概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試試題及答案

1、20052006學(xué)年第一學(xué)期概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì) B期末試卷(A 卷)考試時(shí)間：注意:答案一律要寫在答題紙上！ !、選擇題(本大題分5小題，每小題3分，共15分)設(shè)A、B互不相容，且 P(A)>0，P(B)>0,則必有(A) P(BA)(B)P(AB) P(A)(C) P(AB)(D)P(AB) P(A)P(B)三、解答題(共65分)1、(10分)某工廠由甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，每個(gè)車間的產(chǎn)量分別占全廠的25%,35%,40%,各車間產(chǎn)品的次品率分別為5%,4%,2%,求：(1)全廠產(chǎn)品的次品率(2)若任取一件產(chǎn)品發(fā)現(xiàn)是次品，此次品是甲車間生產(chǎn)的概率是多少(2)某人花錢買了A

2、、B、C三種不同的獎(jiǎng)券各一張.已知各種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的，中獎(jiǎng)的概率分別為p(A) 0.03, P(B) 0.01, p(C)獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)此人就一定賺錢,則此人賺錢的概率約為(A)(B)(C)(D)2X N( ,4 ), Y N(,52),PiPX4, P2(A)對(duì)任意實(shí)數(shù),PiP2(B)對(duì)任意實(shí)數(shù)0.02,如果只要有一種PY5，則,P1 P2(C)只對(duì)的個(gè)別值，才有p1P2( D)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有P1P2設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)，且f ( x) f(x),F(x)是X的分布函數(shù),則對(duì)任意實(shí)數(shù)(A) F( a)(C) F( a)二維隨機(jī)變量(A) EX(C) EX2a成立的是a10 f(

3、x)dx(B) F( a) 12a0 f(x)dxF(a)(D) F( a) 2F(a) 1(X, Y)服從二維正態(tài)分布，則 X+Y與X- Y不相關(guān)的充要條件為EY(B)2 2 2 2EX EX EY EYEY2(D)EX2 EX2 EY2 EY2二、填空題(本大題5小題,每小題4分，共20分)(1)P(A) 0.4, P(B) 0.3,P(A B)0.4,貝U P(AB)設(shè)隨機(jī)變量X有密度f(x)4x3,0x 1其它，則使P(X a) P(Xa)的常數(shù)a =設(shè)隨機(jī)變量X N(2,2)，若P040.3,則 PX 0設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和丫均服從N(1,1)，如果隨機(jī)變量X-aY+25滿足

4、條件 D(X aY 2) E(X aY2)2,f(x, y)k(6 x y), 0 x 2,0 y 40, 其它求：(1)常數(shù)k(2) P(X Y 4)2、(10分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為3、(10分)設(shè)X與Y兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為fx(X)1,0,0x1;其它.fY(y)e y, y 0;0, y 0.求：隨機(jī)變量Z4、( 8分)設(shè)隨機(jī)變量fx (x)求：隨機(jī)變量Y5、(8分)設(shè)隨機(jī)變量Y的概率密度函數(shù).X具有概率密度函數(shù)x 8,0 x 4;0, 其他，eX 1的概率密度函數(shù).X的概率密度為:f(x) -e'x求：X的分布函數(shù).6、(9分)假設(shè)一部

5、機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作,若一周5個(gè)工作日里無故障，可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障可獲利潤5萬元；發(fā)生二次故障所獲利潤 0元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元,求一周內(nèi)期望利潤是多少7、(10 分)設(shè) X - N(0,1),Y - N(0,1)，且相互獨(dú)立 U X Y 1,V X Y 1 ,求：(1)分別求U,V的概率密度函數(shù)；(2) U,V的相關(guān)系數(shù)UV ；4.8,則 n=已知 X B(n, p),且 E(X) 8, D(X)線20052006學(xué)年第一學(xué)期期末考試概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)B試卷(A)標(biāo)準(zhǔn)答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)、選擇題(5X 3 分)題號(hào)12345答案CBA

6、BB、填空題(5X 4 分)1、20計(jì)算題(65 分)1、解:A為事件“生產(chǎn)的產(chǎn)品是次品”,Bi為事件“產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的”,B2為事件“產(chǎn)品是乙廠生產(chǎn)的” ，B3為事件“產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的”1)，1,0易見Bi, B2, B3是的一個(gè)劃分(1)解:解:解:由全概率公式，得 P(A)由Bayes公式有： P(B1 A)(1)由于2(2) dx0由卷積公式得P(AB)13P(Bi)P(ABi)25% 5% 35% 4%40% 2%0.0345.P(ABJP(B1)3P(ABi)P(Bi)25% 5%250.03456910f (x, y)dxdy 1,；(6 x y)dyfz(z) f (x,z所以

