圓弧齒形單螺桿式水力機(jī)械的嚙合原理及應(yīng)用-《學(xué)報(bào)版本》修改稿

1、8文章編號(hào)：收稿日期：基金項(xiàng)目：中國(guó)石化股份公司科技攻關(guān)項(xiàng)目（P12133）。第一作者：李增亮（1962-），男（漢族），山東昌邑人，教授，博士，博士生導(dǎo)師，從事石油機(jī)械教學(xué)及科研工作。圓弧齒形單螺桿式水力機(jī)械的嚙合原理及應(yīng)用李增亮1，石白妮1，魯佳琪2 （1.中國(guó)石油大學(xué)（華東），機(jī)電工程學(xué)院，山東 青島 266580；2.中石油西南管道公司，四川 成都 610041）摘要：分析了用于單螺桿式水力機(jī)械的圓弧齒形成形原理；根據(jù)成形原理提出了原始齒形曲線方程；闡述了求共軛齒形曲線的內(nèi)滾包絡(luò)法和齒廓法線法，并應(yīng)用該兩種方法求得了共軛齒形的方程；對(duì)圓弧齒形的定轉(zhuǎn)子斷面面積、過(guò)流面積以及齒形曲率進(jìn)行了

2、分析計(jì)算；應(yīng)用圓弧齒形進(jìn)行了螺桿泵實(shí)例設(shè)計(jì)，并給出該實(shí)例螺桿泵的設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)以及特性參數(shù)；同時(shí)對(duì)該實(shí)例進(jìn)行了容積效率預(yù)測(cè)。結(jié)果表明：文中給出的圓弧齒形的原始齒形曲線方程、共軛齒形曲線方程、定轉(zhuǎn)子斷面面積以及過(guò)流面積計(jì)算公式是正確可用的，實(shí)例中螺桿泵的預(yù)測(cè)容積效率曲線滿足一般螺桿泵的性能要求。關(guān)鍵詞：圓弧齒形；極坐標(biāo)；復(fù)矢量；內(nèi)滾包絡(luò)法；齒廓法線法；過(guò)流面積；曲率；容積效率中途分類號(hào)： 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Meshing Theory and Application of Arc Tooth Profile for Single Screw Hydraulic Machinery LI Zeng-lian

3、g1，SHI Bai-ni1，LU Jia-qi2(1.College of Mechanical Electronic Engineering in China University of Petroleum,Qingdao 266580,China;2.PetroChina Southwest Pipeline Company,Chengdu 610041,China)Abstract: The original tooth profile forming principle of the arc tooth profile used in single-screw hydraulic m

4、achinery was analyzed. The formula of original tooth profile was proposed. Two methods of solving conjugate tooth profile using the inside rolling envelope method way and the tooth profile normal line way were expounded, and the solving process and equation were given. The flow area of the circular

5、arc tooth profile and the curve curvature were analyzed. Using the circular arc tooth profile, this paper designed a screw pump example and present the design,structure and performance parameters of the circular arc tooth profile screw pump and predict the example performance. The result shows that

6、the original tooth profile equation of the circular arc tooth profile and the conjugate tooth profile curve equation is correct, and the theoretical volume efficiency of the designed screw pump example exceeds 97% in working pressure difference, meets the performance requirements for general screw p

7、ump.Key words: arc tooth profile; polar coordinates; complex vector; the inside rolling envelope method; the tooth profile normal line method; flow area; curvature; volumetric efficiency單螺桿式水力機(jī)械在石油石化行業(yè)中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，在潤(rùn)滑系統(tǒng)、固液混輸、油氣混輸、螺桿泵人工舉升系統(tǒng)以及井下動(dòng)力螺桿鉆具方面都有重要應(yīng)用1-4。近年來(lái)更是展開(kāi)了螺桿機(jī)械在分層注水方面的一系列研究。在螺桿式水力機(jī)械的設(shè)計(jì)中，螺桿馬

8、達(dá)與螺桿泵往往是該系統(tǒng)的核心部件，其定、轉(zhuǎn)子齒形的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了該型機(jī)械的設(shè)計(jì)水平5-7。國(guó)外較常用的斷面齒形主要為普通內(nèi)擺線等距型8-9，但該種線型共軛骨線副上存在不可避免的曲率半徑為零的點(diǎn)，等距線型存在打扣現(xiàn)象，磨損較快，影響壽命。國(guó)內(nèi)主要以萬(wàn)邦烈教授提出的短副內(nèi)擺線等距型、短幅外擺線等距型為主，短副內(nèi)擺線嚙合特性優(yōu)良，但齒形過(guò)流面積受限；短副外擺線等距型表現(xiàn)出較好的工作性能，但參數(shù)取值范圍過(guò)小，不適合多頭螺桿機(jī)械的設(shè)計(jì)制造10-12。文中提出的圓弧齒形，雖有文獻(xiàn)提及，但沒(méi)有相關(guān)的系統(tǒng)的設(shè)計(jì)思路、方程的推演過(guò)程以及齒形性能分析。該種齒形的原始齒形由兩段外切的圓弧組成，用圓弧代替擺線，使得原始齒

