經(jīng)典力學(xué)_王其申_動量和牛頓定律

1、第二章  動量和牛頓定律2.1.1 一質(zhì)量為的質(zhì)點在平面上運動，其運動方程為，其中A、B和均為正常數(shù)，則該質(zhì)點在任意位置處所受合外力為多少？2.1.2 一汽艇質(zhì)量為，關(guān)閉發(fā)動機后由于慣性繼續(xù)前進，前進時受到與速度成正比的河水阻力，比例常數(shù)為。若該汽艇先以恒定的速度向岸邊靠攏，問它應(yīng)當(dāng)在離岸多遠(yuǎn)處關(guān)閉發(fā)動機，才能在到達岸邊時恰好停下來（速度無限接近于零）。2.1.3 一輛裝煤車以的速度從煤斗下面通過，煤粉通過煤斗以每秒5t的速率注入車廂。如果車廂的速率保持不變，車廂與鋼軌間摩擦忽略不計，求牽引力的大小。2.1.4 質(zhì)量為的小球在水平面內(nèi)作速率為的勻速圓周運動，試求小球在經(jīng)過：（1）圓周

2、，（2）圓周，（3）圓周，（4）整個圓周的過程中的動量改變。試從沖量的計算得出結(jié)果。2.1.5 某物體上有一變力作用，它隨時間的變化關(guān)系如下：在內(nèi)， F均勻地由0增加到20N；又在以后內(nèi)，F(xiàn)保持不變；再經(jīng)，F(xiàn)又從20N均勻地減少到0。（1）畫出F-t圖；（2）求這段時間內(nèi)力的沖量及力的平均值；（3）如果物體的質(zhì)量為3kg，開始速度為，與力的方向一致，問在力剛變?yōu)?時，物體速度多大？2.1.6 如圖所示，一個質(zhì)量為的物體拴在長為的輕繩上，繩的另一端固定在一個水平光滑桌面的釘子上。另一物體質(zhì)量為，用長為的繩與連接。二者均在桌面上做勻速圓周運動，假設(shè)、的角速度為，求各段繩子上的張力。2.2.1 美麗

3、的土星環(huán)在土星周圍從離土星中心是73000km延伸到距土星中心136000km。它由大小從m到10m的粒子組成。若環(huán)的外緣粒子的運行周期是14.2h，那么由此可求得土星的質(zhì)量是多大？2.2.2 如果在土星的赤道上放置一顆同步衛(wèi)星，這衛(wèi)星應(yīng)在土星表面以上多高處？它發(fā)射的雷達波（沿直線傳播）能覆蓋土星表面多大面積？已知土星質(zhì)量為，半徑為，自轉(zhuǎn)周期為10h。2.2.3 證明：一個密度均勻的星體由于自身引力在其中心處產(chǎn)生的壓強為：，其中分別是星體的密度和半徑。2.2.4 以繩沿水平方向用為牽引質(zhì)量為m的物體，不計繩質(zhì)量和摩擦，求繩內(nèi)A、B兩點處張力。若計繩質(zhì)量呢？   &

4、#160;          （2.4.4圖）              （2.4.5圖）                   （2.2.6圖）2.2.5 用一輕繩在天花板O點懸掛一重的物體，并在A處

5、施以向上的力，物體保持靜止。求：天花板作用于繩的力B及C點的張力。2.2.6 用力推水平地面上一質(zhì)量為M的木箱。設(shè)力與水平面的夾角為，木箱與地面間的滑動摩擦系數(shù)和靜摩擦系數(shù)分別為和。（1）要推動木箱，至少應(yīng)多大？此后維持木箱勻速前進，應(yīng)需多大？（2）證明當(dāng)角大于某一值時，無論用多大的力也不能推動木箱。此角是多大？2.2.7 設(shè)質(zhì)量的小球掛在傾角的光滑斜面上。（1）當(dāng)斜面以加速度沿如圖所示的方向運動時，繩中的張力及小球?qū)π泵娴恼龎毫Ω魇嵌啻螅浚?）當(dāng)斜面的加速度至少是多大時，小球?qū)⒚撾x斜面？2.2.8 質(zhì)量為的小球沿半球形碗的光滑內(nèi)面，正以角速度在一水平面內(nèi)作勻速圓周運動，碗的半徑為R，求該小球

