FlexPDE,使用說(shuō)明,中文講解

1、FlexPDE的多平臺(tái)適應(yīng)性現(xiàn)在無(wú)論是Unix，Linux和Mac的用戶都可以像Windows的用戶那樣享受FlexPDE強(qiáng)大和便捷了。Heatflow（熱流問(wèn)題）這個(gè)問(wèn)題描述一個(gè)木片的橫斷面部分，分析通過(guò)該結(jié)構(gòu)時(shí)的熱量損失。它由十七個(gè)具有不同傳導(dǎo)性的不同區(qū)域構(gòu)成。內(nèi)部和外部之間的溫度差異相差70度。Tension(張力問(wèn)題)這個(gè)問(wèn)題是說(shuō)一個(gè)被拉緊的有孔的橫木的變形性。FlexPDE要解決兩個(gè)同時(shí)發(fā)生在橫木的x和y方向位移的偏微分方程dx(Sx) + dy(Txy) + Fx = 0dx(Txy) + dy(Sy) + Fy = 0Sx和Sy 是X和Y方向上的壓力, Txy 是切應(yīng)力, Fx和

2、 Fy 是X和Y方向上的質(zhì)量力.Sx = C11*dx(U) + C12*dy(V) + C13*dy(U) + dx(V)Sy = C12*dx(U) + C22*dy(V) + C23*dy(U) + dx(V)Txy = C13*dx(U) + C23*dy(V) + C33*dy(U) + dx(V)Cnn 是物質(zhì)構(gòu)成關(guān)系二維孔道中的滯留這個(gè)問(wèn)題是說(shuō)檢查二維孔道中的粘性流動(dòng). 利用作用在通道的末端固定壓，F(xiàn)lexPDE解出了液體的X和Y方向上的速度.這個(gè)問(wèn)題的雷諾氏數(shù)接近20在笛卡爾二維上不可壓縮液體的Navier-Stokes方程rho*dt(U) + U*dx(U) + V*dy(

3、U) = mu*div(grad(U) - dx(P)rho*dt(V) + U*dx(V) + V*dy(V) = mu*div(grad(V) - dy(P)還有連續(xù)性方程dx(U) + dy(V) = 0.這里U和V是X和Y方向上的速度,P是壓力,rho是密度,mu是粘度Chemical Reactions（化學(xué)反應(yīng)）這個(gè)問(wèn)題涉及到當(dāng)空氣過(guò)管道時(shí),在空心管化學(xué)容器中氣體的橫斷面.化學(xué)反應(yīng)有個(gè)反應(yīng)速率,與溫度是指數(shù)關(guān)系,一旦到達(dá)點(diǎn)火溫度爆炸反應(yīng)就會(huì)完成.管的兩端都有加熱帶,幫助誘導(dǎo)點(diǎn)火.我們模擬圓形橫斷面的四分之一.同時(shí)會(huì)發(fā)生兩個(gè)PDE,一個(gè)是對(duì)溫度,一個(gè)是對(duì)化學(xué)物質(zhì)的濃度dt(T) =

4、div(grad(T) + a*(1-C)*exp(G-G/T)dt(C) = div(grad(C) + b*(1-C)*exp(G-G/T)其中T是溫度,C是濃度.a,b,和G是常數(shù)Permanent Magnet（永久磁鐵）這個(gè)問(wèn)題涉及到一個(gè)含有永久磁鐵的磁心的磁場(chǎng)問(wèn)題系統(tǒng)遵守PDEcurl(curl(A)-P)/mu) + J = 0這里A是磁場(chǎng)矢量勢(shì),P是磁化,J是電流密度,mu是通透性Diffusion（擴(kuò)散）這個(gè)問(wèn)題涉及到攙雜劑從穩(wěn)定的遮蔽源熱擴(kuò)散進(jìn)入固體,參數(shù)就選擇那些在半導(dǎo)體擴(kuò)散中經(jīng)常遇到的參數(shù).PDE就是擴(kuò)散方程dt(C) = div(D*grad(C)C是濃度,D是擴(kuò)散系

5、數(shù),早期,接近源頭的溶解可以類比成一維擴(kuò)散中分析的溶解中國(guó)科研軟件論壇(forum.S)中國(guó)科研軟件網(wǎng)(www.SoftS)FlexPDE是什么?FlexPDE是一個(gè)“腳本的有限要素模型建立工具和數(shù)字的處理器”。由此我們將其解釋為由用戶書寫的腳本。FlexPDE執(zhí)行必要的操作來(lái)將一個(gè)偏微分方程組的描述轉(zhuǎn)變成成為一個(gè)有限的要素模型，求解方程組并將結(jié)果以圖片形式輸出。FlexPDE也是一個(gè)“問(wèn)題處理環(huán)境”，因?yàn)樗梢詧?zhí)行用于求解部分微分方程組的全部必要函數(shù)：原始腳本編輯器，建立有限元素網(wǎng)的網(wǎng)格生成器，用以求解的有限元素處理器以及一個(gè)將結(jié)果分類的繪圖系統(tǒng)。FlexPDE沒(méi)有默認(rèn)的問(wèn)題領(lǐng)域及方程列表，

6、微分方程式的選擇完全由用戶決定。腳本語(yǔ)言允許用戶在描述他的微分方程組和主要問(wèn)題的幾何圖形時(shí)所采用的數(shù)學(xué)方式就像他對(duì)他的合作者描述時(shí)所采用的方式一樣。例如，以下是一個(gè)腳本中的一個(gè)方程式部分，這里拉普拉斯的方程被表示為Div(grad(u) = 0.類似的，在腳本中還有一個(gè)界限部分，這里主要的二維空間問(wèn)題的幾何界限被近似表示為環(huán)繞周長(zhǎng)行走。Start(x1,y1) line to (x2,y1) to (x2,y2) to (x1,y2) to finish 這個(gè)腳本形式有很多優(yōu)點(diǎn) 腳本徹底描述了方程組和主要問(wèn)題，所以對(duì)于正在求解的方程組就沒(méi)有了不確定 性，因?yàn)榛蛟S這個(gè)例子帶有固定的應(yīng)用程序。 新

