高等數(shù)學：2-4高階導數(shù)

1、第四節(jié)第四節(jié) 高階導數(shù)高階導數(shù)高階導數(shù)的定義高階導數(shù)的定義問題問題: :變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度.),(tss 設(shè)設(shè))()( tstv 則瞬時速度為則瞬時速度為, 的變化率的變化率對時間對時間是速度是速度加速度加速度tva. )()()( tstvta. )( ) )(,)()(lim) )(, )( )( 0處的二階導數(shù)處的二階導數(shù)在點在點為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱存在存在即即處可導處可導在點在點的導數(shù)的導數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)定義定義xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記作記作階導數(shù)階導數(shù)的的階導數(shù)的導數(shù)稱為函數(shù)階導數(shù)的

2、導數(shù)稱為函數(shù)的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地, )( )1( )( , nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù)三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù), 二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).)(; )(,稱稱為為一一階階導導數(shù)數(shù)稱稱為為零零階階導導數(shù)數(shù)相相應應地地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf).0(),0( ,arctan)( 1ffxxf 求求設(shè)設(shè)例例解解,11)(2xxf )11()(2 xxf22)1(2xx

3、 )1(2()(22 xxxf322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法 由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù)由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù).高階導數(shù)求法舉例高階導數(shù)求法舉例( )2 ,.nyxy例設(shè)求解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若, n )()()(nnnxy , ! n ) ! ()1( nyn. 0 /1(ln ) (ln )(ln )yfxxfxx 解解3 (ln ),.yfxy例函數(shù)求/2/1(ln()

4、(ln )(ln )1()xfxfxyxxfxx /2(ln )(ln )fxfxx.),1ln( 4)(nyxy求求設(shè)設(shè)例例 解解,11xy ,)1(12xy ,)1(! 23xy ,)1(! 34)4(xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn.,sin 5)(nyxy求求設(shè)設(shè)例例 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn).2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得 , )()( 二階可導二階可導若函數(shù)若函數(shù) tytx )(22dxdydxddxy

5、d dxdtttdtd )()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即 解解33cos . sinxatyat 例6 求由方程表示的函數(shù)的二階導數(shù)dtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ,tant )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 .sin3sec4tat dxdtdxdydtd )(2. 2. 高階導數(shù)的運算法則高階導數(shù)的運算法則則則階導數(shù)階導數(shù)具有具有和和設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù), nvu;)()1()()()(nnnvuvu ;)()2()()(

6、nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu ( 萊布尼茲公式萊布尼茲公式 )22(20) , .xyx ey例7 設(shè)求解解則由萊布尼茲公式知則由萊布尼茲公式知設(shè)設(shè), 22xveux )20(y22! 21920222022182192220 xxxexexe).9520(22220 xxex 2)20(2)(xex )()(202)19(2xex )()(! 2)120(202)18(2xex0222(6) (23)(54) , .yxxxy例8求解解,25 23456

7、FExDxCxBxAxxy 設(shè)設(shè)則則!. 625)6( y)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(af ,)()(limaxafxfax 0)( afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax ).(2ag 2 ( ) , ( )()( ), ( ) .g xf xxag xfa例9 設(shè)連續(xù) 且求解解萊布尼茲是萊布尼茲是17、18世紀之交德國最偉大的數(shù)學家、世紀之交德國最偉大的數(shù)學家、物理學家和哲學家，一個舉世罕見的科學天才。物理學家和哲學家，一個舉世罕見的科學天才。萊布尼茲萊布尼茲15歲時，進入萊比錫大學學習法律，還歲時，進入萊比錫大學學習法律，還廣泛閱讀了培根、

8、開普勒、伽利略、等人的著作，廣泛閱讀了培根、開普勒、伽利略、等人的著作，并對他們的著述進行深入的思考和評價。在聽了教并對他們的著述進行深入的思考和評價。在聽了教授講授歐幾里德的授講授歐幾里德的幾何原本幾何原本的課程后，萊布尼的課程后，萊布尼茲對數(shù)學產(chǎn)生了濃厚的興趣。茲對數(shù)學產(chǎn)生了濃厚的興趣。17歲時獲得了哲學歲時獲得了哲學碩士學位。碩士學位。20歲時他發(fā)表了第一篇數(shù)學論文歲時他發(fā)表了第一篇數(shù)學論文論組合的藝術(shù)論組合的藝術(shù)。這是一篇關(guān)于數(shù)理邏輯的文章，。這是一篇關(guān)于數(shù)理邏輯的文章，其基本思想是出于想把理論的真理性論證歸結(jié)于一其基本思想是出于想把理論的真理性論證歸結(jié)于一種計算的結(jié)果。種計算的結(jié)果。

