2017-2018學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)專題02函數(shù)的概念與性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案

1、般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個 x,都有，那么函數(shù) f(x)就叫做偶第二講函數(shù)的概念與性質(zhì)、基礎(chǔ)知識整合1 函數(shù)的概念一般地，設(shè) A, B 是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合 A 中的任意一個數(shù) x，在集合 B 中都有_f(x)和它對應(yīng)，那么就稱 f :ATB 為從集合 A 到集合 B 的一個_ ，記作 y= f(x) , x A,其中，x 叫做_ , x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的；與 x 的值相對應(yīng)的 y 值叫做_，其集合f(x)|x A叫做函數(shù)的 _ .2 函數(shù)的表示方法(1) 解析法：就是用 _表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法.(2) 圖象法：就是

2、用 _表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法.(3) 列表法：就是 _來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法.疋、3.構(gòu)成函數(shù)的三要素(1) 函數(shù)的三要素是：_ , _ , _.(2) 兩個函數(shù)相等：如果兩個函數(shù)的 _ 相同，并且_ 完全一致，則稱這兩個函數(shù)相等.4分段函數(shù)若函數(shù)在定義域的不同子集上的對應(yīng)關(guān)系也不同，這種形式的函數(shù)叫做分段函數(shù)，它是一類重要的函數(shù).5.映射的概念一般地，設(shè) A, B 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合 A 中的_元素 x，在集合 B 中都有_ 元素 y 與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng) f :ATB為從集 合 A到集合 B 的一個映射.6映射與函數(shù)的關(guān)系(1

3、)聯(lián)系：映射的定義是在函數(shù)的現(xiàn)代定義(集合語言定義)的基礎(chǔ)上引申、拓展而來的；函數(shù)是一種特殊的_L_區(qū)別：函數(shù)是從非空數(shù)集A 到非空數(shù)集 B 的映射；對于映射而言，A 和 B 不一定是數(shù)集.7. 復(fù)合函數(shù)一般地，對于兩個函數(shù) y= f(u)和 u= g(x)，如果通過變量 u, y 可以表示成 x 的函數(shù)，那么 稱這個函數(shù)為函數(shù) y = f(u)和 u = g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作 y= f(g(x)，其中 y= f(u)叫做復(fù) 合函數(shù) y = f(g(x)的外層函數(shù)，u= g(x)叫做 y= f(g(x)的內(nèi)層函數(shù).8.函數(shù)的單調(diào)性(1)增函數(shù)與減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù) f(x)的定義域為 I

4、:1如果對于定義域 I 內(nèi)某個區(qū)間 D 上的自變量的值 x1 ,x2,當(dāng) x1vx2 時，都有 f(x1)vf(x2), 那么就說函數(shù) f(x)在區(qū)間 D 上是2如果對于定義域 I 內(nèi)某個區(qū)間 D 上的自變量的值 x1 ,x2,當(dāng) x1vx2 時，都有 f(x1) f(x2),那么就說函數(shù) f(x)在區(qū)間 D 上是格的)，區(qū)間 D 叫做 y= f(x)的9.奇、偶函數(shù)的概念(2)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù) y= f(x)在區(qū)間 D 上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù) y = f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個 x,都有，那么函數(shù) f(x)就叫做偶(1)偶函數(shù)3函

5、數(shù).奇函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個 X,都有，那么函數(shù) f(x)就叫做奇函數(shù).10. 奇、偶函數(shù)的圖象特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于對稱.11. 具有奇偶性函數(shù)的定義域的特點具有奇偶性函數(shù)的定義域關(guān)于，即“定義域關(guān)于”是“一個函數(shù)具有奇偶性”的條件.12. 周期函數(shù)的概念(1) 周期、周期函數(shù)對于函數(shù) f(x)，如果存在一個 T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的值時，都有,那么函數(shù) f(x)就叫做周期函數(shù).T 叫做這個函數(shù)的周期.(2) 最小正周期I 1如果在周期函數(shù) f(x)的所有周期中存在一個的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.13. 函數(shù)奇偶性與