7、的變量，新的方程或新的條件可以隨意填加，所以軟件可以表達(dá)任何不同的缺失條件，或是任何一個(gè)自然影響 許多不同問(wèn)題可以用同一軟件求解，用戶不必為了解決新問(wèn)題而學(xué)習(xí)新軟件的使用。腳本模型的推論結(jié)果 用戶需要能夠?qū)⑺膯?wèn)題用數(shù)學(xué)形式表達(dá)在教育環(huán)境中它很不錯(cuò)，正是學(xué)生需要學(xué)習(xí)的類型。而在工業(yè)環(huán)境中，它有可能成為障礙。但是一個(gè)知識(shí)淵博的用戶可以做出能夠由經(jīng)過(guò)較少訓(xùn)練的工人使用和修改的腳本。而且應(yīng)用腳本庫(kù)梢哉故救綰尾僮鰲?/font>FlexPDE能做什么？ FlexPDE能夠在笛卡爾或軸對(duì)稱二維幾何空間或三維笛卡爾幾何空間中求解一階或二階微分方程。 方程組可以使穩(wěn)態(tài)的也可以是時(shí)間依賴性的，或者Fle

8、xPDE也可以有選擇的求解特征值問(wèn)題。在同一問(wèn)題中不變方程和時(shí)間依賴性的方程可以混合。 FlexPDE可以求解任意數(shù)量的聯(lián)立方程，數(shù)量取決于運(yùn)行FlexPDE的計(jì)算機(jī)的局限。 方程可以是線性或非線性的,非線性系統(tǒng)通過(guò)應(yīng)用一個(gè)修改過(guò)的Newton-Raphson疊代法來(lái)求解. 任意數(shù)量不同物質(zhì)的屬性的部位都可被限定.模擬變量被假定是連續(xù)的闖過(guò)物質(zhì)的界面。跳過(guò)了從PDE系統(tǒng)的聲明所派生出的條件。提示： FlexPDE使用起來(lái)極為方便，這使得它在教學(xué)應(yīng)用中非常受歡迎。但是FlexPDE不是玩具，全面的掌握了它的功能，您可以將其成功的運(yùn)用在復(fù)雜問(wèn)題的解決過(guò)程中。它如何運(yùn)作？FlexPDE是一個(gè)完全整合

9、的PDE處理器，帶有多種模型以提供全方位問(wèn)題解決系統(tǒng)。 一個(gè)編輯模型的腳本提供簡(jiǎn)易文本編輯和主要圖形預(yù)覽。 一個(gè)符號(hào)等式分析器擴(kuò)展了定義參數(shù)及聯(lián)系的界限，執(zhí)行三維求導(dǎo)，抽象應(yīng)用部分積分法減少建立Galerkin抽象等式的二次步驟。之后將這些等式用雅可比耦連矩陣加以微分。 一個(gè)網(wǎng)格生成模塊在任意二維問(wèn)題之上構(gòu)造了三角有限單元網(wǎng)。在三維問(wèn)題中，二維網(wǎng)格被擠壓成在突出維數(shù)中覆蓋任意數(shù)量非平面層的四面體網(wǎng)。 一個(gè)有限元數(shù)據(jù)分析模塊采用特別的步驟，為每一個(gè)線性或非線性系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，時(shí)間依賴性問(wèn)題或特征值問(wèn)題選擇合適的解決方案。有限元的基礎(chǔ)可以是二次也可以是三次的。 當(dāng)錯(cuò)誤很嚴(yán)重的時(shí)候，一個(gè)誤差估計(jì)程

10、序會(huì)測(cè)量網(wǎng)格的適合性并且對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行改善。這個(gè)系統(tǒng)會(huì)一直重復(fù)這種針對(duì)網(wǎng)格的精煉及處理，直到達(dá)到用戶所能忍受的誤差度。 一個(gè)繪圖輸出模塊支持解法和圖中的任意代數(shù)函數(shù)，如等高線，表面，矢量或角度圖。 一個(gè)數(shù)據(jù)輸出模塊可以以各種模式書寫文檔報(bào)告，包括簡(jiǎn)單表格，全有限元網(wǎng)數(shù)據(jù)，CDF或TecPlot兼容。誰(shuí)能夠使用FlexPDE？多數(shù)的物理和工程在某種程度上可以被描述成為部分微分方程，這也就意味著像FlexPDE一樣的腳本解算器幾乎可以被應(yīng)用于任意的工程或科學(xué)領(lǐng)域。 許多領(lǐng)域的學(xué)者都可以使用FlexPDE來(lái)將他們的試驗(yàn)或設(shè)備建模，進(jìn)行不同影響重要性的預(yù)測(cè)或檢驗(yàn)。參數(shù)的變化或從屬性并不會(huì)被表格庫(kù)所限，可以

11、隨意規(guī)劃。 工程師可以使用FlexPDE來(lái)設(shè)計(jì)最優(yōu)化研究，適合度研究以及概念分析。它也可以把一個(gè)設(shè)計(jì)的各個(gè)方面建模，而不用針對(duì)每種影響選擇一種單獨(dú)的工具。 應(yīng)用軟件開(kāi)發(fā)者可以將FlexPDE作為需要有限元微分方程組建模的特殊目的應(yīng)用核心。 教育家可以使用FlexPDE來(lái)教授物理或工程學(xué)。這個(gè)軟件工具可以被應(yīng)用于某一學(xué)科系統(tǒng)的全范圍檢驗(yàn)。學(xué)生們可以看見(jiàn)實(shí)際的方程式，而且可以通過(guò)調(diào)整術(shù)語(yǔ)或域來(lái)實(shí)現(xiàn)互動(dòng)的操作。腳本是什么樣子的問(wèn)題描述腳本是一個(gè)易讀的文本文檔。文件內(nèi)容由許多部分組成，每一部分都由標(biāo)題來(lái)鑒別。最常用的部分是： TITLE用于輸出的描述標(biāo)簽項(xiàng) SELECT使用者對(duì)FlexPDE默認(rèn)工具的

