圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)例及臨界問題

1、圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)例及臨界問題一、汽車過拱形橋1.汽車在拱形橋最高點(diǎn)時(shí)，向心力：F合=v2mg N = mR.2mv支持力：N = mg v mg,汽車處于失重R狀態(tài).2 汽車對(duì)橋的壓力 N '與橋?qū)ζ嚨闹С?N是 一對(duì)相互作用力，大小相等，所以汽車通過最高 點(diǎn)時(shí)的速度越大，汽車對(duì)橋面的壓力就越小例1 一輛質(zhì)量m= 2 t的轎車，駛過半徑R=90 m的一段凸形橋面，g= 10 m/s2,求：(1) 轎車以10 m/s的速度通過橋面最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)橋面的壓力是多大？(2) 在最高點(diǎn)對(duì)橋面的壓力等于轎車重力的 一半時(shí)，車的速度大小是多少？解析(1)轎車通過凸形橋面最高點(diǎn)時(shí)，受力 分析如圖所示： 合

2、力F= mg N ,由向心力公式得 mg N = mR,v2故橋面的支持力大小N = mg mR= (2 000 x 101022 000x) N 1.78X 104 N90根據(jù)牛頓第三定律，轎車在橋面最高點(diǎn)時(shí)對(duì) 橋面壓力的大小為 1.78X 104 N.1.運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：人及其座椅在水平面內(nèi)做勻 速圓周運(yùn)動(dòng)，懸線旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓錐 圖12運(yùn)動(dòng)分析：將“旋轉(zhuǎn)秋千”簡化為圓錐 擺模型(如圖1 所示)(1) 向心力：F 合=mgtan_a(2) 運(yùn)動(dòng)分析： F 合=m®2r= m®2lsin a(3) 纜繩與中心軸的夾角a滿足cos a=-|.col圖6【例2 如圖6所示，固定的錐形

3、漏斗內(nèi)壁是光滑 的，內(nèi)壁上有兩個(gè)質(zhì)量相等的小球A和B,在各自不同的水平面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，以下物理量大 小關(guān)系正確的是()A. 速度 Va>VbB. 角速度-a> C. 向心力Fa> Fb解析 設(shè)漏斗的頂角為2 Q則小球的合力為 F合mg _ _ mg 2v2=n,由 F= F 合=m2r = ma,知tan 8tan Br(2)對(duì)橋面的壓力等于轎車重力的一半時(shí)，向心力向心力Fa= Fb，向心加速度= aB,選項(xiàng)C、DF'= mg N'= 0.5mg,而 Fv' 2=m=,所以此錯(cuò)誤；因 a > 8,又由v ,故A對(duì)，B錯(cuò).va> vb、答案

4、 A時(shí)轎車的速度大小 v'= ；0.5gR= ；0.5X 10x 90m/s 21.2 m/s答案(1)1.78x 104 N(2)21.2 m/s二、圓錐擺模型1.運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：火車轉(zhuǎn)彎時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)，具 有向心加速度，需要向心力.2 .鐵路彎道的特點(diǎn)：轉(zhuǎn)彎處外軌略高于內(nèi) 軌，鐵軌對(duì)火車的支持力斜向彎道的內(nèi)側(cè)，此支 持力與火車所受重力的合力指向圓心火車轉(zhuǎn) 彎提供了一部分向心力.例3 鐵路在彎道處的內(nèi)、 外軌道高度是不C. A的角速度比B的大解析 小球的重力和繩子的拉力的合力充當(dāng)向心力、設(shè)懸線與豎直方向夾角為 e,則F= mgtan e =mw2lsin e, e越大、向心力F越大、所以A對(duì)

5、、g gB錯(cuò)；而后=i£e= h.故兩者的角速度相同、C同的，已知內(nèi)、外軌道平面與水平面的夾角為e,如圖7所示，彎道處的圓弧半徑為 R,若質(zhì)量為m的火車轉(zhuǎn)彎時(shí)速度等于 電仙，則（）A 內(nèi)軌對(duì)內(nèi)側(cè)車輪輪緣有擠壓B .外軌對(duì)外側(cè)車輪輪緣有擠壓mgC.這時(shí)鐵軌對(duì)火車的支持力等于COSTeD .這時(shí)鐵軌對(duì)火車的支持力大于mgcos eD錯(cuò).答案 A3 .半徑為R的光滑半圓球固定在水平面上（如圖2所示）、頂部有一小物體 A、今給它一個(gè)水平初 速度Vo=* Rg,則物體將（）A. 沿球面下滑至 M點(diǎn)B. 沿球面下滑至某一點(diǎn)N、便離開球面做 斜下拋運(yùn)動(dòng)C. 沿半徑大于R的新圓弧軌道做圓周運(yùn)動(dòng)D .

