力學(xué)#形心與靜矩

1、B.1 截面的形心和靜矩Centroid and static moment of section在桿件的應(yīng)力和變形公式中，遇到一些幾何量，例如面積、靜矩、形心位置、極慣性矩和軸慣性矩 等，這些量只與構(gòu)件的橫截面形狀和尺寸有關(guān)，而與構(gòu)件的受力無關(guān)，稱它們?yōu)榻孛娴膸缀涡再|(zhì)截面幾何性質(zhì)的計(jì)算在分析桿的強(qiáng)度和剛度時(shí)非常重要，首先應(yīng)明確截面幾何性質(zhì)的定義，并熟練 地掌握其計(jì)算方法。1.形心與靜矩圖 B.1-1(B.1-1)圖示任一截面，選任一參考坐標(biāo)系 yoz，設(shè)截面形心C 的坐標(biāo)為yc和zc，取微截面積dA,由合力矩定理可知，均質(zhì)厚 度薄板中面的形心、或該板的重心在 yoz坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為I ydA

2、 = Ayo = &| sdA =乳式中:h''，血c分別定義為截面對(duì)z軸和y軸的靜矩。由公式（B.1-1 ）可知，當(dāng)y軸和z軸通過截面形心時(shí)（即yc=Zc=0），貝U s=sy=o；反之，當(dāng)靜矩Sz=0時(shí)，說明z軸通過截面形心；而當(dāng)靜矩Sy=0時(shí)，說明y軸通過截面形 心。此概念在確定梁的中性軸時(shí)十分有用2.組合截面的形心與靜矩圖 B.1-2在工程實(shí)際中，經(jīng)常遇到形狀較為復(fù)雜的截面，它們由若干簡單截面或標(biāo)準(zhǔn)型材組合而成， 稱為組合截面（圖B.1-2）當(dāng)確定它們的形心時(shí)，可將其分割成 n個(gè)部分，形心坐標(biāo)為S、工勒FC? - 號(hào)莊5(B.1-2)式中A為分割后的各面積，yi

3、和Zi為A的形心在參考系中的坐 標(biāo)。式中二二二：' J ，稱為組合截面的靜矩。B.2 極慣性矩 Polar momet of inertia1.定義圖 B.2-1任意形狀的截面如圖所示，設(shè)其面積為 A,在矢徑為打處取一微面積dA,定義截面對(duì)原點(diǎn)0的極慣性矩為(B.2-1)極慣性矩的量綱為長度的4次方（m陽，它恒為正2.圓截面的極慣性矩圖示圓截面，取微面積為一薄壁環(huán)，即"：(圖B.2-2 ),圖 B.2-2讀者自行證明實(shí)心圓、空心圓和薄壁圓截面(圖 B.2-3 )的極慣性矩分別為：(B.2-2)(B.2-3)(B.2-4)式中； =，d空心圓內(nèi)徑,D 空心圓外徑，R0薄壁圓平均

4、半徑。圖 B.2-3B.3 軸慣性矩 Second Axial moment of area and Parallel Axis Theory1.定義任意形狀的截面如圖所示，設(shè)其面積為 A,在坐標(biāo)為（y, z） 處取一微面積dA,定義截面對(duì)z和y軸的慣性矩為其量綱為長度的四次方（mm），恒為正圖 B.3-12.簡單截面的軸慣性矩圖 B.3-2?圓形：如計(jì)算圓截面對(duì)形心軸(B.3-1)由于1：'，于是得出極慣性矩和軸慣性矩之間的關(guān)系為匚=+才）必=人+厶（B.3-2）A?矩形：如圖所示高為h,寬為b的矩形，計(jì)算矩形截面對(duì)形心 軸z和y的慣性矩。取dA=bdy,則(B.3-3)f = 7

5、+ /y和z的慣性矩可借助公式（B.3-2）:-對(duì)于圓截面:于是，實(shí)心圓、空心圓、薄壁圓截面的軸慣性矩分別為(B.3-4)V y o刀百+肪)厶二乞仏o +*巧i=L1-1(B.3-8)(B.3-5 )(B.3-6 )式中 - , d空心圓內(nèi)徑，D 空心圓外徑，R0薄壁圓平均半徑。3平行軸間慣性矩的移軸公式對(duì)簡單截面而言，它們對(duì)自身形心軸的慣性矩很容易計(jì)算，如矩形、圓形、三角形等，并有現(xiàn)成表格可查附錄C本節(jié)研究截面對(duì)任一根與形心軸平行之軸的慣性矩。如圖B.3-3所示，設(shè)y。、zo為截面的一對(duì)形心軸，如果截面對(duì)形心軸的慣性矩為I和I，則截面對(duì)任一平行于它的軸y和z的慣性矩為：(B.3-7)上式稱

6、為慣性軸的 移軸公式或稱平行軸定理(Parallel axis theorem )。式中A為截面面積，a和b分別為坐標(biāo)軸y°和y以及Z0和z之間的垂直距離。證明如下： I根據(jù)面積對(duì)z軸的慣性矩的定義，& 曲。圖B.3-3中微面積dA距z軸的垂直距離為y=y0+b，代入上式，得打=i仏十駅曲=詬+2了診+)曲=也+2iJ丁問+制 式中"曲=鼻，故，打十宓，同理得. =如為組合截面，則上式表示為圖 B.3-3讀者自行計(jì)算下圖各截面對(duì)z軸的靜矩和慣性矩:圖 B.3-4厶*")4.例題試計(jì)算三角形截面對(duì)形心軸z的慣性矩。解:三角形形心位于距底邊1/3h處，取八 二