12、控制項(xiàng) VARIABLES依賴變量 DEFINITIONS有用參數(shù)，關(guān)系及函數(shù)定義 EQUATIONS每一個(gè)變量都與一個(gè)微分方程相聯(lián)系 INTIALVSLUES非線性或時(shí)間依賴性問(wèn)題初始值 BOUNDARIES通過(guò)丈量范圍周長(zhǎng)，將線和弧連起以確定形狀來(lái)描述幾何學(xué) PLOTS列出所需的繪圖輸出。可能是周線，表面，高線及矢量分塊的組合。一個(gè)簡(jiǎn)單的二次擴(kuò)散方程可以如下所示：A simple diffusion equation on a square might look like this:TITLE 'Simple diffusion equation' VARIABLES u

13、DEFINITIONS k=3 EQUATIONS div(k*grad(u)=0 BOUNDARIES region 1 start(0,0) line to (1,0) to (1,1) to (0,1) to finish PLOTS contour(u) vector(k*grad(u) END 提示：其他選項(xiàng)部分及詳細(xì)規(guī)則在FlexPDE問(wèn)題描述相關(guān)章節(jié)“section”中介紹限制條件是什么？正確的限制條件規(guī)范對(duì)于PDE系統(tǒng)的解法至關(guān)重要在一個(gè)FlexPDE腳本中，限制條件被表示成為行走的邊界原始的限制條件類型是VALUEHE和NATURALVALUE邊界條件指定為必須在區(qū)域邊界內(nèi)變

14、化的數(shù)值。NATURAL邊界條件限制為一個(gè)區(qū)域邊界內(nèi)的通量。（NATURAL邊界條件的精確含義取決于邊界條件所確定的PDE，詳細(xì)情況在“natural boundary conditions”章節(jié)中有所說(shuō)明）例如，在上面提到的的擴(kuò)散問(wèn)題中，我們?cè)诘撞亢晚敳窟吘壴黾庸潭〝?shù)值，以及零通量條件，如下所示：BOUNDARIES region 1 start(0,0) value(u) = 0 line to (1,0) fixed value on bottom natural(u)=0 line to (1,1) insulated right side value(u)=1 line to (0,

15、1) fixed value on top natural(u)=0 line to finish insulated left side 怎樣提出我的問(wèn)題？FlexPDE可以閱讀用可讀性語(yǔ)言來(lái)描述的，關(guān)于待解決問(wèn)題特性的文本腳本。在簡(jiǎn)單應(yīng)用中，腳本將非常簡(jiǎn)單，而復(fù)雜的應(yīng)用則可能要求對(duì)FlexPDE功能的更多了解。在下面的討論中，我們將從FlexPDE的簡(jiǎn)單特征開(kāi)始，隨著我們的進(jìn)程逐步深入到更加復(fù)雜的特性中。FlexPDE擁有一個(gè)內(nèi)置的編輯器，通過(guò)它您可以建立您的問(wèn)題腳本。您可以編輯腳本并運(yùn)行，然后再編輯再運(yùn)行直到您得到您所需要的結(jié)果。您可以保存腳本以備將來(lái)使用或者將其作為今后修改的基礎(chǔ)。開(kāi)始

16、一個(gè)問(wèn)題設(shè)置的最簡(jiǎn)單辦法就是復(fù)制一個(gè)已經(jīng)存在的相似的問(wèn)題。但是也有其他的辦法，定義四個(gè)基礎(chǔ)部分： 定義變量及方程式 定義域 定義具體的參數(shù) 制定圖片輸出這些步驟在以下幾個(gè)部分將會(huì)加以描述。我們將應(yīng)用一個(gè)簡(jiǎn)單的二維熱流問(wèn)題來(lái)作為實(shí)例，通過(guò)運(yùn)用FlexPDE中的最基本元素來(lái)建立腳本。在接下來(lái)的部分，我們將把腳本加以完善，以改進(jìn)的方式把FlexPDE更強(qiáng)大的能力加入其中。三維應(yīng)用強(qiáng)烈的依賴于二維概念，我們將在一個(gè)單獨(dú)的章節(jié)中進(jìn)行闡述。接下來(lái)我們將不會(huì)著力于全面闡述全部有用的選項(xiàng)，而是通過(guò)說(shuō)明最常用的窗體來(lái)使用戶清楚軟件的概念。在FlexPDE的說(shuō)明書中將會(huì)包含全部選項(xiàng)的詳細(xì)描述。某些選項(xiàng)也可能會(huì)在以

17、后的章節(jié)中有所介紹。問(wèn)題設(shè)置指導(dǎo)在為FlexPDE陳述問(wèn)題時(shí)，以下有一些應(yīng)該遵守的指導(dǎo)規(guī)則。 起始于物理系統(tǒng)的基本綜述，基本守恒原理的表達(dá)常常比頻繁出現(xiàn)在教科書中的沉重的數(shù)據(jù)處理仿真“簡(jiǎn)化”要更好操作。 起始于一個(gè)簡(jiǎn)單的模型，可能一個(gè)你已知道答案的問(wèn)題更適宜。這樣你既可以檢驗(yàn)?zāi)銓?duì)于的問(wèn)題陳述是否正確，又可以增加您對(duì)于FlexPDE可靠性的信心。（一個(gè)有效的方法是假定一個(gè)解析答案，將其插入PDE來(lái)生成得出計(jì)算結(jié)果所必須的源條目。確定已經(jīng)將合適的邊界條件考慮其中） 開(kāi)始的時(shí)候不必?fù)?dān)心非線性系數(shù)或具體特性的精確形式。嘗試求解一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題，然后添加其他復(fù)雜條件。 制訂出范圍。首先描繪出外部界限，將邊界

