高中數(shù)學(xué)：13正弦定理、余弦定理及其運(yùn)用課件必修五

1、正弦定理、余弦正弦定理、余弦定理及其運(yùn)用定理及其運(yùn)用 v一、考綱解讀考綱解讀v二、正弦定理及其變形二、正弦定理及其變形v三、余弦定理及其變形三、余弦定理及其變形v四、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的基本概念和術(shù)語(yǔ)四、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的基本概念和術(shù)語(yǔ)v五、例題講解五、例題講解v六、高考題再現(xiàn)六、高考題再現(xiàn)v七、小結(jié)七、小結(jié)本節(jié)課內(nèi)容目錄：一、考綱解讀：一、考綱解讀：在課標(biāo)及在課標(biāo)及教學(xué)要求教學(xué)要求中對(duì)正弦定理、余中對(duì)正弦定理、余弦定理的要求均為理解弦定理的要求均為理解(b)。在高考試題中。在高考試題中，出現(xiàn)的有關(guān)試題大多為容易題，主要考，出現(xiàn)的有關(guān)試題大多為容易題，主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式進(jìn)查正弦

2、定理、余弦定理及利用三角公式進(jìn)行恒等變換的技能及運(yùn)算能力，以化簡(jiǎn)、行恒等變換的技能及運(yùn)算能力，以化簡(jiǎn)、求值或判斷三角形形狀為主。求值或判斷三角形形狀為主。二、正弦定理及其變形：二、正弦定理及其變形：sin,sin,sin222abcabcrrr2sinsinsinabcrabc2 sin,2 sin,2 sinara brb crcabcabc: :sin:sin:sina b cabc111sinsinsin222abcsbcaacbabc( 其中其中 r是是abc外接圓的半徑）外接圓的半徑）1、已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一、已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；角；(三角形形狀唯一）三角

3、形形狀唯一）2、已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一、已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。（三角形形狀不一定唯一）邊的對(duì)角。（三角形形狀不一定唯一）解決題型：解決題型：三、余弦定理及其變形：三、余弦定理及其變形：2222222222cos2cos2cosabcbcabacacbcababcabcabc222222222cos;2cos;2cos.2bcaabcacbbacabccab解決題型：解決題型：1、已知三邊，求三個(gè)角；（只有一解）、已知三邊，求三個(gè)角；（只有一解）2、已知兩邊和它們的夾角，求第三邊已知兩邊和它們的夾角，求第三邊 和其他兩個(gè)角。（和其他兩個(gè)角。（只有一解）只有一解） 四

4、、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的基本概念和術(shù)語(yǔ)四、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的基本概念和術(shù)語(yǔ)v仰角和俯角是與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)仰角和俯角是與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，其中目標(biāo)視的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，其中目標(biāo)視線在水平線上方時(shí)叫仰角；目標(biāo)視線在水平線在水平線上方時(shí)叫仰角；目標(biāo)視線在水平線下方時(shí)叫俯角。線下方時(shí)叫俯角。v方位角：一般指北方向線順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方方位角：一般指北方向線順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角。向線的水平角。 abc2 ,ccbb則中，若中，若的范圍是的范圍是 。 例例1.在銳角在銳角sinsin22cossinsinccbbbbb解：由解：由sinsinbcbc得到得到

5、000002900 b45cbc2cos2,2bb則(某學(xué)生的解）某學(xué)生的解）五、例題講解五、例題講解錯(cuò)因分析：錯(cuò)因分析：v因?yàn)橐驗(yàn)閍bc是銳角三角形，則要是銳角三角形，則要求求00090 ,a0000090 ,090 .bc前面解法忽視了對(duì)前面解法忽視了對(duì)a的討論。的討論。正確解答正確解答sinsin22cossinsinccbbbbb0000002900 b45a+b+c=180b又000a=180 -b-c=180 -3b90解：由解：由sinsinbcbc得到得到c2cos2, 3bb則0030 b45即即0abc,2,45 ,ax bb在中，x若這個(gè)三角形有兩解，求若這個(gè)三角形有兩解

6、，求的取值范圍。的取值范圍。例例2.xbcb22xba1a2d則以則以c為圓心，為圓心，2為半徑畫(huà)弧應(yīng)與射線為半徑畫(huà)弧應(yīng)與射線bd有兩有兩22,22 22xxx即解：如圖作解：如圖作2,2cdab cdx個(gè)交點(diǎn)，則要求個(gè)交點(diǎn)，則要求若合題意若合題意 的三角形有兩個(gè)，的三角形有兩個(gè)，,aabca b在中，已知和 時(shí)，解得情況如下：解得情況如下：a為銳角為銳角a為鈍角或直為鈍角或直角角圖形圖形 關(guān)系關(guān)系式式a=bsinabsinaab解的解的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)一解一解兩解兩解一解一解一解一解無(wú)解無(wú)解abababcbaabbc12abccba上表中上表中a為銳角時(shí)，為銳角時(shí)，sinabaa為直角時(shí)，為直角時(shí)，

7、,ab ab均無(wú)解。均無(wú)解。時(shí)，無(wú)解；時(shí)，無(wú)解；例例3.在在中中, ,已知已知, ,判定判定的形狀。的形狀。abc22()sin()abab22()sin()abababc解法一：原式可化為解法一：原式可化為 2222()sin()(sincoscossin)abcababab即：即： 2222222222()()22a acbb bcaababcaccbc整理得：整理得：222222222222(),1abababababcc即（） （）=0a b得：得：或或222abcabc即即是等腰三角形或是直角三角形。是等腰三角形或是直角三角形。解法二：原式可化為解法二：原式可化為 22(sinsin