6、立即離開半圓球做平拋運(yùn)動(dòng)答案 D解析當(dāng)V0= gR時(shí)、V所需向心力 F= m = mg,v2此時(shí)、物體與半球面頂部接觸但無彈力作用、物 體只受重力作用、故做平拋運(yùn)動(dòng).4 .質(zhì)量為m的飛機(jī)、以速率 v在水平面內(nèi)做半解析由牛頓第二定律F合=m二,R解得F合=徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)、空氣對(duì)飛機(jī)作用力的大mgtan e,此時(shí)火車受重力和鐵路軌道的支持力作用，如圖所示,mgNcos e= mg,貝U N =、，內(nèi)、cos e外軌道對(duì)火車均無側(cè)向壓力、故C正確、A、B、D錯(cuò)誤.答案 C課后鞏固訓(xùn)練2.（圓錐擺模型）兩個(gè)質(zhì)量相同的小球、在同一水 平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)、 懸點(diǎn)相同、如圖9所示、 A運(yùn)動(dòng)的半徑比B

7、的大、貝U （）A . A所需的向心力比B的大B. B所需的向心力比 A的大小等于（A. mC. m解析空氣對(duì)飛機(jī)的作用力有兩個(gè)作用效果、其:豎直方向的作用力使飛機(jī)克服重力作用而升mg、F,方mgVmR，P插在桌面上，桿端 今使小球沿水平方向賽車受力分析如圖所v2而F 合=丐，故v=空；其二：水平方向的作用力提供向心力，使飛 機(jī)可在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng).對(duì)飛機(jī)的受力 情況進(jìn)行分析，如圖所示飛機(jī)受到重力 空氣對(duì)飛機(jī)的作用力 F升，兩力的合力為 向沿水平方向指向圓心.由題意可知，重力答案 A5質(zhì)量不計(jì)的輕質(zhì)彈性桿 套有一個(gè)質(zhì)量為m的小球,做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為g如圖4所示，則桿的上端

8、受到的作用力大小為()A. mJRB. Ii'm2g2- m2ojR2C. .'m2g2+ m2 gR2D .不能確定答案 C解析小球在重力和桿的作用力下做勻速圓周 運(yùn)動(dòng)這兩個(gè)力的合力充當(dāng)向心力必指向圓心, 如圖所示用力的合成法可得桿對(duì)球的作用力:N = '(mg)2 + F2= ,，m2g2+ m2 R2,根據(jù)牛頓第三 定律，小球?qū)U的上端的作用力N'=N, C正確.圖56 .火車軌道在轉(zhuǎn)彎處外軌高于內(nèi)軌，其高度差 由轉(zhuǎn)彎半徑與火車速度確定.若在某轉(zhuǎn)彎處規(guī)定 行駛速度為v,則下列說法中正確的是 ()A. 當(dāng)以v的速度通過此彎路時(shí)，火車重力 與軌道面支持力的合力

9、提供向心力B. 當(dāng)以v的速度通過此彎路時(shí)，火車重力、軌 道面支持力和外軌對(duì)輪緣彈力的合力提供向心 力C. 當(dāng)速度大于v時(shí)，輪緣擠壓外軌D .當(dāng)速度小于v時(shí)，輪緣擠壓外軌解析 當(dāng)以v的速度通過此彎路時(shí)，向心力 由火車的重力和軌道的支持力的合力提供，A對(duì),B錯(cuò)；當(dāng)速度大于 v時(shí)，火車的重力和軌道的支 持力的合力小于向心力，外軌對(duì)輪緣有向內(nèi)的彈 力，輪緣擠壓外軌，C對(duì)，D錯(cuò).答案 AC解析設(shè)賽車的質(zhì)量為m，示，可見：F合=mgtan 0,:'grta n 07.如圖11,置于圓形水平轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣的小物塊隨轉(zhuǎn) 臺(tái)加速轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，物塊恰好 滑離轉(zhuǎn)臺(tái)開始做平拋運(yùn)動(dòng).現(xiàn)測(cè)得轉(zhuǎn)臺(tái)半徑R=0