18、條件定位為您所需要的。然后覆蓋其他具體區(qū)域，之后的區(qū)域?qū)?huì)覆蓋或取代其下面的區(qū)域，這樣你就不用重復(fù)很多復(fù)雜的界面。 詳細(xì)說(shuō)明在求解過(guò)程中可能會(huì)有所幫助的任何事情。不要只是將您所需要的結(jié)果進(jìn)行區(qū)分然后不知道為什么會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。抓住反饋。符號(hào)大多數(shù)情況下，F(xiàn)lexPDE中的符號(hào)像在程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言中的符號(hào)一樣都是簡(jiǎn)單的文本用法。 微分可以通過(guò)dx（）形式來(lái)表示，所有的同等命名都可以被識(shí)別，如二級(jí)衍生符號(hào)dxx（），向量操作：div，grad，curl等。 命名不分大小寫，F(xiàn)和f相同。變量和方程式FlexPDE需要知道的兩個(gè)主要的信息是：您要分析的變量是什么，定義他們的偏微分方程是什么。問(wèn)題腳本的VARI

19、ABLES和EQUATIONS部分提供這些信息。二者是緊密相關(guān)的，所以對(duì)于每個(gè)變量都必須有一個(gè)對(duì)應(yīng)的方程。在簡(jiǎn)單問(wèn)題中，您可能只有一個(gè)變量，如電壓或溫度。此時(shí)，您可以簡(jiǎn)單的將變量和方程式聲明為：VARIABLES PhiEQUATIONS Div（grad（phi）S0在更加復(fù)雜的情況下，可能會(huì)出現(xiàn)多個(gè)變量和方程。FlexPDE需要知道如何把方程同變量關(guān)聯(lián)起來(lái)，因?yàn)闃?gòu)建模型時(shí)的一些細(xì)節(jié)需要依靠這些聯(lián)系。變量和方程相聯(lián)系的最簡(jiǎn)單的方式是按照順序： VARIABLES A,B EQUATIONS Div(grad(A) + B = 0 Div(grad(B) + A = 0第一個(gè)等式被假設(shè)成是用來(lái)

20、定義所列的第一個(gè)變量的，依此類推。事實(shí)上更清楚的方式是標(biāo)記出每個(gè)方程以及其定義的變量： EQUATIONS A: Div(grad(A) + B = 0 B: Div(grad(B) + A = 0中國(guó)科研軟件網(wǎng)（www.SoftS）繪制范圍問(wèn)題的范圍在BOUNDARIES部分中描述了，由REGIONS組成，每一個(gè)都被假定為具有唯一的具體特性。一個(gè)REGION可能包含許多閉合的循環(huán)或島，但是它們被假定為屬于同一種特性。 一個(gè)REGION的詳述從聲明REGION<number >開(kāi)始，頭文件后的所有的循環(huán)都包含在這個(gè)部分。 后面的REGIONS覆蓋前面的REGIONS REGION可

21、以命名，如REGION<number>“Name”形式 REGION 1應(yīng)該包含全部區(qū)域Region的形狀被描述成為繞著周界行走，從一個(gè)接點(diǎn)到另一個(gè)LINE或ARC部分。每一個(gè)部分都假定它與前面部分的終點(diǎn)相連的，而START語(yǔ)句使事件滾動(dòng)。您可以使用FINISH來(lái)使某部分歸回起點(diǎn)。 矩形區(qū)域由四條線組成：START(x1,y1) LINE TO(x2,y1) TO (x2,y2) TO (x1,y2) TO FINISH（當(dāng)然，任意四邊形都是具有同樣的構(gòu)造，所改變的僅僅是坐標(biāo)而已。任意多邊形都可以通過(guò)增加點(diǎn)來(lái)構(gòu)建） 弧可以用多種方法創(chuàng)建，最簡(jiǎn)單的一種是通過(guò)描述原點(diǎn)和角度來(lái)完成：ST

22、ART(r,0) ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360 弧也可以通過(guò)詳細(xì)說(shuō)明原點(diǎn)和終點(diǎn)來(lái)說(shuō)明：START(r,0) ARC(CENTER=0,0) TO (0,r) a 90 degree arc （如果原點(diǎn)和起點(diǎn)的距離不等于原點(diǎn)和終點(diǎn)的距離，那么您將建立一個(gè)橢圓?。?環(huán)可以被命名為STARE“Name”（）那么BOUNDARIES部分的原型將是：BOUNDARIESREGION 1<closed loops around the domain>REGION 2<closed loops around overlays of the second materia

23、l>您可以一次創(chuàng)建區(qū)域的一部分，使用“domain”菜單按鈕來(lái)預(yù)覽您目前為止所創(chuàng)建的圖樣?！皊ave”和“save as”菜單按鈕允許您在工作中隨時(shí)保存您的工作，以防萬(wàn)一。一個(gè)問(wèn)題的例子讓我們建立一個(gè)包含在兩個(gè)平面之間的圓形的作為范例。我們將簡(jiǎn)單的將平面處理為正方形的上下面，圓在其間居中。使用以上的聲明，增加所需的控制標(biāo)簽，我們得到：BOUNDARIES REGION 1 'box' the bounding box START(-1,-1) LINE TO(1,-1) TO (1,1) TO (-1,1) TO FINISH REGION 2 'blob'

