函數(shù)極限存條件教案.doc

1、函數(shù)極限存條件教案.doc 3 函數(shù)極限存在的條件 重點(diǎn)難點(diǎn) 1. 歸結(jié)原則也稱(chēng)為海涅定理, 它的意義在于把函數(shù)極限歸結(jié)為數(shù)列極限問(wèn)題來(lái)處理, 從而我們可以利用歸結(jié)原則和數(shù)列極限的有關(guān)性質(zhì)來(lái)證明上一節(jié)中所述的函數(shù)極限所有性質(zhì). 2. 單調(diào)有界定理是判定極限是否存在的一個(gè)重要原則, 同時(shí)也是求極限的一個(gè)有用的方法. 一般情形, 運(yùn)用單調(diào)有界定理研究變量極限時(shí), 需要首先利用單調(diào)收斂定理判定極限的存在性, 然后在運(yùn)用運(yùn)算法則求這個(gè)極限. 3. 柯西準(zhǔn)則是函數(shù)極限存在的充要條件. 函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則是以數(shù)列的柯西準(zhǔn)則為基礎(chǔ)的. 該準(zhǔn)則在數(shù)列極限、極限和廣義積分理論中, 占據(jù)了重要的地位.因此應(yīng)當(dāng)認(rèn)真

2、理解柯西準(zhǔn)則, 并能用柯西準(zhǔn)則討論某些比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題. 基本內(nèi)容 在討論數(shù)列極限存在條件時(shí)，我們?cè)虼蠹医榻B過(guò)判別數(shù)列極限存在的"單調(diào)有界定理'和"柯西收斂準(zhǔn)則'. 我們說(shuō)數(shù)列是特殊的函數(shù)，那么對(duì)于函數(shù)是否也有類(lèi)似的結(jié)果呢？或者說(shuō)能否從函數(shù)值的變化趨勢(shì)來(lái)判斷其極限的存在性呢？ 本節(jié)的結(jié)論只對(duì)0x x ® 這種類(lèi)型的函數(shù)極限進(jìn)行論述，但其結(jié)論對(duì)其它類(lèi)型的函數(shù)極限也是成立的。 首先介紹一個(gè)很主要的結(jié)果海涅(heine)定理（歸結(jié)原則）。 一、歸結(jié)原則 理 定理 3.8( 歸結(jié)原則) ) 設(shè) f 在 ( ) d ¢ ;00x u 內(nèi)有定義. (

3、 ) x fx x0lim®存在的充要條件是: 對(duì)任何含于 ( ) d ¢ ;00x u 且以0x 為極限的數(shù)列 nx , 極限 ( )nnx f¥ ®lim 都存在且相等. 分析 充分性的證法:只須證明,若對(duì)任意數(shù)列 nx ,且0lim x x nn=¥ ®,0x x n ¹ ,有( ) a x fnn=¥ ®lim ,則 ( ) a x fx x=®0lim .因?yàn)樵谝阎獥l件中,具有這種性質(zhì)的數(shù)列 nx 是任意的(當(dāng)然有無(wú)限多個(gè)),所以從已知條件出發(fā)直接證明其結(jié)論是困難的.這時(shí)可以考慮應(yīng)用反

4、證法.也就是否定結(jié)論,假設(shè) ( ) a x fx x¹®0lim ,根據(jù)極限定義的否定敘述,只要能構(gòu)造某一個(gè)數(shù)列 nx ,0lim x x nn=¥ ®,0x x n ¹ ,但是 ( ) a x fnn¹¥ ®lim ,與已知條件相矛盾.于是充分性得到證明. 注 注 1 歸結(jié)原則也可簡(jiǎn)述為 ( ) Û =®a x fx x0lim 對(duì)任何 ( ) ¥ ® ® n x x n0有 ( ) . lim a x fnn=¥ ® 注 注 2 雖然數(shù)列極限