6、單調(diào)性之間的關(guān)系(1)若函數(shù) f(x)為奇函數(shù)，且在a , b上為增(減)函數(shù)，則 f(x)在b, a上為:若函數(shù) f(x)為偶函數(shù)，且在a , b上為增(減)函數(shù)，則 f(x)在b, a上為.14. 奇、偶函數(shù)的“運(yùn)算”(共同定義域上)奇奇=，偶偶=，奇乂奇=，偶乂偶=，奇X偶= .15. 函數(shù)的對稱性如果函數(shù) f(x) , x D,滿足？x D,恒有 f(a + x) = f(b x)，那么函數(shù)的圖象有對稱軸a+b-;如果函數(shù) f(x) , x D,滿足？x D,恒有 f(a x) = f(b + x)，那么函數(shù)的圖(象有對稱中心_-ifjXA16. 函數(shù)的對稱性與周期性的關(guān)系I 、I(1

7、)如果函數(shù) f(x)(x D)在定義域內(nèi)有兩條對稱軸x= a, x = b(ab)，則函數(shù) f(x)是周期函數(shù)，且周期 T= 2(b a)(不一定是最小正周期，下同).如果函數(shù) f(x)(x D)在定義域內(nèi)有兩個對稱中心A(a , 0) , B(b , O)(a0,1【解析】 由題意，得 2x2 3x 2豐0.解之得1wxwi且XM2.x,x0,3. 設(shè) f(x) = 2x, x0,則 f(f( 2)等于()113A. 1B.4C.2D.2【答案】C17. (1)f(x) =0; (2)x 軸 零點； (3)f(a) f(b)v0二、自主小測1.若函數(shù) y=f(x)2Wxw2,值域為(a ,

8、b) f(c) = 0.N= y|0wyw2,則函數(shù) y = f(x)的定義域為 W61 1111【解析】 因為一 20,所以 f(f( 2) = f4 = 1 4 = 1 2 = 2,故選 C.4.函數(shù) f(x) = 3x x2 的零點所在區(qū)間是()A.(0 , 1)B.(1 , 2)C.( 2, 1)D.( 1, 0)【答案】D2【解析】 由于 f( 1) = 30, f( 1) f(0)0，對應(yīng)關(guān)系 f :對 P 中三角形求面積與集合 Q 中元素對應(yīng).【答案】【解析】由于中集合 P 中元素 0 在集合 Q 中沒有對應(yīng)元素，而中集合 P 不是數(shù)集，所以 和都不是集合 P 上的函數(shù).由題意知

9、，正確.故填 .【名師點睛】1.函數(shù)是一種特殊的對應(yīng)， 要檢驗給定的兩個變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系，只需要檢驗：定義域和對應(yīng)關(guān)系是否給出；根據(jù)給出的對應(yīng)關(guān)系，自變量 x 在其定義域內(nèi)的每一個值是 否都有唯一確定的函數(shù)值 y 與之對應(yīng)；集合 P, Q 是否為非空數(shù)集.2.兩個函數(shù)相等的充要條件是它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，與函數(shù)的自變量和因變量用什么字母表示無關(guān).在對函數(shù)解析式進(jìn)行化簡變形時應(yīng)注意定義域是否發(fā)生改變（即是否是等價變形）；對于含絕對值的函數(shù)式可以展開為分段函數(shù)后再判斷.類型二函數(shù)的定義域x 1例 1. (1)函數(shù) f(x) = In x 1 + x2 的定義域為()A.(0 ,+

