高等數(shù)學(xué)-第9章 - (偏導(dǎo)數(shù) 全微分)

1、高等數(shù)學(xué) 課程相關(guān) 教材及相關(guān)輔導(dǎo)用書 高等數(shù)學(xué)第一版，肖筱南主編,林建華等編著, 北京大學(xué)出版社2010.8. 高等數(shù)學(xué)精品課程下冊第一版，林建華等編著,廈門大學(xué)出版社,2006.7.高等數(shù)學(xué)第七版,同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編，高等教育出版社,2014.7.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解（同濟第七版上下合訂本）同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編 高等教育出版社,2014.8.第九章 多元函數(shù)微分學(xué) 9.1 多元函數(shù)的基本概念 9.2 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 9.3 全微分全微分 9.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 9.5 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 9.6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 9.7 方向?qū)?shù)與梯度 9.8 多元函數(shù)的極值 9.9

2、 綜合例題9.2偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及計算方法 2.高階偏導(dǎo)數(shù)9.3全微分全微分 1.全微分的概念及計算方法 2.全微分在近似計算中的應(yīng)用 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)的變化率，對于多元函數(shù)同樣需要討論函數(shù)的變化率，我們常常需要研究某個受到多種因素制約的變量，在其他因素固定不變的情況下，只隨一種因素變化的變化率問題。 反映在數(shù)學(xué)上就是所謂的偏導(dǎo)數(shù)問題，現(xiàn)以二元函數(shù)為例，引入偏導(dǎo)數(shù)的概念。一、偏導(dǎo)數(shù)的定義與計算方法1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)的概念(1) f (x,y)在點在點P0(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)),(yxfz ),(00yxx則稱此極限為函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)，記為 00yyx

3、xxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx. 例如，極限(1)可以表示為 x,yxfyxxfyxfxx )(),(lim),(0000000 y,yxfyyxfyxfyy)(),(lim),(0000000即（2）偏導(dǎo)函數(shù)）偏導(dǎo)函數(shù)(3) 偏導(dǎo)數(shù)概念可推廣到二元以上的函數(shù)處處在在如如),(),(zyxzyxfu ,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 00),(),(00yyxxxxyxfyxf 00),(),(00yy

4、xxyyyxfyxf 解2偏導(dǎo)數(shù)的計算偏導(dǎo)數(shù)的計算 仍然是一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，對某一個自變量求偏導(dǎo)時，其余的自變量看作常量。 yxxz32 yxyz23 8231221 yxxz7221321 yxyz證明 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立(2)(2)求求fx (x0，y0)時，可先將時，可先將y0代入得代入得 ),(),(0 xyxf ，再求再求dxd ，即即dxyxdfdxd),(0 最后再將最后再將x0代入代入. . ,arcsin)1(),(2yxyxyxf ,)1 ,(2xxf ;),()

5、,(xdxxdfxfx211 4)1 , 2( xf例4解).1 , 2(),1 ,(xxfxf求求.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求求設(shè)設(shè)yxfyxyxyxxyyxf 例例 5 5解,)0 , 0(),(時時當(dāng)當(dāng) yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ,)()(22222yxxyy 22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ,)()(22222yxyxx (3)求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；,)0 , 0(),(時時當(dāng)當(dāng) yx按定義可知：按定義可知：xfxffxx )0

6、, 0()0 ,(lim)0 , 0(0 , 00lim0 xx yfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 , 00lim0 yy ,)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx.)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy3 . 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系例如例如,函數(shù)函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf, 但函數(shù)在該點處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導(dǎo) 連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，,),(),(,(00

7、000上一點上一點為曲面為曲面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 如圖),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo) 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).三、高階偏導(dǎo)數(shù)解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx例6具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？問題： 混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？,22yxxxu ,22yxy

8、yu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 2222yuxu. 0 2222222222)()(yxyxyxxy . 02222 yuxu解221ln(),2xy例8 證明函數(shù)ru1 0222222 zuyuxu,其中 222zyxr 滿足方程證明 ,)(212222221 zyxzyxuxzyxxu2)(2123222 2322222)( zyxxu.31523rxr 23222)( zyxxxzyxx2)(23(25222 由于函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，所以.31 ,315232252322rzrz

9、uryryu 因此222222zuyuxu 52223)(33rzyxr 033523 rrr因此函數(shù)ru1 滿足方程0222222 zuyuxu9.39.3全微分全微分一、全微分的定義一、全微分的定義二、可微的必要和充分條件二、可微的必要和充分條件三、全微分在近似計算中的應(yīng)用三、全微分在近似計算中的應(yīng)用四、小結(jié)四、小結(jié)xyxy如圖，如圖， 一邊長分別為一邊長分別為x、y的長方形金屬薄片，的長方形金屬薄片， 受熱后受熱后在長和寬兩個方向上都發(fā)生在長和寬兩個方向上都發(fā)生變化，分別為變化，分別為x、y，那么，那么該金屬薄片的面積該金屬薄片的面積A改變了多少？改變了多少？xy)yy)(xx(Ayxy

10、xxyA稱為面積函數(shù)稱為面積函數(shù)A=xy的全增量，的全增量，由兩部分組成：由兩部分組成：yxxyx，y的線性部分的線性部分yx當(dāng)當(dāng)( (xx, ,yy) ) (0,0)時，是一個比時，是一個比22)y()x(高階無窮小高階無窮小。 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點在點(x，y)的某個鄰域內(nèi)的某個鄰域內(nèi)有定義，點（有定義，點（x+x，y+y）在該鄰域內(nèi)，）在該鄰域內(nèi)， 如果函如果函數(shù)數(shù) 在點（在點（x，y）的全增量）的全增量 )y, x( fz )y, x( fz )y,x(f)yy,xx(fz可以表示為可以表示為)(yBxAz其中其中A，B與與x,y無關(guān)，無關(guān)，)(是當(dāng)是當(dāng)22)y()x(0時比時

