特殊三角形講義(1)

1、教育教學(xué)講義知識(shí)梳理1 等腰三角形：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形。2,相等的兩邊叫腰，另一條邊叫底邊如AB、AC叫腰，BC叫底邊3,兩腰所夾的角，如BAC叫做頂角，底邊與腰的夾角ABC和ACB叫底角2性質(zhì)等腰三角形的兩個(gè)底角相等（“等邊對(duì)等角”）；等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合（“三線合一”）；等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，都等于60°；等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是頂角的平分線，底邊上的中線或底邊上的高所在的直線判定有兩邊相等的三角形是等腰三角形；（定義）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（“等角對(duì)等邊”）2. 等邊三角形：三

2、邊都相等的三角形叫做等邊三角形。性質(zhì)： 等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°。 等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，等邊三角形每條邊上的中線，高和所對(duì)應(yīng)角的平分線都三線合一，它們所在的直線都是等邊三角形的對(duì)稱軸。 等邊三角形的判定： （1）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。注意：等邊三角形是特殊的等腰三角形，也叫正三角形。3直角三角形：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。可用符號(hào)Rt表示。性質(zhì)直角三角形的兩個(gè)銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角

3、邊等于斜邊的一半；（60°也差不多）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方判定 有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形； 有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。如果一個(gè)三角形一邊上中線等于這邊一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形；4如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形難點(diǎn)：1在直角三角形中如何正確添加輔助線 通常有兩種輔助線：斜邊上的高線和斜邊上的中線。（求面積）其他還有些特殊的三角形如：等腰直角三角形：頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形中位線三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。考點(diǎn)一：等腰三角形性質(zhì)在邊、角上的

4、應(yīng)用典型例題例1. （1）若等腰三角形的一個(gè)外角為70°，則它的底角為_度（2）某等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3cm和6cm，則它的周長(zhǎng)為（ ）A9cmB12cmC15cmD12cm或15cm分析：（1）要考慮這個(gè)外角是頂角的外角還是底角的外角，當(dāng)頂角的外角是70°時(shí)，則底角為×70°35°或頂角是180°70°110°，則底角是（180°110°）35°；若它是底角的外角，則底角為110°，但是兩個(gè)底角的和為220°180°，所以這種情況不合理（2）根據(jù)三

5、角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)以3cm為腰時(shí)，不能組成三角形，所以只能以3cm為底邊，6cm為腰，所以其周長(zhǎng)為66315cm解：（1）35（2）C例2. 已知：如圖所示，ABC中，ABAC，ADDCBC試求A的度數(shù)分析：本題關(guān)鍵是用“等邊對(duì)等角”來建立各角之間的關(guān)系，然后借助三角形內(nèi)角和建立等量關(guān)系，從而解決問題解：設(shè)Ax，因?yàn)锳DDC，所以DCAAx（等邊對(duì)等角）所以BDCADCA2x（三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角之和）又因?yàn)镈CBC，所以BBDC2x（等邊對(duì)等角）因?yàn)锳BAC，所以BACB2x（等邊對(duì)等角）因?yàn)锳BACB180°（三角形內(nèi)角和等于180°），所以x2x2x

6、180°，即x36°，所以A36°評(píng)析：（1）在解有關(guān)等腰三角形的問題時(shí)，若題設(shè)中對(duì)“腰”還是“底邊”或“頂角”還是“底角”指示不明，解題時(shí)要分類討論（2）等腰三角形的性質(zhì)經(jīng)常結(jié)合三角形外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理來解決有關(guān)角度計(jì)算問題其中等腰三角形的性質(zhì)與三角形外角性質(zhì)是建立角之間關(guān)系的依據(jù)，三角形內(nèi)角和定理是建立等量關(guān)系的依據(jù)同時(shí)將幾何問題轉(zhuǎn)化為方程問題也是我們要掌握的一種數(shù)學(xué)方法針對(duì)性練習(xí)例：1，等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和9，則第三邊長(zhǎng)為_鞏固 請(qǐng)寫出周長(zhǎng)為8cm，且邊長(zhǎng)均為整數(shù)的等腰三角形的各邊長(zhǎng)。2. 在等腰三角形ABC中，ABAC，周長(zhǎng)為14cm，A

7、C邊上的中線BD把ABC分成了周長(zhǎng)差為4cm的兩個(gè)三角形，求ABC各邊長(zhǎng)。3. 一個(gè)等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為41，求這個(gè)三角形各角度數(shù)?？键c(diǎn)二：三線合一、實(shí)際應(yīng)用的圖形轉(zhuǎn)換例1. 如圖所示，已知D、E在BC上，ABAC，ADAE試說明：BDCE分析：本題可以通過ABDACE來證明結(jié)論，但如果抓住圖形的“左右對(duì)稱”構(gòu)造“三線合一”來證明結(jié)論，就更為簡(jiǎn)捷解：作AFBC于F因?yàn)锳BAC，AFBC所以BFFC（等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線）同理可證DFEF 所以BDCE例2. 如圖所示，ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的中線，延長(zhǎng)BC到E使CECD，試說明BDE是等腰三角形分析：等邊三