10、)B.(1 ,+)7C.(0,1)D.(0,1)U(1,+s)8f(x+1)若函 數(shù) y = f(x)的定義 域是1 , 2 017,則函 數(shù) g(x) = x- 1 的定義域是【答案】(1)B (2)x|0wxw2 016，且 10,【解析】(1)要使函數(shù) f(x)有意義，應(yīng)滿足 x 0,解得 x1,x 1故函數(shù) f(x) = lnx 1 + x2 的定義域為(1 ,+)./ y = f(x)的定義域為1 , 2 017 , g(x)有意義，應(yīng)滿足x 1 工 0. 0wxw2 016，且XM1.因此 g(x)的定義域為x|0wxw2 016，且 1.【名師點睛】1. 求函數(shù)定義域的原則： 用

11、列表法表示的函數(shù)的定義域，是指表格中實數(shù) x 的集合；用圖象法表示的函數(shù)的定義域，是指圖象在x 軸上的投影所對應(yīng)的實數(shù)的集合；當(dāng)函數(shù) y= f(x)用解析法表示時，函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實數(shù)x 的集合，一般通過列不等式(組)求其解集.2. 求函數(shù)的定義域的依據(jù)就是要使函數(shù)的解析式有意義的自變量的取值范圍.其求解根據(jù)一般有：(1)分式中，分母不為零；(2)偶次根式中，被開方數(shù)非負(fù)；(3)對數(shù)的真數(shù)大于 0;(4) 實際問題還需要考慮使題目本身有意義.(5 )若 y = f(x)的定義域為(a, b)，則解不等式ag(x)l).X1LiX 1(刀設(shè)4-f由fl0)=2,得亡=2金 +1)

12、一 丸工)=4工 +1);+沁+ 1)+2 ax- bx】=工 一1，【名師點睛】求函數(shù)解析式方法：(1)配湊法：由已知條件 曲)皿 ,可將 %)改寫成關(guān)于 gW 的表達(dá)式，然后以1wx+1w2 017,5J 2cDca+b=x b 9替代 魚)，便得 的解析式；(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法;10例 1.已知總0 且，函數(shù)(a-l)A+3a-4,(x0)滿足對任意實數(shù) ；亠二，都有1成立，則丿的取值范圍是(換元法：已知復(fù)合函數(shù) 他(M) 的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍;(4)方程思想：已知關(guān)于斥).1與或一 1的表達(dá)式，可根據(jù)已知條

13、件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出 一】-1.類型四分段函數(shù)1+Iog2(2x),x 1,則 f( 2) + f(log212)=()A.3B.6 C.9D.12【答案】C【解析】根據(jù)分段函數(shù)的意義，f( 2) = 1 + Iog2(2 + 2) = 1 + 2= 3.又 Iog2121 f(log212)= 2(log212 1) = 2log26 = 6，因此 f( 2) + f(log212)= 3+ 6= 9.例 2.設(shè)函數(shù) f(x)=3xb,x 1.若 f 6 = 4,貝 U b =()73A.1B.8 C.41D.2【答案】D【解析】門爭二3諾-片專-鮎若即 定時3

14、則廣:/卜丁& i呂$ =4解之得方二亍不合題意苦古310三1,即迅 E 則3=4f解得5-【名師點睛】1. 對于分段函數(shù)結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求值問題， 一定要先求內(nèi)層函數(shù)的值， 因為內(nèi)層函數(shù)的函數(shù) 值就是外層函數(shù)的自變量的值 .另外，要注意自變量 的取值對應(yīng)著哪一段區(qū)間， 就使用哪一 段解析式2. 求分段函數(shù)的值域，關(guān)鍵在于“對號入座”：即看清待求函數(shù)值的自變量所在區(qū)域，再用分段函數(shù)的定義即可解決.3. 求分段函數(shù)解析式主要是指已知函數(shù)在某一區(qū)間上的圖象或解析式，求此函數(shù)在另一區(qū)間上的解析式，常用解法是利用函數(shù)性質(zhì)、待定系數(shù)法及數(shù)形結(jié)合法等.畫分段函數(shù)的圖象要特別注意定義域的限制及關(guān)鍵點(

