二次函數(shù)知識點及典型例題

1、二次函數(shù)知識點及典型例題21 / 174、二次函數(shù)的幾何變換二次函數(shù):、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)(I ) y=a(x h) 2+k (a 0)的圖象和性質(zhì)分析式a>0Y=ax2+ky=a(x h) 2y=a(x h) 2+k圖象a<0特色極點在原點極點在y軸上張口方向a>0,張口向上；av0 張口向下同前形狀a iw樣 拋物線 的形狀大小同樣.察越大，張口越小a 越小，張口越大.同前極點坐標(biāo)(0, 0)(0, k)極點在x軸上pita.If-同前同前同前同前.(h, 0)(h, k)對稱軸直線x=h直線x=h函數(shù)最值若 a>0 ,y有最小值是若 a<0 ,當(dāng)x=00.

2、當(dāng)x=0時,時,若a>0,當(dāng)y有最小值是若a<0,當(dāng)x=0k.x=0時,時,若a>0 ,當(dāng)x=h時, y有最小值是0.若a<0 ,當(dāng)x=h時，若 時,k.若a>0 ,當(dāng) x=hy有最小值是a<0 ,當(dāng) x=hy有最大值是0.y有最大值是k.y有最大值是0.時，y有最大值是 k.增減性若 a>0 ,當(dāng) xw 0 時，y隨x的增大而減 小，當(dāng)x>0時，y隨x 的增大而增大 .若 a<0 ,當(dāng) x< 0 時，y隨x的增大而增 大，當(dāng)x>0時，y隨x 的增大而減小.同前若 a>0 ,當(dāng) xw h 時，y隨x的增大而 減小，當(dāng)x&g

3、t;h時，y 隨x的增大而增大.若 a<0 ,當(dāng) x< h 時，y隨x的增大而 增大，當(dāng)x>h時，y 隨x的增大而減小.同前平移y=ax2+k的圖象是 由y=ax2的圖象沿y 軸向上或向下平移k|個單位獲取的，k為正向上，k為負(fù)向 下.y=a(x h) 2的圖象是 由y=ax2的圖象沿x 軸向左或向右平移|h|個單位獲取的，h 為正向右，h為負(fù)向 左.y=a(x h) 2+k 的圖象 是由y=ax2的圖象沿 x軸向左或向右平移h個單位，h為正向 右，h為負(fù)向左；再 沿直線x=h向上或 向下平移| k個單 位，k為正向上，k 為負(fù)向下獲取的.(n ) y=ax2+bx+c (a

4、 0)的圖象和性質(zhì)/圖象a>0飛/a<03VO 1x/I 1.張口方向a>0,張口向上a<0,張口向下2.形狀a忖樣拋物線的形狀大小同樣.出ia越大，張口越小；a越小，張口越大.3.極點坐標(biāo)b 4ac b2(,)2a4a4.對稱軸b直線x2a5.函數(shù)最值，一fb右a>0，當(dāng)x時，y有最小值是22a4ac b /，一fb右a<0 ,當(dāng)x:時，y有最大值是22a4ac b /4a4a6.增減性b右a>0，當(dāng)xR時，y隨x的增大而2a減??；當(dāng)x七-時，y隨x的增大而增2a大.b右a<0 ,當(dāng)x 時，y隨x的增大而增 2ab大；當(dāng)x一時，y隨x的增大而減

5、小.2a7.與坐標(biāo)軸的 交點坐標(biāo)與x軸交點坐標(biāo) >0與x軸有兩個公共點(xi, 0), (x2, 0); =0與x軸有一個公共點(,0);2a <0 與x軸沒有公共點.與y軸交點坐標(biāo)(0, c)a確立張口方向和張口大小 .a、b共同確立對稱軸地點：a, b同號對稱軸在 y軸左邊；a, b 異號對稱軸在 y軸右邊；b=0y ax 2 c對稱軸是 y軸.c確立與y軸父點地點： c>0 與y軸父點在y軸正半軸；c<0與y軸父點在y軸負(fù)半軸；c=0y ax 2 bx拋物線過原點.與x軸公共點個數(shù)：>0 與x軸有兩個公共點 （x1 , 0），（x 2, 0） ; =0與x軸