10、.5 m，離水平地面的高度 H = 0.8 m，物塊平拋落 地過程水平位移的大小x= 0.4 m.設(shè)物塊所受的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度g取10 m/s2 求：圖11(1) 物塊做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度大小V。;(2) 物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)卩答案(1)1 m/s (2)0.2解析(1)物塊做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向有1H =卿2 水平方向有X= V0t聯(lián)立兩式得 v°= x2H = 1 m/s(2)物塊離開轉(zhuǎn)臺(tái)時(shí)，最大靜摩擦力提供向心力, 有V02mg m 、vo2聯(lián)立得尸 =0.2gR& 侈選)如圖5所示，質(zhì)量為m的物體，沿著半 徑為R的半球形金屬殼內(nèi)壁滑下，半球形金屬

11、殼 豎直固定放置，開口向上，滑到最低點(diǎn)時(shí)速度大 小為v,若物體與球殼之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 則物體在最低點(diǎn)時(shí)，下列說法正確的是I圖5A .受到的向心力為B.受到的摩擦力為C.受到的摩擦力為v2 mg+ mRv2口mRv2 Kmg+ mR)D .受到的合力方向斜向左上方解析物體在最低點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，則有 v2v2一=mR,解得Fn = mg+ mR,故物體受到的滑動(dòng)v2摩擦力 Ff=F =(mg+ mR), A、B 錯(cuò)誤，C 正確.物體受到豎直向下的重力、水平向左的摩擦 力和豎直向上的支持力(支持力大于重力)，故物 體所受的合力斜向左上方，D正確.答案 CD(2)確定臨界條件：判斷題述的過程存在臨界狀

12、態(tài) 之后，要通過分析弄清臨界狀態(tài)出現(xiàn)的條件，并 以數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來.選擇物理規(guī)律：當(dāng)確定了物體運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài) 和臨界條件后，要分別對(duì)不同的運(yùn)動(dòng)過程或現(xiàn) 象，選擇相對(duì)應(yīng)的物理規(guī)律，然后列方程求解.題組階梯突破應(yīng)用層【例1 如圖8所示，高速公路轉(zhuǎn)彎處彎道圓半徑 R= 100 m,汽車輪胎與路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)=0.23.最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等，若路面是 水平的，問汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)不發(fā)生徑向滑動(dòng)(離心現(xiàn)象) 所允許的最大速率 Vm為多大？當(dāng)超過 Vm時(shí)，將 會(huì)出現(xiàn)什么現(xiàn)象？ (g= 9.8 m/s2)Fn mg解析 在水平路面上轉(zhuǎn)彎，向心力只能由靜摩擦vm 力提供，設(shè)汽車質(zhì)量為 m，則fm = 口 m

13、g則有m=口 m, Vm = :' 口 gR代入數(shù)據(jù)可得 Vm沁15 m/s=54 km/h.當(dāng)汽車的速度超過 54 km/h時(shí)，需要v2的向心力 m大于最大靜摩擦力，也就是說提供R的合外力不足以維持汽車做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向 心力，汽車將做離心運(yùn)動(dòng)，嚴(yán)重的將會(huì)出現(xiàn)翻車 事故.答案 54 km/h汽車做離心運(yùn)動(dòng)或出現(xiàn)翻臨界問題分析車事故2 .相對(duì)滑動(dòng)的臨界問題(2014 新課標(biāo)全國12 0)(多選)如圖6所示，兩個(gè)質(zhì)量均為 m的小a與轉(zhuǎn)2l,木塊k倍,一：水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題o考點(diǎn)逐項(xiàng)排查木塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤上, 軸00 '的距離為I, b與轉(zhuǎn)軸的距離為 全餐

14、與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的處理臨界問題的解題步驟(1)判斷臨界狀態(tài)：有些題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程存在著臨 界點(diǎn)；若題目中有“取值范圍”“多長時(shí)間” “多大距離”等詞語，表明題述的過程存在著“起止 點(diǎn)”，而這些起止點(diǎn)往往就對(duì)應(yīng)著臨界狀態(tài)；若 題目中有“最大” “最小” “至多” “至少”等字 眼，表明題述的過程存在著極值，這個(gè)極值點(diǎn)也 往往對(duì)應(yīng)著臨界狀態(tài).重力加速度大小為 g.若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩 慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，用 3表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，下 列說法正確的是()Ot；hOf圖6A. b 一定比a先開始滑動(dòng)B. a、b所受的摩擦力始終相等c ：g 是