7、12424dx k(6 x0 0y)dy 1，可得k丄242(1x2 6x 16)dx80 29x)dx ,又因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，所以fZ(z)fx(x)fY(z x)dx0時(shí),fx(x)fY(z x)dx0;所以z 1 時(shí)，fz(z)1 時(shí)，fz(z)My)fx (x)fY (zfx (x) fY(zfz(z)fx(x)fY(z x)dx1的分布函數(shù)Fy (y).P(Y y)P(ex 1y)P(Xx)dxx) dx1 e e z(eln(y1)1)-10分-3分5分ze ;7分ze(zx)dx 10(z x)dx e z(e 1)；z 1; z 110ln( y 1 )fx (x)dx0；4

8、 e1；0,1 2 ,"ln (y16于是Y的概率密度函數(shù)fY(y)dtFY(y)ln( y 1)8( y 1)0,y e4 1;其他.31當(dāng) x 0, F(x) 21當(dāng) x 0, F(x)2x te dt°etdtdt6、解由條件知XB(5,0.2),PXk0.2k0.85 k,k 0,1,50;1;2;310,5,Y g(X)0,2,7、解：(1)5EY Eg(X)10210g(k)PXk 0PXPXk05 PX 103 P X 4 PXPX 250.328 5 0.410 2 0.0575.216(萬元)因?yàn)閄 N(0,1),YN(0,1)，且相互獨(dú)立，所以 U X

9、Y 1,V X Y 1都服從正態(tài)分布,EUE(XY 1)EXEYE1 1DUD(X:Y 1)DXDY2所以UN(1,2)，所以fu(u)14同理EVE(XY 1)EXEY 1DUD(XY 1) DXDY所以VN(1,2)，所以fV(U)1rd4e2E(X Y 1)(X Y 1)u24E1 1u2e 4(2) EUVE(X2 Y2 2X 1)EX2 EY2 2EX 1 DX (EX)2 (DY (EY)2) 2EX 1所以UVEUV_EUEV_0、DU DV1020052006學(xué)年第一學(xué)期期末考試概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)線B試卷（B）標(biāo)準(zhǔn)答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)題號(hào)12345答案DBBAD、選擇題（5X 3 分）

10、、填空題（5X 4分）11、2、3、4 4 2 一.2205三、計(jì)算題（65 分）1、解：A為事件“生產(chǎn)的產(chǎn)品是次品”,Bi為事件“產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的”,B2為事件“產(chǎn)品是乙廠生產(chǎn)的” ，B3為事件“產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的”易見Bi, B2, B3是的一個(gè)劃分233(1)由全概率公式，得 P(A) P(AB)P(Bi)P(A|Bi) 25% 5% 35% 4% 40% 2% 0.0345.5i 1i 1由Bayes公式有：P（B2 A）P(AB2)P(B2)3P(ABi)P(Bi)35% 4%80.034523102、解：（1）由于f (x, y)dxdy15所以24dx k(61x y)dy 1，可

11、得 k 0 02424 x2 ,(2)1dx(6 x y)dy1/ 1 2(x 6x16)dx8 -1000 24240 293、解：F（x）xf (t)dt1 x t1t當(dāng)x0,F (x) e dte32210 txt1t當(dāng)x0,F(x) J e dte dt1e -82024.解：Y ex1的分布函數(shù)FY（y）.i 15FY(y) P(Y y)P(eX 1ln( y 1)2y) P(X ln(y 1)fx (x)dx1,4 e1y.ln (y1)4 d于是Y的概率密度函數(shù)fY(y)dFY(y)8( y1),0 y e 1;8dy0,其他.0,y 0;124ln (y 1),0 y e 1;

12、616分分分分分分分分分分5解：由卷積公式得 fZ (z)f (x, z x)dx ,又因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，所以fZ（z）fx(x)fY(z x)dx3當(dāng) z 0時(shí)，fz(z)fx(x)fY(z x)dx 0;5當(dāng) 0 z 1 時(shí)，fz(z)fx(x)fY(z x)dxze (z x)dx 1 e71 / 、當(dāng) z 1 時(shí)，fz(z)fx(x) fy(z x)dx Qe (z x)dx e z(e 1);0所以 fz(Z)fX(x)fY(z x)dx 1 ez 0 z 1;e z(e 1) z 1106、解：(1)因?yàn)閄 N(0,1),YN(0,1)，且相互獨(dú)立，EUE(XY 1)EXEY E11DUD(XY 1)DXDY 2所以UN(1,2)，所以fu(U)2丄e： .4同理EVE(XY 1)EX EY E1 1DUD(XY 1)DXDY 2所以VN(1,2)，所以fV(U)丄e；所以