5、與函數(shù)極限是分別獨(dú)立定義的,但是兩者是有聯(lián)系的.海涅定理深刻地揭示了變量變化的整體與部分、連續(xù)與離散之間的關(guān)系, 從而給數(shù)列極限與函數(shù)極限之間架起了一座可以互相溝通的橋梁.它指出函數(shù)極限可化為數(shù)列極限,反之亦然.在極限論中海 涅定理處于重要地位.有了海涅定理之后,有關(guān)函數(shù)極限的定理都可借助已知相應(yīng)的數(shù)列極限的定理予以證明.例如 若 ) 0 ( ) ( lim , ) ( lim0 0¹ = =® ®b b x g a x fx x x x, 則) ( lim) ( lim) () (lim000 x gx fx gx fx xx xx x®®&

6、#174;= . 證 已知 b x g a x fx x x x= =® ®) ( lim ) ( lim0 0與 ,根據(jù)海涅定理的必要性,對(duì)任意數(shù)列 nx ,且0lim x x nn=¥ ®,0x x n ¹ ,有 ( ) a x fnn=¥ ®lim , ( ) b x gnn=¥ ®lim .由數(shù)列極限的四則運(yùn)算,對(duì)任意數(shù)列 nx ,且0lim x x nn=¥ ®,0x x n ¹ ,有bax gx fnnn=¥ ®) () (lim .再根據(jù)海涅

7、定理的充分性,由) ( lim) ( lim) () (lim) () (lim000 x gx fbax gx fx gx fx xx xnnn x x®®¥ ® ®= = = . 注 注 3 3 海涅定理除上述重要的理論意義外, 它還為證明某些函數(shù)極限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一個(gè)以0x 為極限的數(shù)列 nx ,使 ( )nnx f¥ ®lim 不存在,或找到兩個(gè)都以0x 為極限的數(shù)列 nx¢與 nx¢ ¢,使 ) " ( limnnx f¥ ®與 )

8、( limnnx f ¢ ¢¥ ®都存在而不相等,則 ) ( lim0x fx x®不存在. 例 例 1 1 證明極限xx1sin lim0 ®不存在. 函數(shù)xy1sin = 的圖象如圖3-4 所示,由圖象可見(jiàn),當(dāng) 0 ® x 時(shí),其函數(shù)值無(wú)限次地在-1 與 1 的范圍內(nèi)振蕩,而不趨于任何確定的數(shù). 對(duì)于 +¥ ® ® ®- +x x x x x , ,0 0和 -¥ ® x 為四種類(lèi)型的單側(cè)極限,相應(yīng)的歸結(jié)原則可表示為更強(qiáng)的形式.現(xiàn)以+®0x x 這種類(lèi)

9、型為例闡述如下： 理 定理 3.9 設(shè)函數(shù) f 在點(diǎn)0x 的某空心右鄰域 ) (00x u + 有定義. a x fx x=+®) ( lim0的充要條件是：對(duì)任何以0x 為極限的遞減數(shù)列 ) (0x u x no+Ì ,有a x fnn=¥ ®) ( lim . 注 注 5 5 定理 3.9 充分性的證明可參照第二章第三節(jié)例 3 及定理 3.8 的證明.例如可取 , min0 1x xnn n- =-dd ,以保證所找到的數(shù)列 nx 能遞減的趨于0x . 二、單調(diào)有界定理 相應(yīng)于數(shù)列極限的單調(diào)有界定理,關(guān)于上述四類(lèi)單側(cè)極限也有相應(yīng)的定理.現(xiàn)以+

10、4;0x x 這種類(lèi)型為例敘述如下： 定理 3.10 設(shè) f 為定義在 ) (00x u + 上的單調(diào)有界函數(shù),則右極限 ) ( lim0x fx x+®存在. 注 注 6 (1)設(shè) f 為定義在 ) (00x u + 上的有界函數(shù).若 f 遞增,則 ) ( inf ) 0 () (000x f x fx u x+Î= + ;若 f 遞減,則 ) ( sup ) 0 () (000x f x fx u x+Î= + . (2) 設(shè) f 為定義在 ) (00x u 上的遞增函數(shù),則 ) ( sup ) 0 () (000x f x fx u x-Î= -