11、比高階的無窮小。高階的無窮小。則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在點在點)y, x(fz （x，y）處）處可微可微，yBxA 稱函數(shù)在點稱函數(shù)在點(x,y)處的處的全微分全微分，記作，記作dz或或df(x,y)，即，即yBxAdz顯然，顯然，dzz一、全微分一、全微分二二 可微的必要和充分條件可微的必要和充分條件定理（可微的必要條件）定理（可微的必要條件） 如果函數(shù)如果函數(shù) 在點（在點（x，y）處可微，則它在）處可微，則它在該點處必連續(xù)，且它的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，并且該點處必連續(xù)，且它的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，并且)y, x(fz yyzxxzdz證明：證明：)y, x(fz 由函數(shù)由函數(shù) 在點（在點（x，y）處可微

12、有）處可微有)(yBxAz所以所以0)y,x(f)yy,xx(flimzlim0y0 x0y0 x即即)y,x(f)yy,xx(flim0y0 x因此，函數(shù)因此，函數(shù) 在點（在點（x，y）連續(xù)。）連續(xù)。)y, x(fz 又因為又因為 中的中的A，B與與)(yBxAzx，y無關(guān)，也就是該式對任意的無關(guān)，也就是該式對任意的x，y都成立。都成立。不妨取不妨取y=0，則有，則有|)x(|xAz上式兩邊同除以上式兩邊同除以x，再令，再令x0， 則有則有Ax|)x(|limAx)y, x(f)y, xx(flim0 x0 x即說明即說明 存在，且存在，且xzAxz同理可證同理可證 存在，且存在，且yzBy

13、z故有故有yyzxxzdz 注意：注意：此命題不可逆。即若兩偏導(dǎo)數(shù)都存在，此命題不可逆。即若兩偏導(dǎo)數(shù)都存在，也不能保證函數(shù)也不能保證函數(shù) 在點（在點（x，y）可微。）可微。)y, x(fz 討論函數(shù)：討論函數(shù)：0yx00yxyxxy222222由以前的討論可知，在點（由以前的討論可知，在點（0，0）處它的兩個偏導(dǎo)數(shù)）處它的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，可該函數(shù)在此點卻不連續(xù)，不連續(xù)肯定不可都存在，可該函數(shù)在此點卻不連續(xù)，不連續(xù)肯定不可微。微。定理（可微的充分條件）定理（可微的充分條件） 如果函數(shù) 的兩個偏導(dǎo)數(shù) 在點（x，y）都存在且連續(xù)，則該函數(shù)在該點可微。)y , x( fzyz,xz 以上有關(guān)概念和定

14、理均以上有關(guān)概念和定理均可以推廣到可以推廣到三元及三元三元及三元以上的函數(shù)中去。以上的函數(shù)中去。 由于自變量的微分等于自變量的微分，故二元由于自變量的微分等于自變量的微分，故二元函數(shù)函數(shù) 的全微分習(xí)慣上可寫為的全微分習(xí)慣上可寫為)y, x( fz dyyzdxxzdz類似地，三元函數(shù)類似地，三元函數(shù) 的全微分為的全微分為)z , y, x(uu dzzudyyudxxudu例例1 求函數(shù)求函數(shù) 的全微分。的全微分。62354yxxyz解：先求函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)：解：先求函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)：522633012104yxxyyzxyyxz所以所以dyyxxydxxyydz)3012()104(5263

15、例例2 求函數(shù)求函數(shù) 在點（在點（2，-1）處的全微分。）處的全微分。32),(yxyxf解：因為解：因為12)1,2(,4)1,2(3),(,2),(223yxyxffyxyxfxyyxf所以所以dydxdz124|)1,2( 例例3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點（在點（0，0）有增量有增量x=0.2，y=0.3，求全微分，求全微分dz。)y4x3sin(ezyx2解：解：3)y4x3cos(e3)y4x3sin(e2xz0y0 xyx2yx20y0 x4)y4x3cos(e4)y4x3sin(eyz0y0 xyx2yx20y0 x所以所以8 . 13 . 042 . 03yyzxxzdz此題可理解為

16、：此題可理解為：在點（在點（0，0）處）處x，y分別有增量分別有增量x=0.2，y=0.3時，函數(shù)也產(chǎn)生增量時，函數(shù)也產(chǎn)生增量z，并且，并且zdz=1.8。取取02. 0y,01. 0 x, 2y, 1x00則則3321)2 ,1(f2)2 , 1(f, 5 . 0)2 , 1(fyx所以所以965. 2)02. 0(201. 05 . 0398. 101. 133例例5 計算計算 的近似值。的近似值。解：解：構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù) ，則，則33yx)y,x(f332xyx2x3)y,x(f332yyx2y3)y,x(f 設(shè)設(shè)一金屬圓柱受壓變形后，底面半徑由原來的一金屬圓柱受壓變形后，底面半徑由原來的20厘米變到厘米變到20.1厘米，高由原來的厘米，高由原來的40厘米減少到厘米減少到39.5厘米，求該金屬體體積厘米，求該金屬體體積變化的近似值。變化的近似值。解解：20cm40c