24、; the embedded circular 'blob' START 'ring' (1/2,0) ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360 TO FINISH提示：建立區(qū)域邊界的詳細(xì)規(guī)則在相關(guān)章節(jié)"Sections | Boundaries"有所介紹。建立一個(gè)網(wǎng)當(dāng)您選擇“run”按鈕時(shí)，F(xiàn)lexPDE將會(huì)開(kāi)始自動(dòng)創(chuàng)建有限元素網(wǎng)以適合您所描述的區(qū)域，在自動(dòng)產(chǎn)生的網(wǎng)中，單元的大小將由區(qū)域邊界中的外部點(diǎn)間的空間決定，或者由弧的曲率決定。在我們的實(shí)例中，自動(dòng)完如下所示：圖注意區(qū)域2的圓形邊界被繪制成單元支架。這里有幾個(gè)可以讓用戶用來(lái)改

25、變自動(dòng)生成的網(wǎng)的控制按鈕。在“控制網(wǎng)的密度”一章的相關(guān)部分有詳細(xì)介紹。作為范例，我們可以通過(guò)使用修改器NODE_SPACING來(lái)將區(qū)域2的圓形區(qū)域的網(wǎng)格設(shè)得更加密集：NODE_SPACING:REGION 2 'blob' the embedded 'blob' START(1/2,0) NODE_SPACING = 0.05 ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360 TO FINISH產(chǎn)生的網(wǎng)如下圖圖.多數(shù)情況下，干涉網(wǎng)的生成并不必要，因?yàn)榫拖裎覀儗⒁吹降囊粯樱坏〧lexPDE在解法中察覺(jué)到有明顯曲率就會(huì)適度的調(diào)整網(wǎng)。定義具體參數(shù)多數(shù)實(shí)際問(wèn)題的復(fù)

26、雜度都來(lái)源于一個(gè)事實(shí)，在微分方程組中的系數(shù)在會(huì)隨著構(gòu)成結(jié)構(gòu)的物質(zhì)不同而有不同的值。在FlexPDE中有兩個(gè)簡(jiǎn)單的方法解決了問(wèn)題。首先，物質(zhì)參數(shù)是被命名的而且默認(rèn)值已經(jīng)在DEFINITIONS部分中給出，其次，物質(zhì)參數(shù)也已經(jīng)在所限制區(qū)域中被賦值。到目前為止，無(wú)論測(cè)試問(wèn)題是熱能流動(dòng)問(wèn)題還是靜電問(wèn)題或者其他方面的問(wèn)題，影響并不明顯。盡管如此，為了在以下的討論中更加具體，讓我們來(lái)假定它是一個(gè)熱量問(wèn)題，描述的是一個(gè)埋入導(dǎo)體的絕緣體，導(dǎo)體位于熱源之間。我們給絕緣體一個(gè)0.001的傳導(dǎo)率，設(shè)定周圍的導(dǎo)體的傳導(dǎo)率為1。首先，我們定義常數(shù)的名稱并在定義區(qū)間賦予其默認(rèn)數(shù)值：DEFINITIONK1現(xiàn)在讓我們將常量

27、代入方程式EQUATIONSDiv(-k*grad(phi) = S之后我們來(lái)詳細(xì)說(shuō)明一下區(qū)域2的區(qū)域值：REGION 2'blob' the embedded blob K0.001 START(1/2,0) ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360 TO FINISH提示：為了表達(dá)清晰，我們也可以在區(qū)域1中將導(dǎo)體的傳導(dǎo)率定義為1設(shè)置邊界條件邊界條件被指定為區(qū)域中沿周長(zhǎng)移動(dòng)的修改器。邊界條件的主要類型為VALUE和NATURALVALUE邊界條件設(shè)定了值，即變量必須取在區(qū)域邊界上。NATURAL邊界條件設(shè)定了區(qū)域邊界的通量。通過(guò)laplace方程，NATURAL邊界

28、條件與neumann或者正常的派生邊界條件是等價(jià)的。提示：NATURAL邊界條件的精確含義取決于已設(shè)的邊界條件的PDE每一個(gè)邊界條件的聲明都是變量命名的理由。這些命名將邊界條件和所列方程式之一相關(guān)連，因?yàn)閷?shí)際上方程式是由邊界條件而調(diào)控的的。例如，被VALUE(u)=0修改的方程式，原來(lái)就是由定義u決定的。NATURAL(u)=0將取決于定義u的方程的形式的含義。在我們的范例中。假定我們希望將底邊定義為零溫度系數(shù)，絕緣邊界在右側(cè)，溫度1度為頂邊，絕緣邊界在左側(cè)。命令如下REGION 1'box' the bounding box START(-1,-1)VALUE(Phi)=0

29、LINE TO(1,-1) Phi=0 in base line NATURAL(Phi)=0 LINE TO (1,1) normal derivative =0 on right side VALUE(Phi)=1 LINE TO (-1,1) Phi = 1 on top NATURAL(Phi) LINE TO FINISH normal derivative =0 on left side 注意VALUE或NATURAL的聲明指出了將被應(yīng)用于接下來(lái)的邊界區(qū)域的條件，這一條件要一直應(yīng)用直至陳述改變。另外還要注意區(qū)域的形狀（線或?。┰谶吔鐥l件改變后將要重新設(shè)置。提示：其他的邊界條件形式也

30、可以被允許，參照“Sections|Boundaries”中國(guó)科研軟件網(wǎng)（www.SoftS）請(qǐng)求繪圖輸出PLOTS部分包括繪圖輸出請(qǐng)求。FlexPDE認(rèn)可四種主要繪圖形式：CONTOUR一個(gè)自變量等高線圖，可以被涂色SURFACE一個(gè)自變量的三維表面VECTOR箭頭區(qū)域ELEVATION沿著定義路徑的輸出您可以請(qǐng)求生產(chǎn)任何數(shù)量的圖，圖的值可以是變量，坐標(biāo)以及定義參數(shù)等任意相容的代數(shù)結(jié)合。在范例中，我們將請(qǐng)求一個(gè)溫度等高線，一個(gè)熱流矢量圖，k階grad，溫度沿著中心線的正面圖以及一滴水表面的常態(tài)熱流的正面圖：PLOTSCONTOUR(Phi)VECTOR(-k*grad(Phi)ELEVATI