11、, ) ( inf ) 0 () (000x f x fx u x+Î= + . 三 三 函數(shù)極限的 柯西 收斂準(zhǔn)則 定理 3.11( 柯西準(zhǔn)則) ) 設(shè)函數(shù) f 在 ) " ; (0d x uo內(nèi)有定義. ) ( lim0x fx x®存在的充要條件是：任給 0 > e ,存在正數(shù) ) " ( d d < ,使得對(duì)任何 ) ; ( , "0d x u x xoÎ ¢ ¢ 有 e < ¢ ¢ - ) ( ) " ( x f x f . 分析 充分性的證明可以利用數(shù)列極

12、限的柯西準(zhǔn)則和函數(shù)極限與數(shù)列極限的橋梁海涅定理來(lái)證.分兩步：1)對(duì)任何以0x 為極限的數(shù)列 ) ; (0d x u x noÌ , 數(shù)列 ) (nx f 的極限都存在; 2)證明對(duì)任何以0x 為極限的數(shù)列 ) ; (0d x u x noÌ ,數(shù)列 ) (nx f 的極限都相等. 注 注 7 可以利用柯西準(zhǔn)則證明函數(shù)極限 ) ( lim0x fx x®的不存在: 設(shè)函數(shù) f 在 ) " ; (0d x uo內(nèi)有定義. ) ( lim0x fx x® 不存在的充要條件是：存在 00> e ,對(duì)任意正數(shù) ) " ( d d <

13、 ,存在 ) ; ( , "0d x u x xoÎ ¢ ¢ , 有0) ( ) " ( e ³ ¢ ¢ - x f x f . 如在例 1 中我們可取210= e ,對(duì)任何 0 > d ,設(shè)正整數(shù)d1> n ,令 21,1"ppp+= ¢ ¢ =nxnx , 則有 ) ; 0 ( , " dou x x Î ¢ ¢ ,而011sin"1sin e > =¢ ¢-x x于是按柯西準(zhǔn)則,極限xx1si

14、n lim0 ®不存在. 小結(jié) 1. 證明函數(shù)極限存在或求函數(shù)極限的方法. (1) 用定義證明函數(shù)極限的方法且 a x f = ) ( lim ,尤其是分段函數(shù)的分段點(diǎn). (2) 用柯西收斂準(zhǔn)則證明函數(shù)極限存在. (3) 用迫斂性證明函數(shù)極限存在并求得極限值. (4) 用海涅歸結(jié)原理證明函數(shù)極限存在并求得極限值. (5) 用四則運(yùn)算法則及一些熟悉的極限求值. (6) 對(duì)于單側(cè)極限,單調(diào)有界定理可證得極限存在. 2. 證明函數(shù)極限不存在的主要方法: (1) 利用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)極限不存在, (2) 利用函數(shù)極限與單側(cè)極限的關(guān)系證明函數(shù)在某點(diǎn)不存在極限.特別對(duì)分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極

15、限. (3) 利用海涅歸結(jié)原理證明函數(shù)極限不存在. (4) 利用柯西收斂準(zhǔn)則證明函數(shù)極限不存在. 4 兩個(gè)重要的極限 重點(diǎn)難點(diǎn) 利用兩個(gè)重要極限, 可推出一些基本結(jié)果: 1tanlim0=®xxx 1arctanlim0=®xxx 21 cos 1lim20=-®xxx ( ) e x xx= +®101 lim 1) 1 ln(lim0=+®xxx ) 0 ( ln1lim0> =-®a axaxx 又可利用復(fù)合函數(shù)極限的方法, 可得 (1) 若 0 ) ( lim0=®tt tj , 且當(dāng)0t t ¹ 時(shí)

16、 0 ) ( ¹ t j , 則 1) () ( sinlim0=®ttt tjj. (2) 若 ¥ =®) ( lim0tt tj , 則 ettt t= +®) () (11 ( lim0jj. 基本內(nèi)容 一 為什么稱(chēng)為"兩個(gè)重要極限'? 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是數(shù)學(xué)分析中最基本最重要的運(yùn)算, 而導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)是基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.其中求三角函數(shù) x y sin = 的導(dǎo)數(shù)公式必須使用極限 1sinlim0=®xxx,求對(duì)數(shù)函數(shù)x yalog = 的導(dǎo)數(shù)公式必須使用極限 e yxyyxx= + = +® 

