數(shù)學(xué)建模層次分析法選擇手機(jī)問題

1、利用層次分析法解決大學(xué)生購(gòu)買手機(jī)品牌的選擇方案摘要：在日常工作、 生活中總存在各種各樣的需要進(jìn)行決策的問題， 這些問題會(huì)涉 及到經(jīng)濟(jì)、 社會(huì)等各方面因素的約束。 在大學(xué)生選購(gòu)買手機(jī)時(shí)選擇手機(jī)品牌的問 題中，也會(huì)因?yàn)檫@樣子的諸多因素， 而不知如何做出抉擇。 本論文將這一問題進(jìn) 行探討，對(duì)手機(jī)品牌抉擇這一問題進(jìn)行相對(duì)合理的假設(shè)以及簡(jiǎn)化， 將購(gòu)買手機(jī)時(shí) 主要考慮因素集中在性能、價(jià)格、外觀、品牌這四個(gè)方面，并利用層次分析法， 將定性問題轉(zhuǎn)化成定量問題， 構(gòu)造對(duì)比矩陣， 分析權(quán)重的一致性， 并在最后借助 Matlab 數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行求解，最終得出最佳選擇方案。關(guān)鍵詞：層次分析法 AHP Matlab 對(duì)比

2、矩陣 權(quán)重一、問題重述：如今，大學(xué)生都把手機(jī)當(dāng)成了一種日常生活中的必需品。同時(shí)，越來越多 的商家也已開始把大學(xué)生作為手機(jī)購(gòu)買群中最重要的消費(fèi)群體之一， 開始為大學(xué) 生量身訂做了很多款適合大學(xué)生使用的手機(jī)。 作為一種重要的聯(lián)絡(luò)手段， 一種高 端科技產(chǎn)品， 一種時(shí)尚的象征和身份的標(biāo)志， 手機(jī)在校園里的普及率已經(jīng)超乎人 們的想象，在有些院校幾乎達(dá)到“人手一部” 。我們?cè)诖瞬⒉粶?zhǔn)備討論大學(xué)生購(gòu) 買手機(jī)的利與弊， 而是向目前大量準(zhǔn)備購(gòu)買新手機(jī)或者即將更換自己的手機(jī)的大 學(xué)生朋友們提出一些指導(dǎo)性意見。二、問題的分析：對(duì)于這類問題，普遍可以利用層次分析法（ AHP ）對(duì)所有方案進(jìn)行優(yōu)先排 序。本問題首先分析

3、內(nèi)在因素間的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)，并把這種結(jié)構(gòu)劃分為三層即可， 即目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。把各層間諸要素的聯(lián)系用線表示出來，接著是同層 因素之間對(duì)上層因素重要性進(jìn)行評(píng)價(jià)， 并利用 “兩兩比較法 ”建立比較矩陣， 求的 權(quán)系數(shù)，再進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，如通過，則求得的權(quán)重系數(shù)可以被接受，否則，應(yīng) 重新評(píng)判。 再進(jìn)行單層權(quán)重評(píng)判的基礎(chǔ)上， 再進(jìn)行層次間重要性組合權(quán)重系數(shù)的 計(jì)算。最后求出各個(gè)方案所占的權(quán)重，即可確定手機(jī)的優(yōu)先順序。三、模型假設(shè):1、假設(shè)大學(xué)生所考察的因素中除了價(jià)錢，外觀，品牌，性能，不考慮其他因素2、假設(shè)4個(gè)因素中，性能因素囊括了電池，系統(tǒng)，攝像頭，硬件等其他綜合因 素3、假設(shè)大學(xué)生在構(gòu)建成對(duì)比矩

4、陣的觀點(diǎn)一致4、假設(shè)只考慮市場(chǎng)上份額較大的四個(gè)牌子：諾基亞、三星、多普達(dá)、蘋果5、假設(shè)所有手機(jī)的價(jià)位都是建立同種品牌的熱門機(jī)種，不考慮相同牌子的不同 機(jī)種四、模型的建立和求解：STEP 1建立層次分析結(jié)構(gòu)模型大學(xué)生購(gòu)買手機(jī)的三個(gè)主要層次如下所示：目標(biāo)層：選擇哪種品牌手機(jī)準(zhǔn)則層：價(jià)錢外觀品牌性能方案層：諾基亞三星多普達(dá)蘋果該問題十分明確，三個(gè)層次的要素也十分明顯。首先將有關(guān)因素按照不同的 屬性從上到下分為三個(gè)層次，分別為目標(biāo)層、中間層和方案層。最上層為目標(biāo)層: 最終要選的手機(jī)品牌；中間層為準(zhǔn)則層：品牌，性能，外觀、價(jià)錢；最下層為方 案層：蘋果、諾基亞、SUMSUNG、多普達(dá)。其中，這三個(gè)層次相互