6、有一個公共點（ 上，0） ； <0與x軸沒有公共點.2a特別地a+b+c=0圖象過點（1,0）; a- b+c=0 圖象過點（-1, 0）、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的分析式1、一般式：y ax2 bx c .已知圖像上三點或三對 x、y的值，往常選擇一般式2、極點式：y a x h 2 k .已知圖像的極點或?qū)ΨQ軸，往常選擇極點式。3、交點式：已知圖像與x軸的交點橫坐標(biāo) xi、x2 ,往常采用交點式：y a x xi x x24、極點在原點，可設(shè)分析式為y=ax2。25、對稱軸是y軸（或許極點在 y軸上），可設(shè)2分析式為 y= ax +c。6、極點在x軸上，可設(shè)分析式為 y a x h 。7

7、、拋物線過原點，可設(shè)分析式為 y=ax2+bx四、拋物線的對稱性1、拋物線與x軸有兩個交點（xi, 0） （x2, 0）,則對稱軸為x= x 1 x 2 o22、拋物線上有不一樣的兩個交點（m, a） （n, a）則對稱軸為x=mn。22 b3、拋物線y ax2 bx c （ aw 0）與y軸交點對于對稱軸的對稱點為 （，c）。a五、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系對于拋物線y ax 2 bx c (aw0),令y=0,即為一元二次方程 ax 2 bx c 0 ,元二次方程的解就是二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)。要分三種狀況:1、0拋物線與x軸有兩個不一樣的交點(2、3、八、(-b - , b 2 4

8、ac0)2a鑒另1式 =b2-4ac=02鑒別式= b -4應(yīng)0b有韋達(dá)定理可知 x1+x2 = -_a拋物線與x軸有一個交點拋物線與x軸無交點。二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系ax 2bx2a1、a>0: (1)c>0的解集為:x<x 或 x >x (2)ax2ax 2bxc<0的解集為:bx2、a<0:(1)c>0的解集為:(2)ax2bxc<0的解集為:2且jl-b b 4ac , 0)2acx2=_oaxKx<x2 (xi<x2)x < x< x (xx<x1 或 x>x2(xkx2)。七、二次函數(shù)的應(yīng)用

9、1、面積最值問題。2、長度、高度最值問題。3、利潤最大化問題。4、利用二次函數(shù)求近似解例1、拋物線y ax 2 bx c與直線y ax c在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像大概是B,C.D.2也L2、已知二次函數(shù) y=-x +bx-8的最大值為8,則b的值為 ()A、8B、-8C、16D、8 或-8鯉3已知一拋物線與x軸的交點是A (-2,0 ) B (1,0 )且經(jīng)過點C (2,8 )(1)求該拋物線的分析式；(2)求該拋物線的極點坐標(biāo)、2丁212- 5姆4.已知二次函數(shù)y=3 (x- 1) +k的圖象上有三點 A (" , y ) , B ( 2, y ) , C (“y3 ),則y1

10、、y2、平的大小關(guān)系為。2綱=5、把拋物線y=x +bx+c的圖象先向右平移 3個單位，再向下平移 2個單位，所得2的圖象分析式是 y= x -3x+5,貝1J a+b+c=例6一次函數(shù)Y=kx+b的圖像與x軸和y軸分別交于 A (-8,0 )和點B (0,4 ),線段AB垂直均分線CD交x軸與點C交于AB于點D,求：1、確立直線AB的分析式2、求過A、B、C三點的拋物線分析式3、拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)有最大值仍是最小值當(dāng)X等于幾時，相應(yīng)的最大值或最小值是多少例7已知拋物線與 x軸交于點A (-2 , 0) , B (4, 0),與y軸交于點C (0, 8).拋 物線極點為D,直線CD交x軸于點

11、E,過點B做x軸的垂線交直線CD于點F(1)求拋物線的分析式及其極點 D的坐標(biāo);(2)求直線CD的分析式(3)在線段BF上能否存在點P,使得P到直線CD的距離等于點P到原點O的距 離。假如存在，求出點P坐標(biāo)。22例8 (2013?永州)如圖，已知二次函數(shù) y= (x- m) - 4m ( m> 0)的圖象與 x軸交于A、B兩點。(1)寫出A、B兩點的坐標(biāo)(坐標(biāo)用 m表示)；(2)若二次函數(shù)圖象的極點 P在以AB為直徑的圓上，求二次函數(shù)的分析式；(3)設(shè)以AB為直徑的。M與y軸交于C、D兩點，求CD的長.例9、(2010常德)如圖，已知拋物線 y= x J+bx+c與x軸交于點A ( -4