31、ON(Phi) FROM (0,-1) to (0,1)ELEVATION(Normal(-k*grad(Phi) ON 'ring'當(dāng)FlexPDE完成求解和插入網(wǎng)格的過(guò)程后，PLOTS部分中的輸出請(qǐng)求就會(huì)被完成，而且滿足所有的單元都在誤差范圍內(nèi)。同PLOTS部分的形式一樣但是被命名為MONITORS的部分，將在更加頻繁間隔內(nèi)完成暫時(shí)輸出，這些輸出將作為一個(gè)求解過(guò)程中的即時(shí)報(bào)告。所有的關(guān)于PLOTS的紀(jì)錄在以PG3為后綴的文件和以PDE為后綴的腳本文件中有所記載。這些記錄了的部分可以通過(guò)調(diào)用FlexPDE主菜單中的VIEW項(xiàng)來(lái)觀看。MONITORS并未記錄在.PG3文件中。提

32、示：FlexPDE接受其他格式的命令，包括GRID和HISTORIES分區(qū)。查看相關(guān)章節(jié)“Sections | Monitors and Plots”中國(guó)科研軟件網(wǎng)（www.SoftS）將全部匯總在前面的部分中，我們已經(jīng)逐漸建立起了一個(gè)問(wèn)題規(guī)范。匯總起來(lái)如下：TITLE 'Heat flow around an Insulating blob'VARIABLESPhi the temperature DEFINITIONSK = 1 default conductivity R = 0.5 blob radius EQUATIONSDiv(-k*grad(phi) = 0BOU

33、NDARIESREGION 1 'box'START(-1,-1)VALUE(Phi)=0 LINE TO (1,-1)NATURAL(Phi)=0 LINE TO (1,1)VALUE(Phi)=1 LINE TO (-1,1)NATURAL(Phi)=0LINE TO FINISHREGION 2'blob'the embedded blobk=0.001START 'ring' (R,0) ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360 TO FINISHPLOTSCONTOUR(Phi)VECTOR(-k*grad(Phi)ELEVA

34、TION(Phi) FROM (0,-1) to (0,1)ELEVATION(Normal(-k*grad(Phi) ON 'ring'END我們已經(jīng)用23條可讀語(yǔ)句定義了一個(gè)完整并有意義的問(wèn)題申請(qǐng)F(tuán)lexPDE免費(fèi)試用光盤請(qǐng)登入中國(guó)科研軟件網(wǎng)（www.SoftS）您也可以在中國(guó)科研軟件論壇（forum.SoftS）獲得更多關(guān)于FlexPDE的資料中國(guó)科研軟件網(wǎng)（www.SoftS）A simple diffusion equation on a square might look like this:TITLE 'Simple diffusion equation&

35、#39; VARIABLES u DEFINITIONS k=3 EQUATIONS div(k*grad(u)=0 BOUNDARIES region 1 start(0,0) line to (1,0) to (1,1) to (0,1) to finish PLOTS contour(u) vector(k*grad(u) END 提示：其他選項(xiàng)部分及詳細(xì)規(guī)則在FlexPDE問(wèn)題描述相關(guān)章節(jié)“section”中介紹限制條件是什么？正確的限制條件規(guī)范對(duì)于PDE系統(tǒng)的解法至關(guān)重要在一個(gè)FlexPDE腳本中，限制條件被表示成為行走的邊界原始的限制條件類型是VALUEHE和NATURALVALU

36、E邊界條件指定為必須在區(qū)域邊界內(nèi)變化的數(shù)值。NATURAL邊界條件限制為一個(gè)區(qū)域邊界內(nèi)的通量。（NATURAL邊界條件的精確含義取決于邊界條件所確定的PDE，詳細(xì)情況在“natural boundary conditions”章節(jié)中有所說(shuō)明）例如，在上面提到的的擴(kuò)散問(wèn)題中，我們?cè)诘撞亢晚敳窟吘壴黾庸潭〝?shù)值，以及零通量條件，如下所示：BOUNDARIES region 1 start(0,0) value(u) = 0 line to (1,0) fixed value on bottom natural(u)=0 line to (1,1) insulated right side value

37、(u)=1 line to (0,1) fixed value on top natural(u)=0 line to finish insulated left side 怎樣提出我的問(wèn)題？FlexPDE可以閱讀用可讀性語(yǔ)言來(lái)描述的，關(guān)于待解決問(wèn)題特性的文本腳本。在簡(jiǎn)單應(yīng)用中，腳本將非常簡(jiǎn)單，而復(fù)雜的應(yīng)用則可能要求對(duì)FlexPDE功能的更多了解。在下面的討論中，我們將從FlexPDE的簡(jiǎn)單特征開(kāi)始，隨著我們的進(jìn)程逐步深入到更加復(fù)雜的特性中。FlexPDE擁有一個(gè)內(nèi)置的編輯器，通過(guò)它您可以建立您的問(wèn)題腳本。您可以編輯腳本并運(yùn)行，然后再編輯再運(yùn)行直到您得到您所需要的結(jié)果。您可以保存腳本以備將來(lái)使

38、用或者將其作為今后修改的基礎(chǔ)。開(kāi)始一個(gè)問(wèn)題設(shè)置的最簡(jiǎn)單辦法就是復(fù)制一個(gè)已經(jīng)存在的相似的問(wèn)題。但是也有其他的辦法，定義四個(gè)基礎(chǔ)部分： 定義變量及方程式 定義域 定義具體的參數(shù) 制定圖片輸出這些步驟在以下幾個(gè)部分將會(huì)加以描述。我們將應(yīng)用一個(gè)簡(jiǎn)單的二維熱流問(wèn)題來(lái)作為實(shí)例，通過(guò)運(yùn)用FlexPDE中的最基本元素來(lái)建立腳本。在接下來(lái)的部分，我們將把腳本加以完善，以改進(jìn)的方式把FlexPDE更強(qiáng)大的能力加入其中。三維應(yīng)用強(qiáng)烈的依賴于二維概念，我們將在一個(gè)單獨(dú)的章節(jié)中進(jìn)行闡述。接下來(lái)我們將不會(huì)著力于全面闡述全部有用的選項(xiàng)，而是通過(guò)說(shuō)明最常用的窗體來(lái)使用戶清楚軟件的概念。在FlexPDE的說(shuō)明書中將會(huì)包含全部選