6、作勻速圓周運動的水平面離碗底的高度。2.2.9 長為的細(xì)繩（質(zhì)量不計）一端固定，另一端系一小球。當(dāng)小球處于平衡位置時，給以一個水平的初速度，要使小球沿圓周運動而繩不會松弛，值應(yīng)為多大？2.2.10 在半徑為的光滑球面的頂點處，一質(zhì)點開始滑落，取初速度接近于零。試問質(zhì)點滑到頂點以下多遠(yuǎn)的一點時，質(zhì)點離開球面？2.2.11 圖中A為定滑輪，B為動滑輪，3個物體的質(zhì)量分別為：、     （1）求每個物體的加速度；     （2）求兩根繩中的張力和。假定滑輪和繩的質(zhì)量以及繩的伸長和摩擦力均可忽略。2.3.1 水以的流速向東

7、流動，游船相對水以的航速在向東偏北的方向上航行，一游客在甲板上以的步速向正北方向行進。試求游客對岸的速度。2.3.2 飛機A以的速率（相對地面）向南飛行，同時另一架飛機B以的速率（相對地面）向東偏南方向飛行。求A機相對B機的速度與B機相對A機的速度。2.3.3 一人能在水中以的速度劃船前進。今欲橫渡一寬為400m，水流速度為的大河。（1）倘若要從出發(fā)點橫渡過河而到達對岸的一點，那應(yīng)如何確定劃行方向？到達對岸需多少時間？（2）如果希望用最短的時間過河，應(yīng)如何確定劃行方向？船到達對岸的位置在什么地方？2.3.4 飛機以速度水平飛入無風(fēng)的雨區(qū)內(nèi)，雨點以速度垂直落下。駕駛艙有兩塊面積各為S的玻璃窗，一

8、窗在駕駛員上方，一窗在駕駛員前方與水平方向夾角為，試求飛機進入無雨區(qū)后落在前方和上方兩扇玻璃窗上的雨量之比是多少？2.3.5 設(shè)有一架飛機從A處向東飛到B處，然后又向西飛回A處，飛機相對于空氣的速率為，而空氣相對于地面的速率為，A、B之間的距離為，飛機相對空氣的速率保持不變。（1）假定空氣是靜止的（即=0），試證來回飛行時間為；（2）假定空氣的速度向東，試證來回飛行的時間為；（3）假定空氣的速度向北，試證來回飛行的時間為。2.3.6 一小船被水沖走，被發(fā)現(xiàn)后用繩將它從河中B處拉回到岸邊A處。假定河水流速沿河寬不變，恒為；拉船時收繩速率恒為。求小船的運動速度和運動軌跡。2.3.7 一電梯以1.2

9、的加速度下降，其中一乘客在電梯開始下降后0.5s時用手在離電梯底板1.5m高處釋放一小球。求此小球落到底板所需的時間和它對地面下落的距離。2.3.8 一電梯以加速度a勻加速上升，當(dāng)上升速度達到時，有一螺釘自天花板松落。天花板與電梯底面間相距為d。試求：（1）螺釘從天花板落到底板所需時間；（2）這段時間內(nèi)螺釘相對地面的位移。2.3.9 一平臺繞固定在地面上的豎直軸以勻角速度旋轉(zhuǎn)。一動點P在平臺從轉(zhuǎn)軸處出發(fā)，以定速度沿一半徑向外運動。求這個動點相對于平臺和相對于地面的速度、加速度和運動軌跡。2.4.1 三艘質(zhì)量相等的小船魚貫而行，速度均等于。如果從中間那艘船上同時以相對中間船速度u把兩個質(zhì)量均為m