15、如端點、最值點)的準(zhǔn)確性.分段函數(shù)的性質(zhì)主要包括奇偶性、單調(diào)性、對稱性等，它們的判斷方法有定義法、圖象法等.總而言之，“分段函數(shù)分段解決”，其核心思想是分類討論.類型五函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性與周期性11a-1 0a【解析】由已知，得函數(shù)y=f在R上單調(diào)遞增，故滿足3a-40 (a R)，若函數(shù) f(x)在 R 上ex+a,x0,13D10)orf)0/(x)-x) = /(x)+/(2-x)-3 = x + x-l的小于霧稱點為-一r0 x2時，/l x) = (x-2j / (2-x) = 2-(2- = 4-,函數(shù)/(x)-g(x) = (x-2)3+4-x-3 = r-5x+5大于2的零點

16、為広二耳、綜上可得函數(shù)3.有關(guān)函數(shù)零點的結(jié)論有一個實根，.a = ex(xw0)，則K a0.(A) 2(B) 3(C)4(D)5【答案】A【解析】當(dāng)耳2*fiffi/(x)-2-|x| = 2+xJ/(2-.V)= xitOTffi數(shù)(疋)=2-|彳=2-斗/(2-x) = 2-y =f(x) g(x)的零點的個數(shù)為2.故選A.yyjfIk有兩個零點，則a 的取值范圍是()B.(a,0)C.( 1, 0)【答案】D【解1當(dāng) x0I 2十加2 =i.函數(shù)二- ：,則函數(shù):.i：11()2-x| = xfx)-gix-2-工+疋一3 = 1無零點蘭j1L【名師點1 函數(shù) y= f(x)的零點即方

17、程 f(x) = 0 的實根，易誤為函數(shù)點.2.由函數(shù) y= f(x)在閉區(qū)間a , b上有零點不一定能推出f(a) f(b)v0，如圖所示.所以 f(a) f(b)v0 是 y = f(x)在閉區(qū)間a , b上有零點的充分不必要條件.A.(a,1)例 2.已知函數(shù)的零點的個數(shù)為14(1) 若連續(xù)不斷的函數(shù) f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點.(2) 連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號.(3) 連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號.三、易錯易混辨析J(31)匕+牝)也七1.已知/顯 1= 亂是(8,+)上的減函數(shù)，那么a 的取值范圍

18、是 ()8gl)? C-,-)nii) 37 3?【錯解】誤選 B 項的原因只是考慮到了使得各段函數(shù)在相應(yīng)定義域內(nèi)為減函數(shù)的條件，要知上的最大值，多數(shù)考生易漏掉這一限制條件而造成失誤.【正解】據(jù)題意使原函數(shù)在定義域 R 上為減函數(shù)，只需滿足f3a-l m 在 D 上恒成立的充要條件是f(x)min m(2) 設(shè) f(x)在某個集合 D 上有最大值，m 為常數(shù)，則 f(x) m 在 D 上恒成立的充要條件是 f(x)max 0 x-，故函數(shù)/（X）的定義域為.vX1所以正確答案為B.4.(2017A. 2C.9【答案】(x0),則 f 9 =()B. 3D. 911 1 1/ f 9 = Iog

19、39 = 2,.f 9 = f( 2) = 3 = 9.【解析】5.下列函數(shù)中，在區(qū)間（一 1, 1）上為減函數(shù)的是（）AA、1A.y = 1 xC.y = ln（x + 1）B.y = cos xD.y = 2 x1【解析】Ty= 1 x 與 y = ln（x + 1）在（一 1, 1）上為增函數(shù)，且 y = cos x 在（一 1, 1）上不1具備單調(diào)性 A, B, C 不滿足題意.只有 y = 2 x = 2 在（1, 1）上是減函數(shù).yizy6.已知函數(shù) 在二上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對任意二-匚，都有的值是（）B. 82C . 80.7616皐.8.若函數(shù)-i- -的定義域為，則實數(shù)的取值