17、5; ®10) 1 ( lim )11 ( lim .因?yàn)檫@兩個(gè)極限在求這兩個(gè)初等超越函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)是不能缺少的,所以通常把這兩個(gè)極限稱(chēng)為重要極限. 二 1sinlim0=®xxx的證明 函數(shù)xxysin= 的圖象如圖 3-5 所示. 三 1sinlim0=®xxx的應(yīng)用 例 例 1 1 試求下列極限 1) xxx-®ppsinlim , 2) 20cos 1limxxx-® , 3) xxx1sin lim0 ® 注 注 1 注意變量的趨向是非常重要的. 四 證明 exxx= +®¥)11 ( lim 以 后 還

18、常 用 到 e 的 另 一 種 極 限 形 式 ： ( ) e = +®aaa101 lim . 問(wèn)題: 為什么在推導(dǎo)過(guò)程中不直接利用不等式 ) 1 ( ,11111111+ < £ ÷øöçèæ+ £ ÷øöçèæ+ < ÷øöçèæ+n x nn x nn x n, 其中令 ¥ ® n , 由 =÷øöç

19、2;æ+¥ ®nnn 111 lim ennn= ÷øöçèæ+¥ ®111 lim 得到 exxx= +¥ ®)11 ( lim ? 五 exxx= +®¥)11 ( lim 的應(yīng)用 例 例 2 2 求 ( ) xxx102 1 lim +® 例 例 3 3 求 ( ) xxx101 lim -® 結(jié)合海涅歸結(jié)原則以及重要極限,我們可以求一些比較復(fù)雜的數(shù)列極限. 例 例 4 求下列數(shù)列極限: 1) nnn n÷&#

20、248;öçèæ- +¥ ®21 11 lim , 2) nnn1sin lim¥ ®. . 5 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量 重點(diǎn)難點(diǎn) 1.比較兩個(gè)無(wú)窮小量的階, 就是比較它們趨于零的速度, 無(wú)窮小量的階越高,說(shuō)明它趨于零的速度就越快. 2.利用等價(jià)無(wú)窮小量是一種計(jì)算極限非常有效且簡(jiǎn)便的方法, 應(yīng)該熟記常用等價(jià)代換公式. 3.若) () (lim0 x gx fx x®不存在, 則不能比較 f 與 g 的階. 基本內(nèi)容 一 無(wú)窮小量、無(wú)窮大量、有界量 1. 無(wú)窮小量 義 定義 1 1 設(shè) f 在某 ) (0x u

21、o內(nèi)有定義,若 0 ) ( lim0=®x fx x,則稱(chēng) f 為 當(dāng)0x x ® 時(shí)的無(wú)窮小量. 類(lèi)似地定義當(dāng) -¥ ® +¥ ® ® ®- +x x x x x x , , ,0 0以及 ¥ ® x 時(shí)的無(wú)窮小量. 例 例 1 1 當(dāng) 0 ® x 時(shí), x x sin ,2與 x cos 1- 都是無(wú)窮小量. 例 例 2 x - 1 是當(dāng)-®1 x 時(shí)的無(wú)窮小量, 21x,xx sin為 ¥ ® x 時(shí)的無(wú)窮小量. 由無(wú)窮小量及極限的定義或極限四則運(yùn)算

22、定理, 可立刻推得如下性質(zhì)： 1) 兩個(gè)(相同類(lèi)型的)無(wú)窮小量之和、差、積仍為無(wú)窮小量. 問(wèn)題: : 兩個(gè)（相同類(lèi)型的）無(wú)窮小量之商是否仍為無(wú)窮小量？ 2) 極限 a x fa x=®) ( lim 存在 Û a x f - ) ( 是當(dāng) a x® 時(shí)的無(wú)窮小量. 注 注 1 1 "無(wú)窮小量'這個(gè)術(shù)語(yǔ), 并不是表達(dá)量的大小, 而是表達(dá)它的變化狀態(tài), 它與"很小的量'或"可以忽略不計(jì)'這些術(shù)語(yǔ)有本質(zhì)的區(qū)別, 后者皆指一個(gè)確定的數(shù)值, 而"無(wú)窮小量'是一個(gè)以零為極限的變量, 因此與自變量的變化過(guò)程