12、 , 0)和B (1,20)兩點，與y軸交于C點.(1)求此拋物線的分析式；(2)設(shè)E是線段AB上的動點，作EF /AC交BC于F,連結(jié)CE,當(dāng) CEF的面積是 BEF面積的2倍時，求E點的坐標(biāo)；(3)若P為拋物線上A、C兩點間的一個動點，過P作y軸的平行線，交AC于Q,當(dāng)P 點運動到什么地點時，線段 PQ的值最大，并求此時P點的坐標(biāo).例10、(1)已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c ( a# 0)的圖象如下圖，有以下結(jié)論： b2-4ac> 0; abc> 0; 8a+c>0; 9a+3b+c < 0 止匕中,正確的結(jié)論是(2)已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c (a*

13、0)的圖象如下圖，有以下5個結(jié)論: abc> 0; be a+c; 4a+2b+c > 0; 2c< 3b; a+b > m ( am+b) , ( m w 1 的實數(shù)).此中正確的結(jié)論有 (填序號)(3) ( 2013浙江義烏) 如圖，拋物線y =ax2 + bx +c與x軸交于點A(- 1,0),極點 坐標(biāo)為(1 , n)，與y軸的交點在(0 ,2)、(0 , 3)之間(包括端點)，則以下結(jié)論：當(dāng) x>3時，y< 0;3a + b> 0;1 WaW-;3<n<4中，正確的選項是 ).(3A.B,C .D.例11、(2005?綿陽)有一個

14、拋物線形的拱形地道，地道的最大高度6m,跨度為8m,把它放在如下圖的平面直角坐標(biāo)系中.(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若要在地道壁上點 P (如圖)安裝一盞照明燈，燈離地面高. 求燈與點B的距離.例12、 (2012?嘉興)某汽車租借企業(yè)擁有20輛汽車.據(jù)統(tǒng)計，當(dāng)每輛車的日租金為400元時，可所有租出；當(dāng)每輛車的日租金每增添50元，未租出的車將增添 1輛；公司均勻每天的各項支出共4800元,設(shè)企業(yè)每天租出x輛車時，日利潤為 y元.(日收益=日租金收入一均勻每天各項支出) (1)企業(yè)每天租出x輛車時，每輛車的日租金為 元(用含x的代數(shù)式 表示)；(2)當(dāng)每天租出多少輛時，租借企業(yè)日利

15、潤最大最大是多少元(3)當(dāng)每天租出多少輛時，租借企業(yè)的日利潤不盈也不虧例13、如圖，地道的截而由拋物線AED和矩形ABCD組成，矩形的長 BC為8m,寬AB 為2m,以BC所在的直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸，成立平面直角坐標(biāo)系，y 軸是拋物線的對稱軸，極點 E到坐標(biāo)原點O的距離為6 m.(1)求拋物線的分析式；(2)假如該地道內(nèi)設(shè)雙行道，現(xiàn)有一輛貨運卡車高為m , 這輛貨運卡車可否經(jīng)過該地道經(jīng)過計算說明.例14、在坡面為OA的斜坡上，有兩根電線桿 OC, AD,如圖，以地平面為 x軸，OC所在直線為y軸，成立平面直角坐標(biāo)系，已知 OA=41米，AB=9米，OC=AD=10米，坡面中點F處

16、與電線的距離£尸=米(1)求電線所在的拋物線分析式；(2)若平行于y軸的隨意直線x=k交拋物線于點M,交坡面 OA于點N,求MN的最小值.練習(xí)1、（ 2013 嘉興）一次函數(shù) y=ax+b（a不等于0）的圖像與x軸的交點坐標(biāo)是（-2,0）, 則2拋物線y=ax +bx的對稱軸為（）A. 直線x=1 B.直線x=-2 C. 直線x=-1 D. 直線x=-42、二次函數(shù)y=-2x 2+4x+1的圖象怎樣挪動就獲取y=-2x 2的圖象（）A.向左挪動1個單位，向上挪動 3個單位B.向右挪動1個單位，向上挪動 3個單位C.向左挪動1個單位，向下挪動3個單位D.向右挪動1個單位，向下挪動3個單