9、生平事跡生平事跡 萊布尼茲萊布尼茲(1646-1716) 萊布尼茲在阿爾特道夫大學獲得博士學位后便萊布尼茲在阿爾特道夫大學獲得博士學位后便投身外交界。在出訪巴黎時，萊布尼茲深受帕斯卡事投身外交界。在出訪巴黎時，萊布尼茲深受帕斯卡事跡的鼓舞，決心鉆研高等數(shù)學，并研究了笛卡兒、費跡的鼓舞，決心鉆研高等數(shù)學，并研究了笛卡兒、費爾馬、帕斯卡等人的著作。他的興趣已明顯地朝向了爾馬、帕斯卡等人的著作。他的興趣已明顯地朝向了數(shù)學和自然科學，開始了對無窮小算法的研究，獨立數(shù)學和自然科學，開始了對無窮小算法的研究，獨立地創(chuàng)立了微積分的基本概念與算法，和牛頓并蒂雙輝地創(chuàng)立了微積分的基本概念與算法，和牛頓并蒂雙輝共

10、同奠定了微積分學。共同奠定了微積分學。1700年被選為巴黎科學院院年被選為巴黎科學院院士，促成建立了柏林科學院并任首任院長。士，促成建立了柏林科學院并任首任院長。始創(chuàng)微積分始創(chuàng)微積分 17世紀下半葉，歐洲科學技術(shù)迅猛發(fā)展，由于世紀下半葉，歐洲科學技術(shù)迅猛發(fā)展，由于生產(chǎn)力的提高和社會各方面的迫切需要，經(jīng)各國科學生產(chǎn)力的提高和社會各方面的迫切需要，經(jīng)各國科學家的努力與歷史的積累，建立在函數(shù)與極限概念基礎(chǔ)家的努力與歷史的積累，建立在函數(shù)與極限概念基礎(chǔ)上的微積分理論應運而生了。上的微積分理論應運而生了。萊布尼茲在萊布尼茲在1673-1676年間也發(fā)表了微積分年間也發(fā)表了微積分思想的論著。以前，微分和積

11、分作為兩種數(shù)學運算、思想的論著。以前，微分和積分作為兩種數(shù)學運算、兩類數(shù)學問題，是分別加以研究的。萊布尼茲將積兩類數(shù)學問題，是分別加以研究的。萊布尼茲將積分和微分真正溝通起來，明確地找到了兩者內(nèi)在的分和微分真正溝通起來，明確地找到了兩者內(nèi)在的直接聯(lián)系：微分和積分是互逆的兩種運算。而這是直接聯(lián)系：微分和積分是互逆的兩種運算。而這是微積分建立的關(guān)鍵所在。只有確立了這一基本關(guān)系，微積分建立的關(guān)鍵所在。只有確立了這一基本關(guān)系，才能在此基礎(chǔ)上構(gòu)建系統(tǒng)的微積分學。并從對各種才能在此基礎(chǔ)上構(gòu)建系統(tǒng)的微積分學。并從對各種函數(shù)的微分和求積公式中，總結(jié)出共同的算法程序，函數(shù)的微分和求積公式中，總結(jié)出共同的算法程序

12、，使微積分方法普遍化，發(fā)展成用符號表示的微積分使微積分方法普遍化，發(fā)展成用符號表示的微積分運算法則。運算法則。萊布尼茲在萊布尼茲在1684年年10月發(fā)表的月發(fā)表的教師學報教師學報上的論文，上的論文，“一種求極大極小的奇妙類型的計算一種求極大極小的奇妙類型的計算”，在數(shù)學史上被認為是最早發(fā)表的微積分文獻。在數(shù)學史上被認為是最早發(fā)表的微積分文獻。 萊布尼茲在萊布尼茲在數(shù)學方面的成就數(shù)學方面的成就是巨大的，他的研是巨大的，他的研究及成果滲透到高等數(shù)學的許多領(lǐng)域。他的一系列究及成果滲透到高等數(shù)學的許多領(lǐng)域。他的一系列重要數(shù)學理論的提出，為后來的數(shù)學理論奠定了基重要數(shù)學理論的提出，為后來的數(shù)學理論奠定了

13、基礎(chǔ)。礎(chǔ)。萊布尼茲曾討論過負數(shù)和復數(shù)的性質(zhì)，得出復萊布尼茲曾討論過負數(shù)和復數(shù)的性質(zhì)，得出復數(shù)的對數(shù)并不存在，共扼復數(shù)的和是實數(shù)的結(jié)論。數(shù)的對數(shù)并不存在，共扼復數(shù)的和是實數(shù)的結(jié)論。在后來的研究中，萊布尼茲證明了自己結(jié)論是正確在后來的研究中，萊布尼茲證明了自己結(jié)論是正確的。他還對線性方程組進行研究，對消元法從理論的。他還對線性方程組進行研究，對消元法從理論上進行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出上進行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論。此外，萊布尼茲還創(chuàng)立了符號行列式的某些理論。此外，萊布尼茲還創(chuàng)立了符號邏輯學的基本概念，發(fā)明了能夠進行加、減、乘、邏輯學的基本概念，發(fā)明了能夠進行加、減、乘、除及開方運算的計算機和二進制，為計算機的現(xiàn)代除及開方運算的計算機和二進制，為計算機的現(xiàn)代發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ)。發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ)。萊布尼茲的萊布尼茲的物理學成就物理學成就也是非凡的也是非凡的 萊布尼茲發(fā)明了萊布尼茲發(fā)明了乘法計算機乘法計算機，他受中國易經(jīng)八卦，他受中國易經(jīng)八卦的影響最早提出二進制運算法則。的影響最早提出二進制運算法則。1672年年1月，萊月，萊布尼茲