc()a adb12ad13c.12bcd bc解析解析：選選 a由題意得由題意得 eb fc12( ab cb)12( ac bc)12( ab ac) ad.3設(shè)設(shè)

12、a a 是非零向量，是非零向量，是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()aa a 與與a a 的方向相反的方向相反ba a 與與2a a 的方向相同的方向相同c|a a|a a|d|a a|a a解析：解析：選選 b對于對于 a，當，當0 時，時，a a 與與a a 的方向相同，當?shù)姆较蛳嗤?，? 時，時，a a 與與a a 的方向相反；的方向相反；b 正正確確；對于對于 c，|a a|a a|，由于由于|的大小不確定的大小不確定，故故|a a|與與|a a|的大小關(guān)系不確定的大小關(guān)系不確定；對對于于 d，|a a 是向量，而是向量，而|a a|表示長度，兩者不能比較大

13、小表示長度，兩者不能比較大小4.如圖，在正六邊形如圖，在正六邊形 abcdef 中，中， ba cd ef()a0b bec add cf解析：解析：選選 d由題圖知由題圖知 ba cd ef ba af cb cb bf cf.5在在abc 中，中，o 為為abc 的重心，若的重心，若 bo ab ac，則，則2()a12b1c.43d43解析：解析：選選 d如圖，延長如圖，延長 bo 交交 ac 于點于點 m，點點 o 為為abc 的重心，的重心，m 是是 ac 的中點，的中點， bo23bm2312ba12bc13ba13bc13ab13( ac ab)23ab13ac，又又 bo ab

14、 ac，23，13，243，故選，故選 d.二、綜合練二、綜合練練思維敏銳度練思維敏銳度141已知兩個非零向量已知兩個非零向量 a a，b b 互相垂直，若向量互相垂直，若向量 mm4a a5b b 與與 n n2a ab b 共線，則實數(shù)共線，則實數(shù)的的值為值為()a5b3c.52d2解析：解析：選選 ca a，b b 是非零向量，且互相垂直，是非零向量，且互相垂直，4a a5b b0，mm0.mm，n n 共線，共線，n nmm，即，即 2a ab b(4a a5b b)，24，5.解得解得52.2設(shè)平面向量設(shè)平面向量 a a，b b 不共線，若不共線，若 aba a5b b， bc2a

15、a8b b， cd3(a ab b)，則，則()aa，b，d 三點共線三點共線ba，b，c 三點共線三點共線cb，c，d 三點共線三點共線da，c，d 三點共線三點共線解析解析：選選 a aba a5b b，bc2a a8b b，cd3(a ab b)， ad ab bc cd(a a5b b)(2a a8b b)3(a ab b)2(a a5b b)2 ab， ad與與 ab共線共線，即即 a，b，d 三點三點共線共線3已知點已知點 o，a，b 不在同一條直線上，點不在同一條直線上，點 p 為該平面上一點，且為該平面上一點，且 2 op2 oa ba，則則()a點點 p 在線段在線段 ab

16、上上b點點 p 在線段在線段 ab 的反向延長線上的反向延長線上c點點 p 在線段在線段 ab 的延長線上的延長線上d點點 p 不在直線不在直線 ab 上上解析：解析：選選 b因為因為 2 op2 oa ba，所以，所以 2 ap ba，所以點，所以點 p 在線段在線段 ab 的反向延的反向延長線上長線上4(多選多選)在在abc 中中，點點 e，f 分別是邊分別是邊 bc 和和 ac 的中點的中點，p 是是 ae 與與 bf 的交點的交點，則有則有()a ae12ab12acb ab2 efc cp13ca13cbd cp23ca23cb解析：解析：選選 ac如圖，如圖，根據(jù)三角形中線性質(zhì)和平

17、行四邊形法則知，根據(jù)三角形中線性質(zhì)和平行四邊形法則知，15ae ab be ab12bc ab12( ac ab)12( ac ab)，a 是正確的是正確的；因因為為ef 是中位線是中位線，所以所以 ab2 fe，b 是錯誤的是錯誤的；設(shè)設(shè) ab 的中點為的中點為 g，則根據(jù)三角形重心性質(zhì)則根據(jù)三角形重心性質(zhì)知知，cp2pg，所以所以 cp23cg2312(ca cb)13(ca cb)，所以所以 c 是是正確的，正確的，d 錯誤錯誤5設(shè)向量設(shè)向量 a a，b b 不共線，不共線， ab2a apb b， bca ab b， cda a2b b，若，若 a，b，d 三點共三點共線，則實數(shù)線，則

18、實數(shù) p 的值為的值為()a2b1c1d2解析解析：選選 b因為因為 bca ab b，cda a2b b，所以所以 bd bc cd2a ab b.又因為又因為 a，b，d 三點共線，所以三點共線，所以 ab， bd共線設(shè)共線設(shè) ab bd，所以，所以 2a apb b(2a ab b)，所以，所以 22，p，即，即1，p1.6(多選多選)已知向量已知向量 oa(1，3)， ob(2,1)， oc(t3，t8)，若點，若點 a，b，c 能能構(gòu)成三角形，則實數(shù)構(gòu)成三角形，則實數(shù) t 可以為可以為()a2b12c1d1解析解析：選選 abd若點若點 a，b，c 能構(gòu)成三角形能構(gòu)成三角形，則則 a