5、影響，上層 受下層影響，而層內(nèi)各因素基本上相對(duì)獨(dú)立，將這三個(gè)層次用圖表示即為：目標(biāo)層準(zhǔn)則層STEP 2:構(gòu)造成對(duì)比較陣在構(gòu)造成對(duì)比矩陣之前，引入一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，即由購(gòu)買者評(píng)價(jià)品牌、性能、 價(jià)格、外觀等四個(gè)指標(biāo)對(duì)于購(gòu)買決定的影響大小，采用1-9級(jí)相對(duì)重要性作為尺度的方法。其詳細(xì)內(nèi)容如下所示：Ci/Cj相同重要稍微重要明顯重要強(qiáng)烈重要絕對(duì)重要介于兩級(jí) 之間135792,4,6,8在網(wǎng)絡(luò)上通過對(duì)以上四種產(chǎn)品的四種種評(píng)價(jià)指標(biāo)的實(shí)際情況的調(diào)查，得到下面幾個(gè)表格。其中，表格1是對(duì)四種指標(biāo)之間的相對(duì)重要性進(jìn)行比較，表格2到表格5則是針對(duì)于每種具體的指標(biāo)，根據(jù)四種手機(jī)在該指標(biāo)上的優(yōu)劣進(jìn)行比 較，最終得出以下的對(duì)

6、比矩陣：表格1價(jià)錢外觀品牌性能價(jià)錢1321/3外觀1/3131/5品牌r 1/21/311/5性能3551表格2價(jià)錢諾基亞三星多普達(dá)蘋果諾基亞 1273三星1/2171多普達(dá)r 1/71/711/7蘋果1/3171表格3外觀；諾基亞三星多普達(dá)蘋果諾基亞11/31/71/3三星311/51/3多普達(dá)r 7515蘋果331/51表格4品牌諾基亞三星多普達(dá)蘋果諾基亞121/51/5三星1/211/71/4多普達(dá)r 5715蘋果541/51表格5性能諾基亞三星多普達(dá)蘋果諾基亞11/51/81/5三星511/51多普達(dá)r 8515蘋果511/51STEP 3:計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)借助數(shù)學(xué)軟件Matl

7、ab對(duì)每一個(gè)成對(duì)比矩陣計(jì)算最大特征根和特征向量，并作一致性檢驗(yàn)，若通過，則可認(rèn)為成對(duì)比矩陣的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量。否則則應(yīng)該重新構(gòu)造成對(duì)比矩陣。在這里引入計(jì)算公式與隨機(jī)一致性指標(biāo)：1、定義一致性指標(biāo)：CI二一（ CI越大，不一致越嚴(yán)重）n -12、隨機(jī)一致性指標(biāo)RI:表格6 （隨機(jī)一致性指標(biāo)RI）n1234567891011RI000.580.91.121.241.321.411.451.491.513、定義一致性比率 CR = CI/RI （當(dāng)CRvO.1時(shí)，通過一致性檢驗(yàn)） 利用Matlab軟件計(jì)算可得：（注：Matlab程序以及語句、結(jié)果在附錄中）（1）四種

8、指標(biāo)之間的相對(duì)重要性：表格1成對(duì)比矩陣由Matlab得出結(jié)果最大特征根& =4.2489權(quán)向量（特征向量）w0 = (0.2321 0.1347 0.08340.5499 f一致性比率CR=CI / RI =0.0922<0.1（2）四種手機(jī)在對(duì)應(yīng)指標(biāo)上的相對(duì)重要性：表格2 （價(jià)錢）成對(duì)比矩陣由Matlab得出結(jié)果最大特征根&=4.1179權(quán)向量（特征向量）w1 = (0.4784 0.2486 0.04380.2292 T一致性比率CR=CI / RI =0.0437<0.1表格3 （外觀）成對(duì)比矩陣由 Matlab得出結(jié)果最大特征根扎=4.2281權(quán)向量（特征向

9、量）W2 = (0.0603 0.1125 0.62230.2019$一致性比率CR=CI / RI =0.0845<0.1表格4 （品牌）成對(duì)比矩陣由 Matlab得出結(jié)果最大特征根人=4.1660權(quán)向量（特征向量）w3 =(0.1003 0.0609 0.62720.2116$表格5 （性能）成對(duì)比矩陣由 Matlab得出結(jié)果最大特征根扎=4.1665權(quán)向量（特征向量）W4 = (0.0454 0.1628 0.6289 0.1628T一致性比率CR=CI /RI =0.0617<0.1致性比率CR=CI / RI =0.0615<0.1在上述表格中，可以看出所有的 CR

