簡單六方結(jié)構(gòu)二維光子晶體能帶的COMSOL模擬

1、簡單六方結(jié)構(gòu)二維光子晶體能帶的COMSOL模擬北京東之星應(yīng)用物理研究所伍勇1.引言COMSOL 攜帶的案例庫里，其中一篇 <Bandgap Analysis of a Photonic Crystal>( 以下簡稱 < Bandgap >) 對砷化鎵簡單正方格子 2D光子能帶進行了完整計算和研究。本文將程序用于簡單六方結(jié)構(gòu)，并將結(jié)果在此做一介紹。2. 關(guān)于 Floquet ( 弗洛蓋） 波矢 kF這是入門COMSOL光子晶體能帶模擬的重要概念，在另一案例<PorousAbsorber> 中，在 Floquet 周期性邊界條件一段寫明：p( x )p( x d

2、 )e i ( k d ) 由此我判斷 Floquet 波矢就是 Bloch （布洛赫）波矢,但“幫助”文檔中有：kF k sin 1( a1 cos 2n a1 sin 2 ) ，以正格子基矢 a1 ,a2 表示（其文沒有任何幾何插圖和物理說明），使我決定必須在六方格子中選擇矩形單胞作為周期單元，以使計算機程序能夠運行我的幾何方案。3.幾何建模圖 1 作為試探選擇的幾何模型， 圓形柱代表以 GaAs 作為格點材料，1 / 9在空氣介質(zhì)中周期性排列，形成二維六方結(jié)構(gòu)人造晶體。a 是晶格常數(shù)。a1 aa23a3aaia2 xb1a2a302a3 )2a1 ( a2b2a3a12a3 )a1 (

3、a2?z 是 z 方向的單位矢量圖1.六方格子光子晶體的矩形單胞以上根據(jù)倒格子基矢定義計算出 b1，b2 及其分量。由倒格子基矢 b1， b2 ，構(gòu)建長方格子的布里淵區(qū)也是長方結(jié)構(gòu)如圖 2：k yMKkx2 / 9圖2.六方結(jié)構(gòu)光子晶體的布里淵區(qū)4.二維光子晶體主方程COMSOL 在< Bandgap >“模型開發(fā)器 ”電磁波，頻域 寫出方程形式如下：r 1(E)k02 ( rj)E 0，0在< Bandgap > 中，下面目錄波方程，電 中直接簡化為，(E ) k02r E0電磁波在光子晶體中的傳播遵從麥克斯韋方程，上述方程可由麥克斯韋方程組出發(fā)導(dǎo)出介質(zhì)中的麥克斯韋方

4、程組D(1)B0(3)EB( 2 )H JDt( 4 )tDE ， BH ， JE在電介質(zhì)中一般認為自由電荷，自由電流密度（電導(dǎo)率）為零。本文檔不考慮磁性質(zhì)，0 ， J0， r1傳 播 模態(tài) 電場函數(shù)COMSOL表達為：E( x, y, z,t )E( x, y )eik z zeit(5)，在周期結(jié)構(gòu)中，它應(yīng)具有Bloch 波的性質(zhì)，不考慮衰減損耗。注意這里次上標(biāo)的符號與我們習(xí)慣的教科書里正負符號相反。3 / 9由(2) 兩端取旋度，將（ 4）代入得：(E )2E絕緣介質(zhì)k 22，t 2k 222k02n2 ，0 r 0 rc2 r r0c， r 1n2折射率 nrrr，v0 0k 00 0

5、為真空波數(shù)，應(yīng)用（ 5），c0如期得到前面提到的 < Bandgap > 中的假設(shè)波方程：(E ) k02n2E0利用(E )(E )2 E2 EE 偏振時（又稱橫磁場模式 TM ）對應(yīng)的 二維光子晶體主方程 是：2222這里電場方(2y2 ) Ez( x, y ) n k0 Ez( x, y ) 0 ( 6 )x向平行于 z 軸，而磁場方向只分布在x-y 平面內(nèi)。二維光子晶體主方程( 6 )是計算光子能帶的出發(fā)點和源依據(jù)。5.折射率色散函數(shù) n(f )n( f )是 COMSOL 計算能帶的第二個關(guān)鍵點，描述折射率隨頻率參量 f 的變化。格點材料砷化鎵的n( f )，在<

6、Bandgap > 有如下定義n_GaAs= 3.3285e5s/ m*c_const/f+3.5031，參變量 f, 單位 Hz；下限： 0，上限： 14 / 9c _ const299792458 m / s 表 示 真 空 光 速 ， 我 在 軟 件Mathematica上化簡這個函數(shù)，給出n _ GaAs3.50319.97884* 1013 / f ，并繪制圖 3 如下：1.210151.01015s8.01014AaG_14n6.0104.010142.010140.00.20.40.60.81.0f圖3.光子晶體 GaAs的折射率隨頻率的變化經(jīng) COMSOL 計算機程序進行

7、求解，得到 E 偏振情況下 2D 介質(zhì)（ GaAs) 光子晶體能帶結(jié)構(gòu)。6.光子能帶圖（選取能量最低的5 個能帶）(1) 沿布里淵區(qū)10 方向 (K)(圖2):(2) 沿布里淵區(qū)01 方向 (M ):5 / 9(1)(2)7. 電場傳播模態(tài) Z 分量 Ez( x, y ) 的平面圖 (1) 和高度圖 (2): A 10,band=1 （平移組合了 6 個單胞圖）6 / 9(1)(2)B01,band=57 / 9(1)(2)8.討論作者又在文獻“ Bandgap And Field Propagation Analysis UsingPhotonic Crystal”（InternationalJ ournal ofInnovativeResearch inComputer andCommunicationEngineeringAn ISO 3297: 2007 Certified Organization Vol.3, Special Issue 1, February 2015）中，看到晶體周期單元適合計算機運行的相同本文的圖示:8 / 9受到啟發(fā)：計算機看自然可能不會拘于人類目光所決定的一種格式，晶體狀態(tài)也會有它本身具有的所有高低不同對稱性和不同的能量范圍的本征態(tài)。 AlphaGo人機大戰(zhàn)挑戰(zhàn)人類的思維。如果以往在試題中出現(xiàn)選擇矩形為六方晶格的布拉菲格子單胞的答案，一定