2019屆高考數(shù)學(xué)專題四恒成立問題精準(zhǔn)培優(yōu)專練理

1、例 2：若不等式 logax si n2x a .0,a=1 對(duì)于任意的 x；-|0J,n%成立， 貝 U 實(shí)數(shù) a 的取值范圍【答案】a |L,10 -a 1，觀察圖像進(jìn)培優(yōu)點(diǎn)四恒成立問題1 參變分離法【答案】a _ -1【解析】Inx：x2：= xlnx_a x?二 aAXIn x -x3，其中(1,宓)，x.3- 只需“(xlnxXmax-2N11_ , 6 x令 g(x)=xl n xx , g (x )=1+1 nx3x , g (1 )=-2 , g(x)=6x=-x恒成立，求 a 的取值范圍【答案】a _e -1【解析】f x恒成立即不等式al nx-x1 .0恒成立，令g x

2、=al nx-x，1，即也寸.s2右i=a上4，所以a，f1-3.只需g x mm-0即可，g 1 =0，g x =a_1=蘭2，令g x i0=土蘭0=x : a（分析g x的單調(diào)性）x xx當(dāng)a 1時(shí)g x在1,e單調(diào)遞減，則g滄：:g 1 =0（思考：為什么以a=1 作為分界點(diǎn)討論？因?yàn)檎业絞 1=0，若要不等式成立，那么一定從x =1處起g x要增（不一定在1,e上恒增，但起碼存在一小處區(qū)間是增的），所以a _1時(shí)導(dǎo)致g x在x =1處開始單減，那么一定不符合條件由此請(qǐng)?bào)w會(huì)零點(diǎn)對(duì)參數(shù)范圍所起的作 用）當(dāng)a 1時(shí)，分 x=a 是否在1,e中討論（最小值點(diǎn)的選取）若1 : a : e,單調(diào)

3、性如表所示X(iQ（恥）+(1 )可以比較g 1, g e 的大小找到最小的臨界值，再求解，但比較麻煩.由于最小值只 會(huì)在x =1, x=e 處取得，所以讓它們均大于0 即可.(2)由于x=1, x=e 并不在1,e中，所以求得的只是臨界值，臨界值等于零也符合條件)若a _e，則g x在1,e上單調(diào)遞增，.g x . g 1=0，符合題意，綜上所述：a亠e1.對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)一、選擇題g 1 -0g e -0=a _e T，.e1 _a：41.已知函數(shù)in (x+1x 蘭 0f x =2，lx 3x,x 0若 fx i m 2 x 亠 0 ,則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是( )A.： ； ： -匚 1,

4、1 B.1-2,1 1C.1.0,31D.1.3,：【答案】B【解析】若 f x - mx_ 0 ,即有 f x：mx，分別作出函數(shù) f x 和直線 y =m 2 x 的圖 象，由直線與曲線相切于原點(diǎn)時(shí)，x23x 2x 3，則 m 2= 3，解得m=1,由直線繞著原點(diǎn)從 x 軸旋轉(zhuǎn)到與曲線相切，滿足條件.即有0乞m 2乞3，解得-2乞m乞1故選B.52已知函數(shù) f x = _x?2x2亠 4x，當(dāng)xI-3,3 時(shí)，f X：m2-14m 恒成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（）A.-3,11B. 3,11C. 3,11D. 2,7【答案】C【解析】由題意可得：f x=-3x2-4x=- x 2 3x

5、-2 ,據(jù)此可知函數(shù) f x 在區(qū)間 1-3,3 上的最小值為 3，結(jié)合恒成立的條件可得：m2_14m 乞-0 成立，貝 V 實(shí)數(shù) m 的范圍是()【答案】A【解析】若存在怡可 0,2 1 使得 mf X0.0 成立，則在 怡三0,2 .1 內(nèi) f xmin: m 即可,故 f x 在 0,2 上單調(diào)遞減 f Xmin二 f 2 = de2, . m * -ie2，故選 A55&設(shè)函數(shù) f (x )=1 nx +ax，若存在 xo (0,),使 f (xo)A0，貝 a 的取值范圍是(【答案】D【解析】f x 的定義域是 0,:當(dāng)a_0 時(shí)，x .0,貝 U f x 在 0, ：上單調(diào)

6、遞增，且 f1=a_0.故存在 x0可 0 川3：, 使 f X0戶 0 ；1 .當(dāng)a：0時(shí)，令 fx 0，解得 0：x：-，令 f x : 0，解得 a單調(diào)遞增，在-丄，； 上單調(diào)遞減,V a丿= =SIJ-SIJ-X Xf fA.B.C.-1,:D.f xmafaln -a-10，解得aw丄2X X + +10a 的取值范圍是-,=：|.故選 D. e丿9.若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x_0，函數(shù) f x 二 exax 恒大于零，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(綜上,11A. _：:,eB. _：:, _e |C. |e,亠jD. _e,-:【答案】D【解析】.當(dāng)x_0時(shí)，f x 二 ex ax . 0 恒成

7、立，.若x=0, a 為任意實(shí)數(shù)，f x 二 exax 0 恒成立，若x 0時(shí)，f x =exax0恒成立，exexexx ex即當(dāng)x 0時(shí)，a *恒成立，設(shè) g x 二-一，貝 U gx -2xxx當(dāng) xw 0,1 時(shí)，gx .0 ,則 g x 在 0,1 上單調(diào)遞增，當(dāng) xGl :時(shí)，g x：0 ,則 g x 在 1,;上單調(diào)遞減，當(dāng)x=1時(shí)，g x 取得最大值為-e .則要使 x_0 時(shí)，f x=exax0恒成立，a 的取值范圍是-e j,故選 D.10.已知函數(shù) f x =a x a x a 3 , g x =22，若對(duì)任意 xR，總有 f x：: 0 或 g x：0成立，則實(shí)數(shù) a

