簡單六方結(jié)構(gòu)二維光子晶體能帶的COMSOL模擬

1、簡單六方結(jié)構(gòu)二維光子晶體能帶的COMSOL模擬北京東之星應(yīng)用物理研究所伍勇1.引言COMSOL 攜帶的案例庫里，其中一篇 <Bandgap Analysis of a Photonic Crystal>( 以下簡稱 < Bandgap >) 對(duì)砷化鎵簡單正方格子 2D光子能帶進(jìn)行了完整計(jì)算和研究。本文將程序用于簡單六方結(jié)構(gòu)，并將結(jié)果在此做一介紹。2. 關(guān)于 Floquet ( 弗洛蓋） 波矢 kF這是入門COMSOL光子晶體能帶模擬的重要概念，在另一案例<PorousAbsorber> 中，在 Floquet 周期性邊界條件一段寫明：p( x )p( x d

2、 )e i ( k d ) 由此我判斷 Floquet 波矢就是 Bloch （布洛赫）波矢,但“幫助”文檔中有：kF k sin 1( a1 cos 2n a1 sin 2 ) ，以正格子基矢 a1 ,a2 表示（其文沒有任何幾何插圖和物理說明），使我決定必須在六方格子中選擇矩形單胞作為周期單元，以使計(jì)算機(jī)程序能夠運(yùn)行我的幾何方案。3.幾何建模圖 1 作為試探選擇的幾何模型， 圓形柱代表以 GaAs 作為格點(diǎn)材料，1 / 9在空氣介質(zhì)中周期性排列，形成二維六方結(jié)構(gòu)人造晶體。a 是晶格常數(shù)。a1 aa23a3aaia2 xb1a2a302a3 )2a1 ( a2b2a3a12a3 )a1 (

3、a2?z 是 z 方向的單位矢量圖1.六方格子光子晶體的矩形單胞以上根據(jù)倒格子基矢定義計(jì)算出 b1，b2 及其分量。由倒格子基矢 b1， b2 ，構(gòu)建長方格子的布里淵區(qū)也是長方結(jié)構(gòu)如圖 2：k yMKkx2 / 9圖2.六方結(jié)構(gòu)光子晶體的布里淵區(qū)4.二維光子晶體主方程COMSOL 在< Bandgap >“模型開發(fā)器 ”電磁波，頻域 寫出方程形式如下：r 1(E)k02 ( rj)E 0，0在< Bandgap > 中，下面目錄波方程，電 中直接簡化為，(E ) k02r E0電磁波在光子晶體中的傳播遵從麥克斯韋方程，上述方程可由麥克斯韋方程組出發(fā)導(dǎo)出介質(zhì)中的麥克斯韋方

4、程組D(1)B0(3)EB( 2 )H JDt( 4 )tDE ， BH ， JE在電介質(zhì)中一般認(rèn)為自由電荷，自由電流密度（電導(dǎo)率）為零。本文檔不考慮磁性質(zhì)，0 ， J0， r1傳 播 模態(tài) 電場(chǎng)函數(shù)COMSOL表達(dá)為：E( x, y, z,t )E( x, y )eik z zeit(5)，在周期結(jié)構(gòu)中，它應(yīng)具有Bloch 波的性質(zhì)，不考慮衰減損耗。注意這里次上標(biāo)的符號(hào)與我們習(xí)慣的教科書里正負(fù)符號(hào)相反。3 / 9由(2) 兩端取旋度，將（ 4）代入得：(E )2E絕緣介質(zhì)k 22，t 2k 222k02n2 ，0 r 0 rc2 r r0c， r 1n2折射率 nrrr，v0 0k 00 0

5、為真空波數(shù)，應(yīng)用（ 5），c0如期得到前面提到的 < Bandgap > 中的假設(shè)波方程：(E ) k02n2E0利用(E )(E )2 E2 EE 偏振時(shí)（又稱橫磁場(chǎng)模式 TM ）對(duì)應(yīng)的 二維光子晶體主方程 是：2222這里電場(chǎng)方(2y2 ) Ez( x, y ) n k0 Ez( x, y ) 0 ( 6 )x向平行于 z 軸，而磁場(chǎng)方向只分布在x-y 平面內(nèi)。二維光子晶體主方程( 6 )是計(jì)算光子能帶的出發(fā)點(diǎn)和源依據(jù)。5.折射率色散函數(shù) n(f )n( f )是 COMSOL 計(jì)算能帶的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，描述折射率隨頻率參量 f 的變化。格點(diǎn)材料砷化鎵的n( f )，在<

6、Bandgap > 有如下定義n_GaAs= 3.3285e5s/ m*c_const/f+3.5031，參變量 f, 單位 Hz；下限： 0，上限： 14 / 9c _ const299792458 m / s 表 示 真 空 光 速 ， 我 在 軟 件Mathematica上化簡這個(gè)函數(shù)，給出n _ GaAs3.50319.97884* 1013 / f ，并繪制圖 3 如下：1.210151.01015s8.01014AaG_14n6.0104.010142.010140.00.20.40.60.81.0f圖3.光子晶體 GaAs的折射率隨頻率的變化經(jīng) COMSOL 計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行

7、求解，得到 E 偏振情況下 2D 介質(zhì)（ GaAs) 光子晶體能帶結(jié)構(gòu)。6.光子能帶圖（選取能量最低的5 個(gè)能帶）(1) 沿布里淵區(qū)10 方向 (K)(圖2):(2) 沿布里淵區(qū)01 方向 (M ):5 / 9(1)(2)7. 電場(chǎng)傳播模態(tài) Z 分量 Ez( x, y ) 的平面圖 (1) 和高度圖 (2): A 10,band=1 （平移組合了 6 個(gè)單胞圖）6 / 9(1)(2)B01,band=57 / 9(1)(2)8.討論作者又在文獻(xiàn)“ Bandgap And Field Propagation Analysis UsingPhotonic Crystal”（InternationalJ ournal ofInnovativeResearch inComputer andCommunicationEngineeringAn ISO 3297: 2007 Certified Organization Vol.3, Special Issue 1, February 2015）中，看到晶體周期單元適合計(jì)算機(jī)運(yùn)行的相同本文的圖示:8 / 9受到啟發(fā)：計(jì)算機(jī)看自然可能不會(huì)拘于人類目光所決定的一種格式，晶體狀態(tài)也會(huì)有它本身具有的所有高低不同對(duì)稱性和不同的能量范圍的本征態(tài)。 AlphaGo人機(jī)大戰(zhàn)挑戰(zhàn)人類的思維。如果以往在試題中出現(xiàn)選擇矩形為六方晶格的布拉菲格子單胞的答案，一定