10、的物體分別拋到前后兩艘船上，速度u的方向和速度在同一直線上。問拋擲物體后這三艘船的速度如何變化？2.4.2 如圖，一浮吊，質(zhì)量M=20t，由岸上吊起m=2t的重物后，再將吊桿OA與豎直方向的夾角由轉(zhuǎn)到，設(shè)桿長，水的阻力與桿重忽略不計。求浮吊在水平方向移動的距離，并指明朝那邊移動。2.4.3 如右圖，一繩跨過一定滑輪，兩端分別拴有質(zhì)量為m及M的物體，M大于m。靜止于地面上，當(dāng)m自由下落距離h后，繩子才被拉緊。求繩子剛被拉緊時兩物體的速度，以M及能上升的最大高度H。2.4.4 質(zhì)量為M的人手里拿著一個質(zhì)量為m的物體，此人用與水平面成角的速率水平向前跳去，當(dāng)他達到最高點時，將物體以相對于人的速率u

11、水平向后拋出。問：由于人拋出物體，他跳的距離增加了多少？假如人可視為質(zhì)點。2.4.5 一靜止的放射性原子核，在衰變過程中放射一個電子和一個中微子，電子和中微子的速度互相垂直，電子的動量為1.2，中微子的動量為6.4，求原子核放射性衰變后反沖動量的大小和方向。2.4.6 水分子的結(jié)構(gòu)如圖，兩個氫原子與氧原子的中心距離都是0.0958nm，它們與氧原子中心連線的夾角為，求水分子的質(zhì)心。2.4.7 如圖，和用質(zhì)量可略去不計的剛性細(xì)桿相連接，和分別為10kg和6kg。開始時它們靜止在xy平面上，它們受到如圖所示的外力作用，=8N, =6N。試求：（1）它們的質(zhì)心坐標(biāo)隨時間的變化規(guī)律；（2）系統(tǒng)總動量隨

12、時間的變化規(guī)律。2.4.8 試證：相互作用的兩個質(zhì)點A和B，在不受外力作用時，質(zhì)點A相對于質(zhì)點B的運動，相當(dāng)于把B看成在慣性系中不動時另一個質(zhì)量為M=的質(zhì)點相對它的運動，其中. 分別是質(zhì)點A和B的質(zhì)量，M稱為這兩個質(zhì)點的折合質(zhì)量。2.4.9 人從高臺跳下地時，總是不自覺地先彎腿再站起來，為什么？2.4.10 鐵路上有一平板車，其質(zhì)量為M，設(shè)平板車可無摩擦地在水平軌道上運動。現(xiàn)有N個人從平板車的后端跳下，每個人的質(zhì)量均為m，相對平板車的速度均為。問在下述兩種情況下，平板車的末速度是多少？（1）N個人同時跳離；（2）一個人、一個人跳離。所得的結(jié)果為何不同？2.4.11 在太空中靜止的一單級火箭，點

13、火后，其質(zhì)量減少到與初質(zhì)量之比為多大時，它噴出的廢氣是靜止的？2.4.12 有一輛總質(zhì)量為M的裝滿沙子的小車，車下有一可調(diào)節(jié)的小孔。當(dāng)小車在恒力作用下開始運動時，沙子從小孔漏出，且每秒均勻漏出克，若小車與地面的摩擦不計。試求小車的速度和加速度。 2.4.13火箭是依靠自己所載燃料燃燒后，從尾部向后方噴出高速氣流而加速運動的，設(shè)火箭噴氣速率（相對于火箭）為u，不計重力和阻力。（1）試建立火箭的運動微分方程；（2）若火箭從發(fā)射架上由靜止出發(fā)噴氣上升，噴氣速率u=3000m/s，出發(fā)時火箭總質(zhì)量為=1t，其中儲有燃料500kg。求燃料全部用完后火箭的速度.2.4.14質(zhì)量為的質(zhì)點，沿傾角為

14、的光滑直角劈滑下。劈的質(zhì)量為，又可在光滑水平面上自由滑動。試求：（1）質(zhì)點水平方向的加速度；    （2）劈的加速度。 思考題1.           物體速度的改變有哪幾種情況？在各種情況中，合外力對物體作用的方向怎樣？2.           汽車靠地面的摩擦力才能前進，但地面的摩擦力又阻礙它的運動，這個矛盾應(yīng)如何解釋？3.  