15、 b開始滑動(dòng)的臨界角速度/2kgD .當(dāng). -31-時(shí)，a所受摩擦力的大小為 kmg 解析 小木塊a、b做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由靜摩擦力提解析（1）若要小球剛好離開錐面，則小球只受到重力和細(xì)線的拉力，受力分析如圖所示小球做 勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓在水平面上，故向心力水 平，在水平方向運(yùn)用牛頓第二定律及向心力公式供向心力，即f= mR.當(dāng)角速度增加時(shí)，靜摩擦得：mgtan(=mQ Isin 9力增大，當(dāng)增大到最大靜摩擦力時(shí)，發(fā)生相對(duì)滑解得:動(dòng)，對(duì)木塊 a： fa= mwa2l,當(dāng) fa= kmg 時(shí)，kmg= !kgma2l,；對(duì)木塊 b： fb= m®b22l,當(dāng)fb= kmg時(shí)，kmg= m

16、®（2l, 吐=2_3 lcos 9即 3=lglcos 9同理，當(dāng)細(xì)線與豎直方向成 60 第二定律及向心力公式得： mgtanrad/s.角時(shí)，由牛頓a m3' 2lsin ab先達(dá)到最大靜摩擦力，選項(xiàng) A正確；兩木塊滑 動(dòng)前轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，貝y fa= mw2l , fb =解得:3 2=廠9,即 3lcos alcos a2'5rad/s.應(yīng)用層10.過山車的分析（多選）如圖9所示甲、乙、丙、 丁是游樂場(chǎng)中比較常見的過山車，甲、乙兩圖的 軌道車在軌道的外側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，丙、丁兩圖的 軌道車在軌道的內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，兩種過山車都 有安全鎖（由上、下、側(cè)三個(gè)輪子組成

17、）把軌道車m®221, fa<fb,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng) b2l時(shí)b/2kg剛開始滑動(dòng)，選項(xiàng) C正確；當(dāng)滬3l時(shí)，a2沒有滑動(dòng)，則fa= mw2l= §kmg,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.答案 AC 3.接觸與脫離的臨界問題如圖8所示，用一根 長為1= 1 m的細(xì)線，一端系一質(zhì)量為 m= 1 kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），另一端固定在一光滑錐體頂 端，錐面與豎直方向的夾角9= 37 °，當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為3時(shí)，細(xì)線的張力為 F（g取10 m/s2，結(jié)果可 用根式表示）求：圖8（1）若要小球剛好離開錐面，則小球的角速度3至少為多大？（2）若細(xì)線與豎直方向

18、的夾角為60 °，則小球的角速度3為多大？二：豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題考點(diǎn)逐項(xiàng)排查1 在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，按運(yùn)動(dòng)到 軌道最高點(diǎn)時(shí)的受力情況可分為兩類：一是無支撐（如球與繩連接、沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)的過山車等 ）, 稱為“繩（環(huán)）約束模型”，二是有支撐（如球與桿連 接、在彎管內(nèi)的運(yùn)動(dòng)等）,稱為“桿（管）約束模型”2 繩、桿模型涉及的臨界問題繩模型桿模型常 見 類 型均是沒有支撐的 小球均是有支撐的小球點(diǎn)2白mg= m；得v臨 =VgT由小球恰能做圓周運(yùn)動(dòng)得v臨=_0套在了軌道上，四個(gè)圖中軌道的半徑都為R,下列說法正確的是（）兩圖9A甲圖中，當(dāng)軌道車以一定的速度通過軌道最 高點(diǎn)時(shí)，座椅一定給人向上的力B乙圖中，當(dāng)軌道車以一定的速度通過軌道最 低點(diǎn)時(shí)，安全帶一定給人向上的力C. 丙圖中，當(dāng)軌道車以一定的速度通過軌道最 低點(diǎn)時(shí)，座椅一定給人向上的力D .丁圖中，軌道車過最高點(diǎn)的最小速度為gR解析 在甲圖中，當(dāng)速度比較小時(shí)，根據(jù)牛頓第v2二定律得，mg Fn = mR,即座椅給人施加向上 的力，當(dāng)速度比較大時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得，v2mg+ Fn = mR,即座椅給人施加向下的力，故A錯(cuò)誤