8、)(sincossincos)ababba22(sinsin)(sincoscossin)ababab化簡(jiǎn)得：化簡(jiǎn)得：22sincossinsinsincos0aababbsinsin(sincossincos)0abaabb也即也即(0, ),(0, )sin0,sin0abab0sin2sin2 ,a=ba+b=90ab則即，或abc即即是等腰三角形或是直角三角形。是等腰三角形或是直角三角形。 判斷三角形形狀時(shí)，可以將邊化到角也可以判斷三角形形狀時(shí)，可以將邊化到角也可以將角化到邊，或邊角同時(shí)互化。在轉(zhuǎn)化過(guò)程將角化到邊，或邊角同時(shí)互化。在轉(zhuǎn)化過(guò)程 中，三角形邊角具有的基本性質(zhì)不能忘記。中，三

9、角形邊角具有的基本性質(zhì)不能忘記。0180如內(nèi)角和為如內(nèi)角和為，每個(gè)內(nèi)角大于，每個(gè)內(nèi)角大于000180小于等。等。點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：03b 2bac. 且滿(mǎn)足且滿(mǎn)足 求證：求證：例四：例四：abca b c,a b c, ,內(nèi)角內(nèi)角的對(duì)邊分別是的對(duì)邊分別是22222cos222122acbacacbacacacacac(0, )b又03b 證明：證明：abc在中點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng):本題通過(guò)基本不等式的運(yùn)用構(gòu)造不等關(guān)本題通過(guò)基本不等式的運(yùn)用構(gòu)造不等關(guān)系，再利用三角形的內(nèi)角具有的范圍，得到系，再利用三角形的內(nèi)角具有的范圍，得到結(jié)論結(jié)論.060例五、例五、如圖所示，某海島上一觀察哨如圖所示，某海島上一觀察哨a上午上午

10、12時(shí)時(shí)20分測(cè)得船在海島北偏西分測(cè)得船在海島北偏西12時(shí)時(shí)40分輪船到達(dá)位于海島正西方且距海分輪船到達(dá)位于海島正西方且距海如果輪船始終勻速直線前如果輪船始終勻速直線前的的b處，處， 11時(shí)測(cè)得一輪船在海島北偏東時(shí)測(cè)得一輪船在海島北偏東 的的c處，處， 0605km島的的e港口，港口， 進(jìn)，問(wèn)船速多少？進(jìn)，問(wèn)船速多少？ 分析：分析：已知從已知從c到到b及及b到到e的時(shí)間，要知船速度，的時(shí)間，要知船速度，只需知道只需知道cb,be或或ce中的任一長(zhǎng)度即可。中的任一長(zhǎng)度即可。題中只知題中只知ae=5km，那么只要將已知長(zhǎng)度的，那么只要將已知長(zhǎng)度的邊長(zhǎng)和需要計(jì)算的那個(gè)邊長(zhǎng)納入到同一個(gè)三邊長(zhǎng)和需要計(jì)算

11、的那個(gè)邊長(zhǎng)納入到同一個(gè)三角形中，或是通過(guò)間接的途徑納入到同一個(gè)角形中，或是通過(guò)間接的途徑納入到同一個(gè)三角形中，再通過(guò)正弦定理或余弦定理進(jìn)行三角形中，再通過(guò)正弦定理或余弦定理進(jìn)行計(jì)算即可。計(jì)算即可。解：輪船從解：輪船從c到到b用時(shí)用時(shí)80分鐘分鐘， 從從b到到e用時(shí)用時(shí)20 分鐘，分鐘， 而船始終勻速前進(jìn)，由此而船始終勻速前進(jìn)，由此 可見(jiàn)：可見(jiàn)： 4bceb，ebx4bcx0030 ,150baeeac設(shè)設(shè)，則，則，由已知得，由已知得 在在aec中，由正弦定理中，由正弦定理 sinsinsinsinecaeaeeacceaccec05sin150152xxabc0014sin4 32sin3si

12、n120sin12032xbcabbccxabc 在在中，由正弦定理得：中，由正弦定理得：abe22202cos30beabaeab ae在在中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：164 333131252 5,33233be 故所以船速所以船速3139313bevt 六、高考題再現(xiàn)：六、高考題再現(xiàn)： coscossin ,ab ba cc( 3, 1),(cos,sin),mnaa, ,abca b c為 ,mn1.（2008山東理）已知已知的對(duì)邊，向量的對(duì)邊，向量若若且且則角則角b= 三個(gè)內(nèi)角三個(gè)內(nèi)角,m0.mnn 得到分析：由分析：由轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題。轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題。2.（2009全國(guó)理）在在abc中，內(nèi)角中，內(nèi)角a、b、c的對(duì)邊的對(duì)邊 長(zhǎng)分別為長(zhǎng)分別為, , .abc已知已知222 ,sincos3cossin,acbacac且求求b.分析：求邊長(zhǎng)，考慮將角向邊轉(zhuǎn)化。分析：求邊長(zhǎng)，考慮將角向邊轉(zhuǎn)化。3.（2009浙江理）在在abc中，三個(gè)內(nèi)角中，三個(gè)內(nèi)角, ,a b c所對(duì)的邊分別為所對(duì)的邊分別為, , .abc且滿(mǎn)足且滿(mǎn)足cos2a2 5,3.5ab ac (1)求求abc的面積；的面積；（2