10、都小于0.1，表示這5個(gè)成對(duì)比矩陣的不 致程度在容許范圍之內(nèi)，故其特征向量均可以用作權(quán)向量。STEP 4:計(jì)算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗(yàn)）計(jì)算組合權(quán)向量并將最后結(jié)果作為決策的定量依據(jù)。將上述5個(gè)表格中得到 的結(jié)果融合并用EXCEL進(jìn)行處理，計(jì)算最終的組合權(quán)向量。表格7 （組合權(quán)向量）價(jià)錢外觀品牌性能組合權(quán) 向量準(zhǔn)則層權(quán)重0.23210.13470.08340.5499諾基亞0.04540.06030.10030.47840.2900三星0.1628 :0.11550.06090.24860.1951多普達(dá)0.6289 :0.62230.62720.04380.3062蘋果0.16280.20

11、190.21160.22920.2087最大特征值丸4.1179 14.2281r 4.1664.1665一致性比率CR0.04370.08450.06150.0617綜上可得，方案1在目標(biāo)中的組合權(quán)重應(yīng)為方案1在各準(zhǔn)則中的權(quán)重與相應(yīng) 準(zhǔn)則對(duì)于目標(biāo)的權(quán)重的兩兩乘積之和，即：0.0454*0.2321+0.0603*0.1347+0.1003*0.0834+0.4784*0.5499=0.2900同理可以算出方案2、方案3、方案4在目標(biāo)中的組合權(quán)重分別為0.19510.30620.2087由上述表格我們可以得到最終結(jié)果：多普達(dá) 諾基亞蘋果三星，故最后我 們的選擇會(huì)是多普達(dá)。五、模型的推廣層次分析

12、把研究對(duì)象作為一個(gè)系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式 進(jìn)行決策。把定量和定性的方法結(jié)合起來，能處理許多傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著 手的實(shí)際問題，應(yīng)用范圍很廣。具有中等文化程度以上的人即可了解層次分析的 基本原理和掌握它的基本步驟，計(jì)算也非常簡(jiǎn)便。但也有它的局限性，可以用粗 略、主觀等詞來概括，第一，它只能從原有的方案中選優(yōu)，不能生成新方案；第 二，它的比較判斷直到結(jié)果都是粗糙的；第三，人主觀因素的作用很大，當(dāng)然， 采取專家群體判斷的方法是克服這個(gè)缺點(diǎn)的一種途徑。六、附錄Matlab 函數(shù) JianYan 的代碼：function JianYan(A)%輸出格式format short;%輸入

13、待求的矩陣 Av,d=eigs(A);%最大特征值tbmax=max(d(:);%得到行數(shù)和列數(shù)m,n=size(v);%將特征向量標(biāo)準(zhǔn)化sum = 0;for i=1:msum = sum + v(i,1);endtbvector = v(:,1);for i=1:mtbvector(i,1)= v(i,1)/sum;enddisp('=');disp('最大的特征值為：)；tbmaxdisp('最大的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為(標(biāo)準(zhǔn)化后的)：)；tbvectordisp('一致性比率CR為：)CR=(tbmax-4)/3/0.9if CR<0.1d

14、isp('CR小于0.1,通過一致性檢驗(yàn)，特征向量為權(quán)向量')elsedisp('CR大于0.1，沒能通過一致性檢驗(yàn)，特征向量不為權(quán)向量)；end (注：由于題目要求需要，我將原先的求權(quán)重的程序做了小幅度修改，來適應(yīng)這 次題目的要求 )五個(gè)矩陣的一致性檢驗(yàn)結(jié)果分別為：>> A=1 3 2 1/31/3 1 3 1/51/2 1/3 1 1/53 5 5 1；B=1 2 7 31/2 1 7 11/7 1/7 1 1/71/3 1 7 1；C=1 1/3 1/7 1/33 1 1/5 1/37 5 1 53 3 1/5 1;D=1 2 1/5 1/31/2 1

15、 1/7 1/45 7 1 53 4 1/5 1; E=1 1/5 1/8 1/55 1 1/5 18 5 1 55 1 1/5 1;>> JianYan(A)最大的特征值為： tbmax = 4.2489 最大的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為（標(biāo)準(zhǔn)化后的） ： tbvector =0.23210.13470.08340.5499 一致性比率 CR 為： CR =0.0922CR 小于 0.1，通過一致性檢驗(yàn)，特征向量為權(quán)向量 >> JianYan（B）最大的特征值為： tbmax = 4.1179 最大的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為（標(biāo)準(zhǔn)化后的） ： tbvector =0.47840.24860.04380.2292 一致性比率 CR 為： CR =0.0437CR 小于 0.1，通過一致性檢驗(yàn)，特征向量為權(quán)向量 >> JianYan（C）最大的特征值為：tbmax =4.2281 最大的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為（標(biāo)準(zhǔn)化后的） ： tbvector =0.06030.11550.62230.2019 一致性比率 CR 為： CR =0.0845 CR 小于 0.1，通過一致性檢驗(yàn)，特征向量為權(quán)向量 >> JianYan(D)最大的特征值為： tbmax =4.1660 最大的特征