19、，b，c 三點不共線三點不共線，故向量故向量 ab，bc不共線不共線由于向量由于向量 oa(1，3)，ob(2,1)，oc(t3，t8)，故故 ab ob oa(3,4)， bc oc ob(t5，t9)，若，若 a，b，c 三點不共線，則三點不共線，則3(t9)4(t5)0，t1.7已知點已知點 o 為為abc 的外接圓的圓心的外接圓的圓心，且且 oa ob co0 0，則則abc 的內(nèi)角的內(nèi)角 a 等于等于()a30b45c60d90解析解析：選選 a由由 oa ob co0 0，得得 oa ob oc，由由 o 是是abc 外接圓的圓心外接圓的圓心，結(jié)合向量加法的幾何意義知，四邊形結(jié)合向

20、量加法的幾何意義知，四邊形 oacb 為菱形，且為菱形，且cao60，故，故cab30，選選a.8已知向量已知向量 a a，b b 不共線，且不共線，且 c ca ab b，d da a(21)b b，若，若 c c 與與 d d 共線反向，則實數(shù)共線反向，則實數(shù)的值為的值為()16a1b12c1 或或12d1 或或12解析解析：選選 b由于由于 c c 與與 d d 共線反向共線反向，則存在實數(shù)則存在實數(shù) k 使使 c ckd d(k0)，于是于是a ab bka(21)b，整理得整理得a ab bka a(2kk)b b.由于由于 a a，b b 不共線，所以有不共線，所以有k，2kk1，

21、整理得整理得 2210，解得，解得1 或或12.又因為又因為 k0，所以，所以0，故，故12.9在在abc 中，中，d 為為abc 所在平面內(nèi)一點，且所在平面內(nèi)一點，且 ad13ab12ac，則，則sbcdsabd()a.16b13c.12d23解析解析：選選 b如圖如圖，由已知得由已知得，點點 d 在在abc 中與中與 ab 平行的中位線上平行的中位線上，且在靠近且在靠近 bc 邊的三等分點處邊的三等分點處，從而有從而有 sabd12sabc，sacd13sabc，sbcd11213 sabc16sabc，所以，所以sbcdsabd13.10.如圖如圖，點點 o 是正六邊形是正六邊形 abc

22、def 的中心的中心，在分別以正六邊形的頂點和中在分別以正六邊形的頂點和中心為始點或終點的向量中，與向量心為始點或終點的向量中，與向量 oa相等的向量有相等的向量有_個個解析解析：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和相等向量的定義根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和相等向量的定義，易知與向量易知與向量 oa相等的向量相等的向量有有 cb， do， ef，共，共 3 個個答案：答案：311.如圖如圖， 在在abc 中中， 點點 d， e 是線段是線段 bc 上兩個動點上兩個動點， 且且 ad aex aby ac，則，則1x4y的最小值為的最小值為_解析：解析：易知易知 x，y 均為正數(shù)，均為正數(shù)，17設(shè)設(shè) adm abn a

23、c， ae ab ac，b，c，d 共線，共線，mn1，同理，同理，1. ad aex aby ac(m) ab(n) ac，xymn2.1x4y121x4y (xy)125yx4xy 1252yx4xy 92，當且僅當，當且僅當 y2x 時等號成立時等號成立，則則1x4y的最小值為的最小值為92.答案：答案：9212在在abc 中中，p 為為 bc 的中點的中點，內(nèi)角內(nèi)角 a，b，c 的對邊分別為的對邊分別為 a，b，c，若若 c aca pab pb0，則，則abc 的形狀為的形狀為_解析：解析：在在abc 中，中，p 為為 bc 的中點，的中點， pa12( ab ac)，又又c aca

24、 pab pb0， pb12cb12( ab ac)，c ac12a( ab ac)12b( ab ac)0，cab2acab2ab0，即即cab2acab2ab，又又 ab， ac不共線，不共線，ab20，cab20，解得解得 abc，abc 為等邊三角形為等邊三角形答案：答案：等邊三角形等邊三角形13在直角梯形在直角梯形 abcd 中中，a90，b30，ab2 3，bc2，點點 e 在線段在線段 cd 上上，若若 ae ad ab，則，則的取值范圍是的取值范圍是_解析：解析：由題意可求得由題意可求得 ad1，cd 3， ab2 dc.點點 e 在線段在線段 cd 上，上， de dc(01) ae ad de，18又又 ae ad ab ad2 dc ad2de，21，即，即2.01，012，即即的取值范圍是的取值范圍是0，12 .答案：答案：0，1214如圖如圖，o，a，b 三點不共線三點不