9、形的設(shè)計(jì)、加工和制造都簡(jiǎn)化了許多，同時(shí)通過(guò)內(nèi)滾包絡(luò)法和齒廓法線法分別分析計(jì)算了其共軛齒形，并給出了設(shè)計(jì)實(shí)例，該種齒形是能夠應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)際的。1 原始齒形曲線1.1 兩圓的極坐標(biāo)方程如圖1所示，該齒形的原始齒形曲線由兩段外切的圓弧組成，外凸的圓稱為凸圓，內(nèi)凹的圓稱為凹圓，設(shè)螺桿線數(shù)為，定子線數(shù)為，設(shè)兩圓心與原點(diǎn)連線的夾角為，即在一個(gè)圓周中形成個(gè)齒瓣，求得該角度內(nèi)的原始齒瓣曲線，通過(guò)坐標(biāo)變換就可以得到其余齒瓣曲線。極坐標(biāo)用極徑和極角來(lái)表示點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置，由圓的極坐標(biāo)表達(dá)式可知：當(dāng)圓心極坐標(biāo)為，半徑為時(shí)，圓在極坐標(biāo)系中的表達(dá)式為： （1）圖1 圓弧齒形的原始齒形曲線Fig1 Original a

10、rc tooth profile curve 那么設(shè)凸圓半徑為，圓心極坐標(biāo)，凹圓半徑，圓心極坐標(biāo)，將上述已知條件帶入（1）式，可得到兩圓極徑為： （2） （3）1.2 兩圓外切的充要條件在兩圓的極坐標(biāo)方程中存在四個(gè)變量：分別為兩圓半徑和兩圓圓心到原點(diǎn)的距離。在已知后，求在角度內(nèi)與凸圓相切的凹圓半徑，必須滿足兩圓外切的充要條件：。由余弦定理可知： （4）從而： （5）1.3 兩圓外切時(shí)的臨界角 當(dāng)凸圓與凹圓外切時(shí)，切點(diǎn)為，與軸的夾角定義為外切臨界角，此時(shí)和互為補(bǔ)角，根據(jù)正弦定理有： （6） （7） 聯(lián)立（6）、（7）求解： （8） 臨界角是關(guān)于的函數(shù)，當(dāng)以上變量確定時(shí)，兩圓外切臨界角是一個(gè)定值。

11、1.4 原始齒形曲線方程 根據(jù)以上分析可以得到原始齒形曲線方程： （9） 在復(fù)坐標(biāo)系下的復(fù)矢量形式為： （10）2 內(nèi)滾包絡(luò)法求解的運(yùn)動(dòng)方程和共軛齒形曲線平面行星運(yùn)動(dòng)可以看做為兩個(gè)瞬心圓的相對(duì)純滾動(dòng)13-15，假設(shè)發(fā)生線做如下行星運(yùn)動(dòng)：偏心距為，以的包心法導(dǎo)圓做動(dòng)瞬心圓，帶著沿定瞬心圓做相對(duì)純滾動(dòng)，其本質(zhì)等價(jià)于兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的疊加。 圖2 內(nèi)滾法原理圖 Fig2 The theory of inside rolling envelope method 圖3 由內(nèi)滾法生成的包絡(luò)區(qū) Fig3 Envelope area is generated by the inside rolling envelop

12、e method 如圖2，繞點(diǎn)自轉(zhuǎn)，自轉(zhuǎn)角為，是時(shí)間和角速度的函數(shù)。同時(shí)繞定坐標(biāo)系原點(diǎn)做半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，即繞著做偏心距為的公轉(zhuǎn)，其公轉(zhuǎn)角為,二者運(yùn)動(dòng)方向相反，則轉(zhuǎn)子齒形的運(yùn)動(dòng)方程為： （11） 求原始齒形曲線運(yùn)動(dòng)方程的意義在于可以得到原始齒形做行星運(yùn)動(dòng)任意時(shí)刻的位置，從而由該運(yùn)動(dòng)方程得到齒形做行星運(yùn)動(dòng)時(shí)的包絡(luò)區(qū)，如果為3頭圓弧齒形，則其通過(guò)運(yùn)動(dòng)方程得到的包絡(luò)區(qū)如圖3陰影所示，包絡(luò)區(qū)的外包絡(luò)線即是要求的共軛齒形曲線。 關(guān)于具有兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，根據(jù)曲線包絡(luò)的定義，轉(zhuǎn)子處于某一位置時(shí)轉(zhuǎn)子骨線的切向矢量必須與轉(zhuǎn)子上某點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度矢量平行，即應(yīng)沿著定子邊界的切向，是求定子邊界的必要條件。 圖4 復(fù)矢量