23、有關(guān). 2. 無(wú)窮大量 義 定義 2 設(shè)函數(shù) f 在某 ( )0x u o 內(nèi)有定義,若對(duì)任給的 0 > g ,存在 0 > d ,使得當(dāng)( ) ( ) ( )0000; x u x u x Ì Î d 時(shí)有 ( ) g x f > , (2) 則稱(chēng)函數(shù) f 當(dāng)0x x ® 時(shí)有 非正常極限 ¥ ,記作 ( ) ¥ =®x fx x0lim . 關(guān)于函數(shù) f 在自變量 x 的其它不同趨向的非正常極限的定義,以及數(shù)列 na 當(dāng) ¥ ® n時(shí)的非正常極限的定義,都可類(lèi)似地給出. 定義 3 3 對(duì)于自變

24、量 x 的某種趨向(或 ¥ ® n ),所有以 ¥ - +¥ ¥ 或 , 為非正常極限的函數(shù)(包括數(shù)列),都稱(chēng)為 無(wú)窮大量. 例 例 3 3 證明 +¥ =®201limxx. 例 例 4 證明：當(dāng) 1 > a 時(shí), . lim +¥ =+¥ ®xxa 注 注 2 2 無(wú)窮大量不是很大的數(shù),而是具有非正常極限的函數(shù).如由例 3 知21x是當(dāng) 0 ® x時(shí)的無(wú)窮大量,由例 4 知 ) 1 ( > a a x 是當(dāng) +¥ ® x 時(shí)的無(wú)窮大量. 根據(jù)無(wú)窮大量

25、的定義,無(wú)窮大量有以下性質(zhì): 1) 兩個(gè)(相同類(lèi)型的)無(wú)窮大量之積仍為無(wú)窮大量. 問(wèn)題: : 兩個(gè)（相同類(lèi)型的）無(wú)窮大量之和、差、商是否仍為無(wú)窮大量？ 3) 若函數(shù) ) (x f ( a x® )是無(wú)窮大量, 函數(shù) ) (x g 在 a 的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有界, 則 ) ( ) ( x g x f + 函數(shù)為 a x® 時(shí)的無(wú)窮大量. 3. 有界量 義 定義 4 若函數(shù) g 在某 ) (0x uo內(nèi)有界,則稱(chēng) g 為 當(dāng)0x x ® 時(shí)的有界量. 例如 x sin 是當(dāng) ¥ ® x 時(shí)的有界量,x1sin 是當(dāng) 0 ® x 時(shí)的有界量.

26、 關(guān)于無(wú)窮小量、無(wú)窮大量、有界量需注意以下幾個(gè)問(wèn)題: 注 注 3 3 不論是無(wú)窮小量、無(wú)窮大量還是有界量, 必須注明自變量 x 的變化趨勢(shì). 例如, 當(dāng) 0 ® x 時(shí), x1是無(wú)窮大量, 但當(dāng) ¥ ® x 時(shí)卻是無(wú)窮小量; x sin 是當(dāng) 0 ® x 時(shí)是無(wú)窮小量, 當(dāng)2p® x 時(shí)不是無(wú)窮小量, 而只能是有界量. 注 注 4 不論是無(wú)窮小量、無(wú)窮大量還是有界量, 都不是數(shù), 而是具有某種狀態(tài)(極限為 0,具有非正常極限,有界)的函數(shù). 注 注 5 任何無(wú)窮小量也必是同一狀態(tài)下的有界量, 反之不成立. 例如 x x f sgn ) ( =