39、項(xiàng)的詳細(xì)描述。某些選項(xiàng)也可能會(huì)在以后的章節(jié)中有所介紹。問(wèn)題設(shè)置指導(dǎo)在為FlexPDE陳述問(wèn)題時(shí)，以下有一些應(yīng)該遵守的指導(dǎo)規(guī)則。 起始于物理系統(tǒng)的基本綜述，基本守恒原理的表達(dá)常常比頻繁出現(xiàn)在教科書中的沉重的數(shù)據(jù)處理仿真“簡(jiǎn)化”要更好操作。 起始于一個(gè)簡(jiǎn)單的模型，可能一個(gè)你已知道答案的問(wèn)題更適宜。這樣你既可以檢驗(yàn)?zāi)銓?duì)于的問(wèn)題陳述是否正確，又可以增加您對(duì)于FlexPDE可靠性的信心。（一個(gè)有效的方法是假定一個(gè)解析答案，將其插入PDE來(lái)生成得出計(jì)算結(jié)果所必須的源條目。確定已經(jīng)將合適的邊界條件考慮其中） 開(kāi)始的時(shí)候不必?fù)?dān)心非線性系數(shù)或具體特性的精確形式。嘗試求解一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題，然后添加其他復(fù)雜條件。 制訂

40、出范圍。首先描繪出外部界限，將邊界條件定位為您所需要的。然后覆蓋其他具體區(qū)域，之后的區(qū)域?qū)?huì)覆蓋或取代其下面的區(qū)域，這樣你就不用重復(fù)很多復(fù)雜的界面。 詳細(xì)說(shuō)明在求解過(guò)程中可能會(huì)有所幫助的任何事情。不要只是將您所需要的結(jié)果進(jìn)行區(qū)分然后不知道為什么會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。抓住反饋。符號(hào)大多數(shù)情況下，F(xiàn)lexPDE中的符號(hào)像在程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言中的符號(hào)一樣都是簡(jiǎn)單的文本用法。 微分可以通過(guò)dx（）形式來(lái)表示，所有的同等命名都可以被識(shí)別，如二級(jí)衍生符號(hào)dxx（），向量操作：div，grad，curl等。 命名不分大小寫，F(xiàn)和f相同。變量和方程式FlexPDE需要知道的兩個(gè)主要的信息是：您要分析的變量是什么，定義他們的偏

41、微分方程是什么。問(wèn)題腳本的VARIABLES和EQUATIONS部分提供這些信息。二者是緊密相關(guān)的，所以對(duì)于每個(gè)變量都必須有一個(gè)對(duì)應(yīng)的方程。在簡(jiǎn)單問(wèn)題中，您可能只有一個(gè)變量，如電壓或溫度。此時(shí)，您可以簡(jiǎn)單的將變量和方程式聲明為：VARIABLES PhiEQUATIONS Div（grad（phi）S0在更加復(fù)雜的情況下，可能會(huì)出現(xiàn)多個(gè)變量和方程。FlexPDE需要知道如何把方程同變量關(guān)聯(lián)起來(lái)，因?yàn)闃?gòu)建模型時(shí)的一些細(xì)節(jié)需要依靠這些聯(lián)系。變量和方程相聯(lián)系的最簡(jiǎn)單的方式是按照順序： VARIABLES A,B EQUATIONS Div(grad(A) + B = 0 Div(grad(B) +

42、A = 0第一個(gè)等式被假設(shè)成是用來(lái)定義所列的第一個(gè)變量的，依此類推。事實(shí)上更清楚的方式是標(biāo)記出每個(gè)方程以及其定義的變量： EQUATIONS A: Div(grad(A) + B = 0 B: Div(grad(B) + A = 0中國(guó)科研軟件網(wǎng)（www.SoftS）繪制范圍問(wèn)題的范圍在BOUNDARIES部分中描述了，由REGIONS組成，每一個(gè)都被假定為具有唯一的具體特性。一個(gè)REGION可能包含許多閉合的循環(huán)或島，但是它們被假定為屬于同一種特性。 一個(gè)REGION的詳述從聲明REGION<number >開(kāi)始，頭文件后的所有的循環(huán)都包含在這個(gè)部分。 后面的REGIONS覆蓋前

43、面的REGIONS REGION可以命名，如REGION<number>“Name”形式 REGION 1應(yīng)該包含全部區(qū)域Region的形狀被描述成為繞著周界行走，從一個(gè)接點(diǎn)到另一個(gè)LINE或ARC部分。每一個(gè)部分都假定它與前面部分的終點(diǎn)相連的，而START語(yǔ)句使事件滾動(dòng)。您可以使用FINISH來(lái)使某部分歸回起點(diǎn)。 矩形區(qū)域由四條線組成：START(x1,y1) LINE TO(x2,y1) TO (x2,y2) TO (x1,y2) TO FINISH（當(dāng)然，任意四邊形都是具有同樣的構(gòu)造，所改變的僅僅是坐標(biāo)而已。任意多邊形都可以通過(guò)增加點(diǎn)來(lái)構(gòu)建） 弧可以用多種方法創(chuàng)建，最簡(jiǎn)單的一