7、，式中可由如下比例式求出:r-h+y.hU丿，得<2，于是圖 B.3-5圖示截面，求對(duì)形心軸z和y的慣性矩。圖 B.3-6解：截面對(duì)形心軸慣性矩應(yīng)為矩形截面對(duì)形心軸慣性矩和圓形截面對(duì)形心軸慣性矩之差，即：f hi?z的慣性矩Iz=?試求I字形截面對(duì)形心軸B |600(O圖 B.3-7B.4 慣性積 Product of inertia1.定義(B.4-1)圖 B.4-1是長度的四次方（mm一yV-*2 -11-Z>當(dāng)坐標(biāo)軸之一為截面的對(duì)稱軸時(shí)，慣性積 Iyz=0圖 B.4-22慣性積的移軸公式任意形狀的截面如圖所示，設(shè)其面積為 A,在坐標(biāo)為（y,z）處取一微面積dA,定義截面對(duì)z和

8、y軸的慣性積為顯然，慣性積根據(jù)截面在坐標(biāo)系的不同象限有正負(fù)之別，其量綱圖 B.4-3如為組合截面，則上式表示為3.例題慣性積和慣性矩一樣（圖B.4-3 ）,同樣可以推導(dǎo)出它的移軸公式:(B.4-2)式中兀為截面對(duì)形心軸yozo的慣性矩，a和b分別為坐標(biāo)軸yo 和y以及zo和z之間的垂直距離。(B.4-3)試計(jì)算圖B.4-4所示截面對(duì)y、z軸的慣性矩。解：yo或zo均為對(duì)稱軸，故= lv（x 十 Aah 二 CH 空竺 x50x6015i08xl04彈 隔A試求上節(jié)圖B.3-9所示截面對(duì)形心軸y、z軸的慣性積。解：形心 C的坐標(biāo)已知yc=44.57mn, Zc=14.57mm將截面分割為兩個(gè)矩形

9、，它們的形心分別為C和C2,通過形 心C和G且與y和z相平行之軸為兩個(gè)矩形的對(duì)稱的對(duì)稱軸，故120 ? 12第一個(gè)矩形:A = 120k12呦二耳一兀 坷=耳-耳_ _12第二個(gè)矩形：皆一 ，丄I.， L ，廠匸 血代入公式，得：2=2L (Aw +衛(wèi)處卜；滅斗斗占典斗婦；-1=0+1440 ><15.438157+0+576x38.57x21.43 = 66.65 京 1呦*B.5 轉(zhuǎn)軸公式 Transformation equation1. 轉(zhuǎn)軸公式圖示任意截面，假設(shè)該截面對(duì)任意軸 y1和乙的慣性矩和慣性積分別為*、和；，本節(jié)研究當(dāng)坐標(biāo)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)興角之后，截面對(duì)新坐標(biāo)軸y與Z

10、的慣性矩Iy與Iz以及慣性積lyz。步驟如下：圖 B.5-1?先求出兩個(gè)坐標(biāo)系之間的幾何關(guān)系，由圖B.5-1可以看出,任一點(diǎn)K處的兩個(gè)坐標(biāo)系之間的幾何關(guān)系為y 三 4 + 盤b 三cos >3 + si.ii 8z = erf = cossin g?代入慣性矩和慣性積的定義式中，得嚴(yán)二 JydA J (尹】ccs R 十左J win 匕亡as Bsin 必AA=匚26y-A 4-A于是，得:同理，得:L -L?=卩站sin 2+ A匚os加陰2J円/十 4- 41=川11 十沖£|小 2&/22曲厶十比- 11= J,31 川遜匚企甜十匚sin2（9522呵(B.5-1

11、)(B.5-2)(B.5-3)以上三式稱為轉(zhuǎn)軸公式。將（B.5-2 ）與（B.5-3 ）相加，得出:4 + =(B.5-4)由上式可知，截面對(duì)于通過同一點(diǎn)的任一對(duì)坐標(biāo)軸的兩個(gè)慣性矩之和恒為常數(shù)當(dāng)H半時(shí)，*'/-I，表明當(dāng)坐標(biāo)由推論1由公式（B.5-1 ）可知，當(dāng)日=°"時(shí)，4 ='呵旋轉(zhuǎn)至貯二- 時(shí)，必有一處尸推論2 |對(duì)于通過同一點(diǎn)的所有坐標(biāo)系中， 一定存在一對(duì)特殊的坐標(biāo)系，截面對(duì)其中一軸的慣性矩最大, 而對(duì)另一軸的慣性矩最小。2. 主軸與主慣性矩定義:慣性矩'匹_ °的軸稱為主軸（Principal axis），對(duì)主軸的慣性矩稱為主慣性

12、矩（Principal moment of inertia）設(shè)主軸方位角為* ，令式（B.5-1 ）等于零,肉=亠巴sin2&十cos23=02何得:21>i(B.5-5 )上式即可確定主軸的方位。（B.5-3 ），得主慣性矩：厶=七-七旦沖退十久汕紹.=七A十七旦口退-%（ B.5-6）用極值條件“丿，求得的之與公式（B.5-5 ）相同。證明了在上述的 兩個(gè)主慣性矩中，一個(gè)為最大值，另一個(gè)為最小值。聯(lián)合式（B.5-6 ）、（ B.5-7 ）和（B.5-5 ），可得主慣性矩的另一表達(dá)式:is 2 ” 2 >? 2 ”1 2丿(B.5-9 )3. 形心主軸、主形心慣性矩通過形心的主軸