27、. 任何無(wú)窮大量也必是同一狀態(tài)下的無(wú)界函數(shù), 但無(wú)界函數(shù)不一定是無(wú)窮大量. 例如x x x f sin ) ( = 在 ) (+¥ u 上無(wú)界,因?qū)θ谓o的 , 0 > g 取 ,22pp + = n x 這里正整數(shù) ,2 pgn >則有 g n n n x f > + = + + =22 )22 sin( )22 ( ) (pppppp . 但 , ) ( lim ¥ ¹+¥ ®x fx因若取數(shù)列 ), , 2 , 1 ( 2 l = = n n x n p 則 ), ( ¥ ® +¥ ®

28、; n x n 而 0 ) ( lim =+¥ ®nnx f . 注 注 6 若函數(shù) ) (x f ( a x® )是無(wú)窮小量, 函數(shù) ) (x g ( a x® )為有界量, 則函數(shù)) ( ) ( x g x f 為 a x® 時(shí)的無(wú)窮小量. 例如,當(dāng) 0 ® x 時(shí),2x 是無(wú)窮小量,x1sin 為有界量,故由性質(zhì) 2 即得 01sin lim20=®xxx 函數(shù)xx y1sin2= 的圖象如圖 3-6 所示. 注 注 7 無(wú)窮大量和無(wú)窮小量在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化. (i) 設(shè) f 在 ) (00x u 內(nèi)有定義且不等

29、于 0. 若 f 在0x x ®時(shí)的無(wú)窮小量,則f1為0x x ® 時(shí)的無(wú)窮大量. (ii) 若 g 為0x x ® 時(shí)的無(wú)窮大量,則g1為0x x ® 時(shí)的無(wú)窮小量. 因此, 對(duì)無(wú)窮大量的研究可歸結(jié)為對(duì)無(wú)窮小量的討論. 二 無(wú)窮小量階的比較 我們知道, 當(dāng) 0 x ® 時(shí), 3 2 , x x x 都是無(wú)窮小量, 但它們趨近于零的速度是不同的,為了比較同一變化過(guò)程中兩個(gè)無(wú)窮小量趨近于零的速度, 下面給出無(wú)窮小量的階的概念. 1. 無(wú)窮小量階的比較 設(shè)當(dāng)0x x ® 時(shí), f 與 g 均為無(wú)窮小量. 1) 若 0) () (lim0=

30、®x gx fx x, 則稱(chēng)當(dāng)0x x ® 時(shí) f 為 g 的 高階無(wú)窮小量, 或稱(chēng) g 為 f 的 低階無(wú)窮小量,記作 ) )( ( ( ) (0x x x g o x f ® = . 特別, f 為當(dāng)0x x ® 時(shí)的無(wú)窮小量記作 ) )( 1 ( ) (0x x o x f ® = . 例如,當(dāng) 0 ® x 時(shí),nx x x , , ,2l ( n 為正整數(shù))等都是無(wú)窮小量,因而有 , , 2 , 1 ), 0 )( 1 ( l = ® = k x o x k 而且它們中后一個(gè)為前一個(gè)的高階無(wú)窮小量,即有 ) 0 )(

31、 (1® =+x x o xk k. 又如,由于 02tan limsincos 1lim0 0= =-® ®xxxx x 故有 ) 0 )( (sin cos 1 ® = - x x o x . 2) 若存在正數(shù) k 和 l ,使得在某 ) (0x uo上有 ,) () (lx gx fk £ £ 則稱(chēng) f 與 g 為當(dāng)0x x ® 時(shí)的 同階無(wú)窮小量, 特別當(dāng) 0) () (lim0¹ =®cx gx fx x 時(shí), f 與 g 必為同階無(wú)窮小量. 特別地, 若無(wú)窮小量 f 與 g 滿(mǎn)足關(guān)系式 ( )

32、( )( ) , ,0x u x lx gx foÎ £ 則記作 ( ) ( ) ( )( )0x x x g o x f ® = 若 f 在某 ( )00x u 內(nèi)有界,則記為 ( ) ( )( )01 x x o x f ® = 注 注 8 本段中的等式 ( ) ( ) ( )( )0x x x g o x f ® = 與 ( ) ( ) ( )( )0x x x g o x f ® = 等,與通常等式的含義是不同的.這里等式左邊是一個(gè)函數(shù),右邊是一個(gè)函數(shù)類(lèi),而中間的等號(hào)的含義是"屬于'. 例如,前面已經(jīng)得到 (