17、位3、把拋物線y=ax2 +bx+c向左平移2個單位,再向下平移1個單位后，恰巧與拋物線 y=2x2+x+1重合，求出a, b, c的值，并畫出函數(shù)的表示圖。4、已知二次函數(shù)y=ax2 +bx+c（a W0）圖象的極點P的橫坐標(biāo)是4,圖象交x軸于點A（m,0） 和點B,且m>4,那么AB的長是（）.A、4+m B 、m C 、2m-8D 、8-2m5、當(dāng)2 x 3時，函數(shù)yx2 2x 3的最大值為 6、如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面訂交于A, B兩點,拱橋最高點C到AB的距離為9m , AB=36m 點E到直線AB的距離為7m ,則DE的長為,D, E為拱橋

18、底部的兩點，且 DE/AB,7、若拋物線y=x2 +bx+c與x軸只有一個交點，且過點 A ( m, n) .B ( m+6, n),貝1n=8、已知函數(shù)住7獷-1F江7，若使= k成立的x值恰巧有三個，則k的值為/、心-5-1（貯辦A. 0 B .1 C .2 D . 39、在“母親節(jié)”前夜，我市某校學(xué)生踴躍參加“關(guān)愛貧窮母親”的活動，他們購進(jìn)一 批單價為20元的“孝文化衫”在課余時間進(jìn)行義賣，并將所得利潤捐給貧窮母親.經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)，若每件按 24元的價錢銷售時，每天能賣出 36件；若每件按29元的價錢銷 售時，每天能賣由 21件.假設(shè)每天銷售件數(shù) y （件）與銷售價錢 x （元/件）知足一個

19、 以x為自變量的一次函數(shù).（1）求y與x知足的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；（2）在不積壓且不考慮其余要素的狀況下，銷售價錢定為多少元時，才能使每天獲 取的利潤P最大10、（1） （2012?衡陽）如圖為二次函數(shù) y=ax2+bx+c （ a*0）的圖象，則以下說法：a> 02a+b=0 a+b+c >0當(dāng)-1<x< 3時，y>0此中正確的個數(shù)為 （）（2）（黃石市）已知二次B、2C、 3D、y ax 2 bx c的圖象如下圖，有以下結(jié)論： a bc 0 :a b c 1 :abc 0 ;4a 2b c 0 ;c a 1此中所有正確結(jié)論的序號是（）A.（3

20、）（南充） 對稱軸為x =如圖是二次函數(shù) y=1 ,給由四個結(jié)論：ax2+ bx+ c圖象的一部分，圖象過點A ( 3, 0),b2> 4ac ; (2)2 a+ b=0 ;a b + c=0 ;5a v b.其中正確結(jié)論是（）A、B、（4）（江蘇省鎮(zhèn)江市）函數(shù)y x2（m為常數(shù)）D、的圖象如圖，假如x a時，y 0;那么x aA. y 0（5）（山東省濱州市）若A （-4y1)B ( -3，C (1D . y my3)為二次函數(shù) y=x2 +4x-5的圖象上的三點，則y1a、y < y < y123y2,y3的大小關(guān)系是(、y < y < yC213y <

21、y <y132211、(2011?貴陽)如下圖，二次函數(shù)y=-x +2x+m的圖象與x軸的一個交點為A ( 3,(1)求m的值； (2)求點B的坐標(biāo)；(3)該二次函數(shù)圖象上有一點 D (x, v)(此中x> 0, y> 0)使$ abd=Sabc,求點D 的坐標(biāo).12、如圖，已知拋物線y2x bx與直線y 2x交于點O (0, 0) , A ( a , 12),點2B是拋物線上O, A之間的一個動點，過點 B分別作x軸、y軸的平行線與直線 OA 交于點C, E。(1)求拋物線的函數(shù)分析式；(2)若點C為OA的中點，求BC的長；(3)以BC , BE為邊結(jié)構(gòu)矩形 之間的關(guān)系式。BCDE ,設(shè)