20、范圍是()A.(-2,2)B.(嚴(yán)廠2)U(2側(cè)c. Z 廠2U2,+oo|卜2,2【答案】D【解析】由題意知，對于任意.1 L 丄，二丨：匚二恒成立，則丄一丄 -一一： -.，解得一，故選 D.9.已知一；工是定義域為實數(shù)集丄：的偶函數(shù)，“ ，IL，若J，則0-4/(log“)3如果：-：，那么；的取值范圍為/|)=7.已知函數(shù)A TJ【答案】D2x,x 0X-加也.若/H+/(a)0，則必的取值范圍是()., C .一丄【解析】 依題意可得a0/ _ 2a +(-說)+ 2(迄)5 0或2(P)+ / 十2住W 0解得( )(吩)(A)【答案】【解析】(異)(B)-九兄，20, X曲，則

21、陽一無 3在Oj+co)上是減函數(shù)斤/(log ! I) /(I)8弓.的偶函數(shù),定義在實數(shù)集/(焜“)18二上1718logi x -7- X1.c -x2或.一E解得2或IX 3S, l2x2r0 x XVu= x2 在(,0)上遞減，在(0，+g)上遞增，故 f(x)在(g,0)上單調(diào)遞減.1 2 x 0三 ，若函數(shù)二_._為偶函數(shù)，則【答案】二(A)( 一了U一1)(B)(7 一1)(C)U ( D)(1【答案】【解析】由題意/(x) = -y(-x),K J卩-二所兒d-21+i)= o=b y(x)=n由- a2 -a2-12-a是 奇函數(shù)，則使 畑3成立的：的取值范圍為()2Jr

22、+lio.若函數(shù)rrr/(X)“13.設(shè)函數(shù)lX實數(shù)“的值為19g()=【解析】-ax-1-2g(F)“ax-2-x0-2 A 0一(la)xT0 - 2ax-I0 x2, JX-sr2函數(shù)一一- 是單函數(shù)；3若:為單函數(shù)，丨二 且Iy - 一 ；4函數(shù)：在定義域內(nèi)某個區(qū)間 丄上具有單調(diào)性，則，一定是單函數(shù).其中的真命題是（寫出所有真命題的編號）.【答案】14. 若函數(shù) f(x)(x R)是周期為 4 的奇函數(shù)，且在0 , 2上的解析式為 f(x)=x(1x),0 x1,2941sinnx, 1xw2, 則 f 4 + f 6 =_ .EQ * jc0 * Font:Calibri * hps

23、21 o(sup 9(5 【答案】16,EQ * jc0 * Font:Calibri *hps21 o(sup 9(5,16294137【解析】 由于函數(shù) f(x)是周期為 4 的奇函數(shù)，所以 f 4 + f 6 = f 4 + f 637373n5=f 4 + f 6 = f 4 f 6 = 16+ sin 6 = 16.15. 若函數(shù) 仙|八 2|4有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是_.【答案】 0i2【解析】由函數(shù) /W=|2K-2|-i 有兩個零點，可得 八有兩個不等的根，從而可得函數(shù)I 廠-函數(shù)匚的圖象有兩個交點，結(jié)合函數(shù)的圖象可得,0b2 ，故答時總有二L.!,則稱：為21【解析】若f(x) = x*-2x?則由/(嗎)=/(花)得電一2碼二好一2旳，即(可花X碼+乞-2) = 0解得廿口或西+可-2=0,所以不是單函數(shù).若亍則由的數(shù)團(tuán)象可矩當(dāng)2x.x 2Ifa=fg,時，西疋花，所以不是單函數(shù)根據(jù)單函數(shù)的走義可知，正確.在在走義域內(nèi)某 個區(qū)間 Q上具有里調(diào)性，卑在整個定義域上不一定里調(diào)所以不一定正確，比如函數(shù).故真命題為.x2+2x+a17 已知函數(shù) f(x) = x , x 1 ,+)且 a0 恒成立，試求實數(shù) a 的取值范圍.EQ * jcO * Font:Ca