13、的平行Fig4 Parallel of complex vector如圖4，根據(jù)復(fù)矢量的性質(zhì)：若有復(fù)矢量和，定義為的共軛復(fù)矢量(矢量實(shí)部相等，虛部相反)，作運(yùn)算，如果虛部系數(shù)為0，則表明轉(zhuǎn)過(guò)了的幅角之后矢量落在了實(shí)軸上，即。 （12） （13） （14） 設(shè)上式虛部系數(shù)為零，同時(shí)令、，化簡(jiǎn)得到下式： （15）解方程即可得到共軛齒形曲線轉(zhuǎn)角和原始齒形曲線轉(zhuǎn)角的關(guān)系： （16）聯(lián)立（10）、（16）即可得到共軛齒形曲線的復(fù)矢量方程。基于包絡(luò)原理的包絡(luò)法求解過(guò)程體現(xiàn)了形成嚙合齒形的根本原理，但求解過(guò)程較為復(fù)雜。3 齒形法線法求共軛齒形曲線 基于嚙合原理的齒形法線法相比包絡(luò)法較為簡(jiǎn)便，更適用于工程實(shí)際

14、16-18。 （a） （b）圖5 齒形法線法原理圖Fig5 The theory of the tooth profile normal method設(shè)坐標(biāo)系為定坐標(biāo)系，與輪1和輪2固連的坐標(biāo)系、分別為動(dòng)坐標(biāo)系。為輪1上的原始齒形曲線，為兩輪的節(jié)點(diǎn)。如圖5（a），齒形上的接觸點(diǎn)的法線通過(guò)節(jié)點(diǎn)，點(diǎn)是齒形上任一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作齒形的法線，與輪1的節(jié)圓交于點(diǎn)。當(dāng)成為接觸點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與節(jié)圓重合，假設(shè)固連在輪1上的動(dòng)坐標(biāo)系連同齒形沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)角度，設(shè)坐標(biāo)為，為齒形在點(diǎn)的切線與軸的夾角。由兩圓在直角坐標(biāo)系中的參數(shù)方程（17）可得圓弧齒形切線的斜率如式（18）： （17） （18）在中: （19）又已知點(diǎn)的坐標(biāo)

15、值以及齒廓的斜率，可以求得法線方程，由點(diǎn)到直線的距離方程可以求得： （20） 聯(lián)立（18）、（19）可以得到的計(jì)算公式： （21）這樣便確定了點(diǎn)位置與齒形轉(zhuǎn)角間的關(guān)系。將接觸點(diǎn)坐標(biāo)變換到與輪2固連的動(dòng)坐標(biāo)系中，就可求得共軛齒形的表達(dá)式。首先將點(diǎn)坐標(biāo)變換到靜坐標(biāo)系中，得到，由坐標(biāo)變化的矩陣公式可知： （22）在對(duì)應(yīng)用坐標(biāo)變換公式求得其在動(dòng)坐標(biāo)系中的表達(dá)式，為輪2相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)的角度，在螺桿泵中轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)方向相反，則令，： （23） 所以輪2的坐標(biāo)系和輪1坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)關(guān)系變化如下：（24） 所以得到與共軛的齒廓方程：（25） 即：（26）4 圓弧齒廓參數(shù)分析4.1 過(guò)流面積計(jì)算 轉(zhuǎn)子斷面齒形的

16、面積為： （27） 由正玄定理可知： （28） （29） （30） 聯(lián)立以上四式（27）、（28）、（29）、（30），即可求得轉(zhuǎn)子斷面面積。在實(shí)際求解過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，積分求解定子斷面面積公式非常復(fù)雜，沒(méi)有工程實(shí)用價(jià)值，研究分析中發(fā)現(xiàn)圓弧共軛齒形的形狀基本上由凸圓頂點(diǎn)決定，該頂點(diǎn)初始極坐標(biāo)為，所以在簡(jiǎn)化求解定子斷面面積的時(shí)候可以近似考慮為凸圓齒形頂點(diǎn)做行星運(yùn)動(dòng)之后形成的外包絡(luò)。其復(fù)矢量方程為： （31）圖6 復(fù)矢量求面積Fig6 To solve the area using complex vector如圖6所示，設(shè)復(fù)平面中有復(fù)矢量，參數(shù)增大時(shí)，有增量，則微分三角形的面積可由式（32）求得。 （