8、的取值范圍是（）A-:,-4B. -4,0C. -4,0D. -4,:【答案】B【解析】由 g x=2x-2：:0，得x 1，故對(duì)x _1時(shí)，g x：:0 不成立，從而對(duì)任意 x _1 , f x : 0 恒成立，因?yàn)?a xa x a 3：0 ,對(duì)任意 x _1 恒成立,如圖所示，則必有a : 0a：1-a _3：，計(jì)算得出-4: a：0.12則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為()A. | . ,e IB. ,e【答案】D【解析】不等式UL一丄皂.0,即燈兒ff X20,X2XiX1X2結(jié)合X2X0可得 XifXi-X2fX2：0 恒成立，即 X2fX2XifXi恒成立,構(gòu)造函數(shù) g(x )=xf (

9、x )=eX -ax?，由題意可知函數(shù) g(x )在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,X故 g x =ex_2ax _0 恒成立，即a恒成立,2x人exeX(x1)令 h x =|- x 0，則h x 曠, 當(dāng) 0 :x : 1時(shí)，h x：0 , h x 單調(diào)遞減；當(dāng)x 1時(shí)，h x 心 0 , h x單調(diào)遞增;1/T則 h x 的最小值為 h 1 二旦 =e,據(jù)此可得實(shí)數(shù) a 的取值范圍為一：, .本題選擇 D 選2 乂 1 2I2項(xiàng).12.設(shè)函數(shù) f x =ex3x -1-axa，其中a 1，若有且只有一個(gè)整數(shù)x使得 f x空 0,則 a 的取值范圍是()A 2 3BC 乜JD 亠.e，4. _e，4C

10、e，1 J【答案】C11.已知函數(shù)x、efxax ,x0,：，當(dāng)X2.Xi時(shí)，不等式一丄空：:：o 恒成立,X2XiC.13【解析】設(shè) g x =ex3x -1 , h x 二 ax-a，則 gx =ex3x+2 ,當(dāng). .,2時(shí)，g x =：0 , g x 單調(diào)遞減；當(dāng) x 三2, ：時(shí)，g x i ,0 , g x 單調(diào)遞增，I 3 丿 *2( 2、 上當(dāng) x時(shí)，g x 取得最小值 g! 3 二e3如下圖所示.又 g 1 ：;h 1 =2e 0 ,故 g 1. h 1 ;g 0 h 0 二一 1 a：0，故 g 0：h 0 .故當(dāng)溝=0 時(shí)，滿足 g 0 在直線 h x =ax-a 的下方

11、.直線 h x = ax -a 恒過定點(diǎn)(1,0 沮斜率為 a ,要使得有且只有一個(gè)整數(shù)f x0 0,只需 g T Ah -1 二-4e2a 0 , a -,e又a0， fX. 0， fX單調(diào)遞增；當(dāng) xGx,；， gX：0， fX：0， fX單調(diào)遞減.所以函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn).綜上可知，當(dāng)a：0時(shí) fX有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng) 0 -a 時(shí) f x 的無極值點(diǎn)；當(dāng) a8時(shí), fX的有兩個(gè)極值點(diǎn).(2)由(1)可知當(dāng) 0 遼 a 遼8時(shí) f x 在 0, ：?jiǎn)握{(diào)遞增，而 f 0 =0 ,9則當(dāng) xQO,亠j時(shí)，f xj0，符合題意；8當(dāng) a _1 時(shí)，g 0-0,X2應(yīng)0, fX在 0,；單調(diào)遞增，而

12、f 0 = 0 ,9則當(dāng) x“0, :時(shí)，f X 0，符合題意；當(dāng)a 1時(shí)，g0.0,X20，所以函數(shù)f X在0,X2單調(diào)遞減，而f 0i=0,則當(dāng)0,X2時(shí)，fX：0,不符合題意；當(dāng)a：0時(shí)，設(shè) hX= x - InX1 ，當(dāng) x 三i0,亠 時(shí) hx= 1 -1 0 ,x+11+xhX在0,；單調(diào)遞增， 因此當(dāng)x氣0,畑)時(shí)h(x)h(0)=0, ln(x+1)Cx ,A于是f x :XaX2-X二ax21 -aX，當(dāng)X1 -一 時(shí) ax21 -a x：0,a此時(shí) f x：0 ,不符合題意.綜上所述，a 的取值范圍是0乞a 1.18.設(shè)函數(shù) fX=emxX2-mx ,(1)證明：fX在-:

13、：,0單調(diào)遞減，在0,；單調(diào)遞增;(2)若對(duì)于任意 xi,-1,1 ，都有 f(Xi)_f 宀廬 e_1，求 m 的取值范圍.20【答案】(1)見解析；(2)m：= I1,1 .【解析】f xj;=：memx 2x-m，注意到 f 0=0，于是再求導(dǎo)得，x =m2emx2，由于 r x 0,于是 f x 為單調(diào)遞增函數(shù)，-X,0時(shí)，fx 0 ,x 0,：時(shí)，fx .0,f x在：,0單調(diào)遞減，在0,；單調(diào)遞增.(2)若不等式 f (為)f(X2蘭 e 1 恒成立，則 f * )一 f(X2 kx金 _1，:f(x在【-1,1】連續(xù)，f x在-1,11有最大最小值， f W ) f(X2 L=f (Xmax f(Xmin，由(1)可知f x在-1,0單調(diào)遞減，在0,1單調(diào)