15、60;        “蘋果落到地面上而不是地球向上去碰蘋果，唯一的理由是因為地球的質(zhì)量大得多，所以蘋果受到較大的力”，你對這一論述是否同意，并說明你的理由。4.           分析兩人拔河時，繩和人的受力情況。為什么勝方能將對方拉過來？有人說由于勝方對負(fù)方的作用力大于負(fù)方的作用力，對嗎？5.           用桶裝雨

16、，當(dāng)刮風(fēng)時與不刮風(fēng)時，哪一種情況能快些裝滿？設(shè)風(fēng)的方向與地面平行。6.           有一旅客站在火車尾廂后面平臺上，以不同的速度拋出石塊。問在鐵路路基旁的觀察者所看到這石塊的運動是怎樣的？（1）       讓石塊相對于車的水平初速度為零，垂直向下落；（2）       沿水平方向向車后擲出，使石塊相對于車的速度等于火車相對于地面的速度。7、  &#

17、160;     下雨時，設(shè)雨點相對于地面以勻速垂直下落，有人在車內(nèi)觀察雨點的運動，試說明在下列各種情況中，他所觀察到的結(jié)果。（1）車是靜止的；（2）車以勻速沿平直軌道運動；（3）車以加速度沿平直軌道運動；（4）車以勻速率作圓周運動。8、        如果火箭中從后面噴出的氣體的速度小于火箭本身的速度，火箭的速度能否增加？設(shè)空氣對火箭的阻力可忽略。9、        彈簧振子在水平方向作簡諧振動（彈簧力屬于該系統(tǒng)的

18、內(nèi)力），重物的速度隨時間作周期性的變化。這與動量守恒定率是否相矛盾？10、    把一塊很長的木塊安裝上輪子，放在光滑的平面上。有兩人站在板上從板的兩端相向行走，在下述的三種情況中，木板向哪個方向運動？（1）       兩人質(zhì)量相同，速度的大小相同；（2）       兩人的質(zhì)量不同，而速度的大小不同；（3）       質(zhì)量相同，而速度大小不同。11、  

19、0; 在地面上空停著一個氣球，在氣球下面吊著的軟梯上站著一人，當(dāng)這個人沿著軟梯往上爬時，（1）氣球是否運動？怎樣運動？（2）對于人和氣球所組成的系統(tǒng)，在鉛直方向上的動量是否守恒？12、    從大船跳上岸容易，還是從小船跳上岸容易？在這兩種情況下，人和船所組成的系統(tǒng)動量變化是否相等？第二章 動量和牛頓第二定理2.1.1 解： 、其中“”表示方向與方向相反，即指向O點。2.1.2 解：法一：汽艇的運動方程： 積分：. 當(dāng) 故關(guān)閉發(fā)動機時離岸的距離： 法二： 時S=0，V=0時汽艇移動的距離S，得2.1.3 解：煤粉落入車廂前的水平速率為零 2.1.4解；如圖所示，取

20、坐標(biāo)，有 =2.1.5 圖略（2）即面積力的方向不變（3）2.1.6解：對，由牛頓第二定律：對，由牛頓第二定律：2.1.72.2.12.2.22.2.32.3.1解：以表示土星的外緣上一粒子的質(zhì)量，表示土星的質(zhì)量，由萬有引力和牛頓第二定律： 2.3.2解：以表示同步衛(wèi)星距土星中心的距離則由引力定律和牛頓第二定律得：其發(fā)射雷達波的覆蓋的面積為：2.3.3證明：設(shè)距中心處厚為，底面積為的一塊物質(zhì)，其質(zhì)量為，它受內(nèi)部球體引力為：對的壓強為：2.3.4解：取物體與繩為隔離體。取水平坐標(biāo)軸ox，有： 在A點作假想截面，取A點左邊的繩和物體一起視為隔離體(不計繩子質(zhì)量) 同理： 若計入繩子質(zhì)量， 2.3.