8、角形是特殊的等腰三角形，因此等腰三角形的性質(zhì)同樣適用于等邊三角形本題中出現(xiàn)了一邊上的中線，根據(jù)“三線合一”就可以找到解決本題的突破口解：在等邊ABC中，因?yàn)锽D是AC邊上的中線，所以BD平分ABC又因?yàn)锳BC60°，所以DBC30°又因?yàn)镃ECD，所以CDEEACB30°所以DBCE所以BDE是等腰三角形例3 如圖所示，上午9時(shí)，一條漁船從A出發(fā)，以12海里/時(shí)的速度向正北航行，11時(shí)到達(dá)B處，從A、B處望小島C，測(cè)得NAC15°，NBC30°若小島周圍12.3海里內(nèi)有暗礁，問該漁船繼續(xù)向正北航行有無觸礁危險(xiǎn)？分析：作CDBN于D，該漁船有無觸

9、礁危險(xiǎn)，關(guān)鍵是看CD與12.3的大小關(guān)系，若CD12.3，則無觸礁危險(xiǎn)；若CD12.3，則有觸礁危險(xiǎn)故解決本題的關(guān)鍵是計(jì)算CD解：作CDBN于DAB12×（119）24（海里）因?yàn)镹AC15°，NBC30°，所以BCANBCNAC30°15°15°所以BCABAC，所以BCAB24（海里）（等角對(duì)等邊）在CDB中，CDB90°，DBC30°，所以CDBC12（海里）因?yàn)?212.3，所以該漁船繼續(xù)向正北航行，有觸礁危險(xiǎn)評(píng)析：（1）過去我們習(xí)慣利用三角形全等來證明線段相等和角相等，通過本例可以看出，有時(shí)利用等腰三角形

10、的性質(zhì)證明則更為簡(jiǎn)便由本例還可以看到，圖形中若具有很強(qiáng)的“左右對(duì)稱性”，可以聯(lián)想構(gòu)造“三線合一”（2）解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，把角的問題轉(zhuǎn)化為線段問題針對(duì)性練習(xí)：例：1. 如圖，在ABC中，C=25°，ADBC，垂足為D，且AB+BD=CD，則BAC的度數(shù)是多少度。 2、如圖，ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BDC=120度以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則AMN的周長(zhǎng)為多少。 3、如圖，將邊長(zhǎng)為2個(gè)單位的等邊ABC沿邊BC向右平移1個(gè)單位得到DEF，則四邊形ABFD的周長(zhǎng)為 4、下圖是由九個(gè)等邊三

11、角形組成的一個(gè)六邊形，當(dāng)最小的等邊三角形邊長(zhǎng)為2cm時(shí)，這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)為 課堂練習(xí)例1. 已知，如圖，ABACCD，求證：B2D 例2. 已知，如圖，ABC是等邊三角形，AD/BC，ADBD，BC6，求AD的長(zhǎng)。 【考點(diǎn)指要】 等腰三角形、等邊三角形及含30°角的直角三角形是應(yīng)用非常廣泛的圖形，因此，在中考試題中經(jīng)常以證明題或計(jì)算題頻頻出現(xiàn)，而且經(jīng)常把它們結(jié)合在一道題中加以應(yīng)用，雖然題目的難度不是很大，但也要善于分析，找出圖形中有關(guān)的性質(zhì)?！镜湫屠}分析】 例1. （2005年 蘇州） 如圖，等腰三角形ABC的頂角為120°，腰長(zhǎng)為10，則底邊上的高AD_。 例2. 已知

12、，如圖，ABC中，C90°，AB的垂直平分線交AB于E，交AC于D，AD8，A30°，求CD的長(zhǎng)。 例3. 已知，如圖，ABC是等邊三角形，E是AB上一點(diǎn)，D是AC上一點(diǎn)，且AECD，又BD與CE交于點(diǎn)F，試求BFE的度數(shù)?！揪C合測(cè)試】 1. 已知，如圖，ABAC，ABDACD，求證：DBDC 2. 已知，如圖，D、E是BC上兩點(diǎn)，ABAC，ADAE，求證：BDCE 3. 已知，如圖，ABC中，DE/BC，ABAC，求證：ADAE 4. 已知，如圖，ABC中，ABAC，D是AB上一點(diǎn)，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE交BC于F，又BDCE，求證：DFEF 5. 已知，如圖，D是B

13、C上一點(diǎn)，ABC、BDE都是等邊三角形，求證：ADCE 6. 已知，如圖，ABC中，B90°，AC的垂直平分線交AC于D，交BC于E，又C15°，EC10，求AB的長(zhǎng)。直角三角形【典型例題】例1 已知一直角三角形兩條直角邊上的中線長(zhǎng)分別為AE=5，求其斜邊AB的長(zhǎng)。例2如圖所示，點(diǎn)F為RtABC的斜邊AB上的中點(diǎn)，CD=FB，DF的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，求證：2E=A。例3 RtABC中，AB=AC，A=90°，點(diǎn)D在BC上，；M為BC中點(diǎn)，請(qǐng)判斷的形狀，并說明你的理由。 【綜合測(cè)試】一. 填空題 1. 直角三角形中，斜邊及其中線之和為6，那么該三角形的斜邊長(zhǎng)為 。 2. 已知， RtABC中，BD為斜邊AC上的中線，若A35°，那么DBC 。 3. 已知，RtABC中，CD是斜邊AB上的高，若ACD35°，那么DBC 。 4. ABC中，C90°，ABc, BCa, ACb,c34, ab815,則a 。二. 選擇題