33、 )( ) , 0 sin cos 1 ® = - x x o x (1) 其中 ( )( ), 0sinlim sin0þýüîíì= =®xx ff x ox 等式(1)表示函數(shù) x cos 1- 屬于此函數(shù)類(lèi). 3) 若( )( )1 lim0=®x gx fx x, 則稱(chēng) f 與 g 是當(dāng)0x x ® 時(shí)的 等 價(jià)無(wú)窮小量,記作 ( ) ( )( )0 x x x g x f ® 注 注 9 9 并不是任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可以進(jìn)行這種階的比較. 2. 等價(jià)無(wú)窮小量在求極限問(wèn)題中的

34、應(yīng)用. 定理 3.12 設(shè)函數(shù) h g f , , 在 ( )00x u 內(nèi)有定義,且有 ( ) ( )( )0 x x x g x f ® (i) 若 ( ) ( ) a x h x fx x=®0lim ,則 ( ) ( ) a x h x gx x=®0lim ； ( ii) 若( )( )bx fx hx x=®0lim , 則( )( )bx gx hx x=®0lim . 例 例 5 5 求 xxx4 sinarctanlim0 ®. 例 例 6 6 利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限 30sinsin tanlimxx xx-&

35、#174;. 注 注 10 在利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限時(shí),應(yīng)注意：只有對(duì)所求極限式中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替代,而對(duì)極限式中的相加或相減部分則不能隨意替代.如在例2 中,若因有 ( ) ( ) 0 sin , 0 tan ® ® x x x x x x , 而推出 0sinlimsinsin tanlim3030=-=-® ®xx xxx xx x 則得到的是錯(cuò)誤的結(jié)果 問(wèn)題: : 討論無(wú)窮小有什么意義? 三 曲線(xiàn)的漸近線(xiàn) 引例: 由平面解析幾何知道,雙曲線(xiàn) 12222= -byax有兩條漸近線(xiàn) 0 = ±byax(圖 37).

36、 那么，什么是漸近線(xiàn)呢？它有何特征呢？怎樣來(lái)求一般曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)? 一般地,曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)定義如下： 義 定義 4 4 若曲線(xiàn) c 上的 p 沿著曲線(xiàn)無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),點(diǎn) p 與某定直線(xiàn) l 的距離趨于0,則稱(chēng)直線(xiàn) l 為曲線(xiàn) c 的 漸近線(xiàn)(圖 38). 曲線(xiàn) ( ) x f y = 在什么條件下存在 斜漸近線(xiàn) b kx y + = 與 垂直漸近線(xiàn)0x x = ,以及怎樣求出漸近線(xiàn)方程. 由 ( )kxx fx=+¥ ®lim , ( ) b kx x fx= -+¥ ®lim 確定常數(shù) k 與 b , 則 b kx y + = 就是曲線(xiàn) ( ) x f

37、y = 的 斜漸近線(xiàn). 若函數(shù) f 滿(mǎn)足 ( ) ¥ =®x fx x0lim (或 ¥ = ¥ =- +® ®) ( lim , ) ( lim0 0x f x fx x x x), 則曲線(xiàn) ( ) x f y = 有垂直于 x 軸的漸近線(xiàn)0x x = ,稱(chēng)為 垂直漸近線(xiàn). 例 例 7 7 求曲線(xiàn)3 2) (23- +=x xxx f 的漸近線(xiàn). 第三章 由于自變量的變化趨勢(shì)不同, 所以函數(shù)極限有如下不同的類(lèi)型. 類(lèi)型 定 義 a x fx=+¥ ®) ( lim 對(duì) 0 > " e 0 > $m 當(dāng) m x > 時(shí) 有 e < - | ) ( | a x f a x fx=-¥ ®) ( lim 對(duì) 0 > " e 0 > $m 當(dāng) m x - < 時(shí) 有 e < - | ) ( | a x f a x fx=¥ ®) ( lim 對(duì) 0 > " e 0 > $m 當(dāng) m x > | | 時(shí)