21、5解：以物體和懸繩為隔離體，取向上為正，有 在B點作假象截面，取其上部為隔離體，有： 在C點作假象截面，取其下部為隔離體，有： 2.3.6解：（1）以木箱為研究對象，建立直角坐標(biāo)系，由牛頓第二定律得： x方向： y方向： 其中 在木箱作勻速運動情況下，如上，得：（2）在式中，若，則，即力要無限大，所以條件是： 則最小值為2.3.7解：以小球為研究對象，建立直角坐標(biāo)系，由牛頓第二定律，有：x方向： y方向： 由牛頓第三定律，小球?qū)π泵娴膲毫Γ?）小球剛脫離斜面時，則 2.3.8解：以小球為研究對象，建立直角坐標(biāo)系，由牛頓第二定律，得：水平方向： 豎直方向：離碗底高度： 2.3.9解：建立自然坐標(biāo)

22、系，列出小球運動方程： (1) (2)而積分： (3)由(2)(3)消去: 要使小球沿圓周運動而細(xì)繩不會松弛，須而 *由(2)(3)消去v: *（ *,*都為小球沿圓周運動的條件，*為下半圓周運動條件,*為整個圓周運動條件。）2.3.10解：設(shè)在相對于豎直直徑為角的球面處離開球面，在自然坐標(biāo)系中 法線方向： 而, 切線方向： 兩邊各乘,得： 即當(dāng)時，可得當(dāng)時，綜合法向、切向可得 2.3.11解：對地面參考系，oy軸向下為正，設(shè)三物體的對地加速度分別為它們各自受力如圖，以表示對于滑輪B的加速度，則： 對分別列出牛頓第二定律方程： 又滑輪B質(zhì)量可忽略，所以聯(lián)立解得2.5.1解：以后船與中間船上拋出

23、的為系統(tǒng)，動量守恒：以前船與中間船上拋出的為系統(tǒng)，動量守恒：以三船及兩為系統(tǒng)，動量守恒： 2.5.2 解：選取地面為參考系，因水的阻力不計，因而浮吊水平方向動量守恒：設(shè)浮吊M以速度V向岸邊靠攏，重物m以相對浮吊速度u向水運動，由動量守恒定律： 由，（S為M對岸移動距離，s為m對M移動距離） 積分得： 2.5.3解：由自由落體，下降的速度為：根據(jù)動量守恒定律： 重力與相比可忽略，同時將m ，M 與地球看成一個系統(tǒng)，與作功之和為零，只有重力作功，機械能守恒： 注：過程為三段：m自由下落剛達h，此時速率為v 繩子拉緊，經(jīng)過t后，M與m剛達相同速率 M上升達最大高度H2.5.4 解：分三個過程考慮，第

24、一過程，人與物體一起作斜拋運動，達最高點速率為：， 若人不拋出物體，剛落在離出發(fā)點處： 第二過程，人在最高處水平向后以相對人速率u拋出物體，水平方向無外力，人 ，物體系統(tǒng)動量守恒 第三過程，人以速率作平拋運動，跳出總距離： （t等于人從出發(fā)達最高點時間） 2.5.5 解：衰變前原子核靜止，動量為零；衰變后設(shè)電子動量為，中微子動量，剩余部分動量為，衰變過程中系統(tǒng)不受外力，動量守恒：， 由幾何關(guān)系與X軸夾角： 代入得，2.5.6 解：有質(zhì)量對稱分布可知，水分子的質(zhì)心在氫原子對氧原子所張角的平分線上， 設(shè)兩氫原子的質(zhì)心在B點，距氧原子中A距離為 由質(zhì)心C定義有： 2.5.7 解：（1）設(shè)有外力作用時，質(zhì)心坐標(biāo)為： 受作用后，系統(tǒng)質(zhì)心運動定律，在OX軸上分量式為： 有對上式兩邊取積分: 將代入上式： 當(dāng)t=0時，設(shè)t=t時，質(zhì)心C的x坐標(biāo)為，對上式積分： （m）同理：質(zhì)心C坐標(biāo)與時間的函數(shù)為：（2）由動量定理： 2.5.8解：設(shè)分別是質(zhì)點A、B對某慣性系坐標(biāo)原點的位矢，分