44、種是通過(guò)描述原點(diǎn)和角度來(lái)完成：START(r,0) ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360 弧也可以通過(guò)詳細(xì)說(shuō)明原點(diǎn)和終點(diǎn)來(lái)說(shuō)明：START(r,0) ARC(CENTER=0,0) TO (0,r) a 90 degree arc （如果原點(diǎn)和起點(diǎn)的距離不等于原點(diǎn)和終點(diǎn)的距離，那么您將建立一個(gè)橢圓?。?環(huán)可以被命名為STARE“Name”（）那么BOUNDARIES部分的原型將是：BOUNDARIESREGION 1<closed loops around the domain>REGION 2<closed loops around overlays of t

45、he second material>您可以一次創(chuàng)建區(qū)域的一部分，使用“domain”菜單按鈕來(lái)預(yù)覽您目前為止所創(chuàng)建的圖樣?！皊ave”和“save as”菜單按鈕允許您在工作中隨時(shí)保存您的工作，以防萬(wàn)一。一個(gè)問(wèn)題的例子讓我們建立一個(gè)包含在兩個(gè)平面之間的圓形的作為范例。我們將簡(jiǎn)單的將平面處理為正方形的上下面，圓在其間居中。使用以上的聲明，增加所需的控制標(biāo)簽，我們得到：BOUNDARIES REGION 1 'box' the bounding box START(-1,-1) LINE TO(1,-1) TO (1,1) TO (-1,1) TO FINISH REGIO

46、N 2 'blob' the embedded circular 'blob' START 'ring' (1/2,0) ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360 TO FINISH提示：建立區(qū)域邊界的詳細(xì)規(guī)則在相關(guān)章節(jié)"Sections | Boundaries"有所介紹。建立一個(gè)網(wǎng)當(dāng)您選擇“run”按鈕時(shí)，F(xiàn)lexPDE將會(huì)開(kāi)始自動(dòng)創(chuàng)建有限元素網(wǎng)以適合您所描述的區(qū)域，在自動(dòng)產(chǎn)生的網(wǎng)中，單元的大小將由區(qū)域邊界中的外部點(diǎn)間的空間決定，或者由弧的曲率決定。在我們的實(shí)例中，自動(dòng)完如下所示：圖注意區(qū)域2的圓形邊界被繪制成單

47、元支架。這里有幾個(gè)可以讓用戶用來(lái)改變自動(dòng)生成的網(wǎng)的控制按鈕。在“控制網(wǎng)的密度”一章的相關(guān)部分有詳細(xì)介紹。作為范例，我們可以通過(guò)使用修改器NODE_SPACING來(lái)將區(qū)域2的圓形區(qū)域的網(wǎng)格設(shè)得更加密集：NODE_SPACING:REGION 2 'blob' the embedded 'blob' START(1/2,0) NODE_SPACING = 0.05 ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360 TO FINISH產(chǎn)生的網(wǎng)如下圖圖.多數(shù)情況下，干涉網(wǎng)的生成并不必要，因?yàn)榫拖裎覀儗⒁吹降囊粯?，一旦FlexPDE在解法中察覺(jué)到有明顯曲率就會(huì)適度的調(diào)

48、整網(wǎng)。定義具體參數(shù)多數(shù)實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜度都來(lái)源于一個(gè)事實(shí)，在微分方程組中的系數(shù)在會(huì)隨著構(gòu)成結(jié)構(gòu)的物質(zhì)不同而有不同的值。在FlexPDE中有兩個(gè)簡(jiǎn)單的方法解決了問(wèn)題。首先，物質(zhì)參數(shù)是被命名的而且默認(rèn)值已經(jīng)在DEFINITIONS部分中給出，其次，物質(zhì)參數(shù)也已經(jīng)在所限制區(qū)域中被賦值。到目前為止，無(wú)論測(cè)試問(wèn)題是熱能流動(dòng)問(wèn)題還是靜電問(wèn)題或者其他方面的問(wèn)題，影響并不明顯。盡管如此，為了在以下的討論中更加具體，讓我們來(lái)假定它是一個(gè)熱量問(wèn)題，描述的是一個(gè)埋入導(dǎo)體的絕緣體，導(dǎo)體位于熱源之間。我們給絕緣體一個(gè)0.001的傳導(dǎo)率，設(shè)定周圍的導(dǎo)體的傳導(dǎo)率為1。首先，我們定義常數(shù)的名稱并在定義區(qū)間賦予其默認(rèn)數(shù)值：DEF

49、INITIONK1現(xiàn)在讓我們將常量代入方程式EQUATIONSDiv(-k*grad(phi) = S之后我們來(lái)詳細(xì)說(shuō)明一下區(qū)域2的區(qū)域值：REGION 2'blob' the embedded blob K0.001 START(1/2,0) ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360 TO FINISH提示：為了表達(dá)清晰，我們也可以在區(qū)域1中將導(dǎo)體的傳導(dǎo)率定義為1設(shè)置邊界條件邊界條件被指定為區(qū)域中沿周長(zhǎng)移動(dòng)的修改器。邊界條件的主要類型為VALUE和NATURALVALUE邊界條件設(shè)定了值，即變量必須取在區(qū)域邊界上。NATURAL邊界條件設(shè)定了區(qū)域邊界的通量。通過(guò)laplace方程，NATURAL邊界條件與neumann或者正常的派生邊界條件是等價(jià)的。提示：NATURAL邊界條件的精確含義取決于已設(shè)的邊界條件的PDE每一個(gè)邊界條件的聲明都是變量命名的理由。這些命名將邊界條件和所列方程式之一相關(guān)連，因?yàn)閷?shí)際上方程式是由邊界條件而調(diào)控的的。例如，被VALUE(u)=0修改的方程式，原來(lái)就是由定義u決定的。NATURAL(u)=0將取決于定義u的方程的形式的含義。在我們的范例中。假定我們希望將底邊定義為零溫度系數(shù)，絕緣邊界在右側(cè)，溫度1度為