17、32） 沿著封閉曲線積分，可得到曲面所圍成的面積： （33）其中，是的共軛復(fù)矢量。根據(jù)以上方法求得定子的近似斷面面積為： （34）則過(guò)流面積為： （35） 4.2 曲率半徑分析圓弧齒形不僅齒形簡(jiǎn)單，而且曲率容易控制。傳統(tǒng)擺線線型的曲率半徑基于很多變量，如導(dǎo)圓半徑、滾圓半徑、頭數(shù)、偏心距以及等距圓半徑。所以使用擺線線型設(shè)計(jì)時(shí)，必須考慮曲線曲率半徑取零時(shí)各參數(shù)的極限值，這樣才可以得到圓滑的擺線曲線。而圓弧線型因?yàn)樵箭X形由兩段圓弧相切組成，所以曲率半徑分別為圓弧半徑，通過(guò)調(diào)整圓弧半徑，可以得到接觸效果非常好的原始齒形，這也是擺線線型無(wú)法比擬的優(yōu)勢(shì)。5 圓弧齒形螺桿泵設(shè)計(jì)實(shí)例5.1 實(shí)例的參數(shù)設(shè)計(jì)設(shè)

18、計(jì)采油用圓弧齒形螺桿泵，流量為，輸送油液密度為，泵外徑，單級(jí)增壓值設(shè)為，級(jí)數(shù)為7級(jí)，偏心距為，凸圓與凹圓半徑分別為，兩圓心距離原點(diǎn)的距離分別為，同時(shí)設(shè)容積效率，機(jī)械效率，則該型螺桿泵的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)如下表所示：表1 圓弧齒形螺桿泵設(shè)計(jì)參數(shù)Table1 The parameters of arc tooth profile for screw pump 頭數(shù)比定子導(dǎo)程/mm過(guò)流面積/mm2轉(zhuǎn)速/(r·min-1)軸向力/KN轉(zhuǎn)矩/(N·m)3:4 480112243.410.21785.2 實(shí)例的容積效率曲線預(yù)測(cè) 傳統(tǒng)螺桿泵常根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式（36）來(lái)初步估計(jì)設(shè)計(jì)泵性能18，該公式

19、只與泵的結(jié)構(gòu)參數(shù)以及定轉(zhuǎn)子的配合間隙有關(guān)，與所采用線型無(wú)關(guān)，所以可以用它來(lái)進(jìn)行圓弧齒形螺桿泵容積效率的預(yù)測(cè)。 （36） 式中，為容積損失系數(shù)，此處取為，為油液密度，為轉(zhuǎn)速，為定子導(dǎo)程，為轉(zhuǎn)子斷面直徑，為偏心距，為與套橡膠層厚度有關(guān)的常數(shù)，選取為，為襯套有效長(zhǎng)度，為螺桿襯套初始過(guò)盈值，此處選取，為襯套用橡膠的彈性模量，為與橡膠彈性模量有關(guān)的常數(shù)，選取為。圖7 容積效率曲線的預(yù)測(cè)Fig7 The prediction of volumetric efficiency curve由圖7的預(yù)測(cè)曲線可知，泵增壓值由增大到時(shí)，容積效率接近100%，處于高效區(qū)，以后容積效率顯著降低，但在設(shè)計(jì)壓差下容積效率依

20、然保持在97%以上，說(shuō)明該例設(shè)計(jì)能夠滿足設(shè)計(jì)要求。6 結(jié)束語(yǔ) 推導(dǎo)了圓弧線型的原始齒形曲線方程。分別用內(nèi)滾包絡(luò)法與齒廓法線法求得了圓弧線型的共軛齒形曲線方程。分別推導(dǎo)了轉(zhuǎn)子、定子的斷面面積計(jì)算方程，以及定轉(zhuǎn)子嚙合時(shí)的過(guò)流面積。進(jìn)行了圓弧齒形螺桿泵的實(shí)例設(shè)計(jì)，并對(duì)設(shè)計(jì)實(shí)例容積效率曲線進(jìn)行了預(yù)測(cè)，結(jié)果表明該設(shè)計(jì)實(shí)例能夠滿足一般螺桿泵的性能要求。參 考 文 獻(xiàn)1 徐敏，陳家慶，王麗，周海. 螺桿式水力機(jī)械及其在石油石化行業(yè)中的應(yīng)用J. 北京石油化工學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，01：1-7. XU Min，CHEN Jia-qing，WANG Li，et al. Screw-type hydraulic ma

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