北科大材力彎曲變形PPT課件

1、第1頁/共60頁第2頁/共60頁1.1.撓曲線方程：撓曲線方程：( )wf x由于小變形，截面形心在由于小變形，截面形心在x x方向的位移忽略不計(jì)方向的位移忽略不計(jì)4.4.撓度與轉(zhuǎn)角關(guān)系為：撓度與轉(zhuǎn)角關(guān)系為：tan,arctandwdwdxdx撓曲線撓曲線wxxw撓度撓度轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角2.2.撓度撓度w w：截面形截面形 心在心在y y方向的位移方向的位移w向上為正向上為正3.3.轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。逆鐘向?yàn)檎骁娤驗(yàn)檎?-26-2 6-2 梁的撓曲線的微分方程梁的撓曲線的微分方程第3頁/共60頁純彎曲純彎曲時(shí)，得到：時(shí)，得到：z zEIEIM M1 1橫力彎曲

2、橫力彎曲時(shí)時(shí), ,忽略剪力對變形的影響忽略剪力對變形的影響1( )( )zM xxEI MM1,dMdsddsEI2222arctan111dddxddwdxdsdx dsdxdxdsd wddwdxdxdxdxdxdsdsdwdwdxdxarctandwdxdxdwds2222,1dsdxdwdwdsdxdx223221d wMdxEIdwdx第4頁/共60頁撓曲線微分方程撓曲線微分方程： 上式是非線性的，適于彎曲變形的任意情況。上式是非線性的，適于彎曲變形的任意情況。小變形情況下：小變形情況下： MM tan,dwfxdx223221d wMdxEIdwdx21dwdxb。解解1 1）由梁

3、整體平衡分析得：）由梁整體平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx ,02 2）彎矩方程）彎矩方程1111, (0)AyFbM xF xxxalAC AC 段：段：222222()(),()AyFbM xF xF xaxF xaaxllCB CB 段：段：maxwab1x2xACDFxAyFByFABwB第10頁/共60頁3 3）列撓曲線近似微分方程并積分）列撓曲線近似微分方程并積分211121()d wFbEIM xxdxl121111( )2dwFbEIEIxxCdxl1311 116FbEIwxC xDlAC AC 段：段：2222222()()d wFbEIM xxF xadxl22

4、222222()()22dwFbFEIEIxxxaCdxl23322222()66FbFEIwxxaC xDlCB CB 段：段：maxwab1x2xACDFxAyFByFABwB1111, (0)AyFbM xF xxxal222222()(),()AyFbM xF xF xaxF xaaxll第11頁/共60頁4 4）由邊界條件確定積分常數(shù)）由邊界條件確定積分常數(shù)22=( ) = 0 xl,wl11= 0(0) = 0 x,w代入求解，得代入求解，得位移邊界條件位移邊界條件光滑連續(xù)條件光滑連續(xù)條件)()(,2121aaaxx 1212=( ) =( )xxa,w aw alFbFblCC6

5、61321 021 DDmaxwab1x2xACDFxAyFByFAByB1211()2FbEIxxCl1311 116FbEIwxC xDl222222()()22FbFEIxxxaCl23322222()66FbFEIwxxaC xDl第12頁/共60頁5 5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程)(6222211bllFbxlFbEI 113221-(-)FbFbEIwxlbx6l6lAC AC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI33222222()()666FbFFbEIwxxalbxllCB CB 段：段：lxa2maxwab1x2x

6、ACDFxAyFByFAByB第13頁/共60頁6 6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度令令 得，得，0 dxd )(6,maxalEIlFablxB 令令 得，得，= 0dwdx22 322max(),()39 3FblblbxEIl wmaxwab1x2xACDFxAyFByFAByB第14頁/共60頁最大轉(zhuǎn)角，顯然在支座處最大轉(zhuǎn)角，顯然在支座處(0)()6AzPabLbEI L ( )()6BzPabLLaEI LBbamax Abamax （順時(shí)針方向）（順時(shí)針方向）（逆時(shí)針方向）（逆時(shí)針方向）（絕對值）（絕對值）maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB)(62

7、22211bllFbxlFbEI )(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI討論：討論：1.1.或由大致?lián)锨€確定或由大致?lián)锨€確定從從AB， : ，中間必經(jīng)過，中間必經(jīng)過0。第15頁/共60頁2. 當(dāng)當(dāng)P力作用在跨中央時(shí)，力作用在跨中央時(shí)，fmax發(fā)生在梁中央。發(fā)生在梁中央。當(dāng)當(dāng)P力無限接近端點(diǎn)力無限接近端點(diǎn)B時(shí)，即時(shí)，即b0時(shí)時(shí)010.5773 0.5xLLL接近簡支梁無論簡支梁無論F作用在何處用作用在何處用%65. 2最大誤差max() 2Lww代替maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB第16頁/共60頁積分法求梁的變形關(guān)鍵點(diǎn)：積分法求梁的變形關(guān)鍵點(diǎn)： 分段列彎

8、距方程分段列彎距方程 尋找邊界條件尋找邊界條件分段分段: AB、BC、CD三段，六個(gè)積分常數(shù)。三段，六個(gè)積分常數(shù)。邊界條件邊界條件 0, 0 , AABBccwwwww左右左右, 0Dccw左右PDABC第17頁/共60頁邊界條件：0, ABBCwwl 集中力、集中力偶作用點(diǎn)，分布力的集中力、集中力偶作用點(diǎn)，分布力的起、終點(diǎn)，梁的自然端點(diǎn)為分段點(diǎn)。起、終點(diǎn)，梁的自然端點(diǎn)為分段點(diǎn)。支承條件、連續(xù)條件、光滑條件。有支承條件、連續(xù)條件、光滑條件。有多少積分常數(shù)就有且僅有多少個(gè)邊界多少積分常數(shù)就有且僅有多少個(gè)邊界條件。條件。ABC第18頁/共60頁小小 結(jié)結(jié)解題步驟解題步驟:1.分段求M(x);2.分

9、段寫撓曲線微分方程EIw=M(x),并積分之;3.由邊界條件定積分常數(shù),得撓曲線方程w(x)及轉(zhuǎn)角方程(x);4.求最大變形max, wmax.由經(jīng)驗(yàn)判定撓曲線,找出最大值所在位置;對變形方程求極值而確定最大值;由M圖畫大致?lián)锨€:M(x) = EIwM0 , w 0 ;M0 , w 0 ;M = 0 , w= 0 ;M = c , = c . 圓弧第19頁/共60頁例例:已知撓曲線方程已知撓曲線方程 則兩端截面的約束則兩端截面的約束可能為下列情形中的可能為下列情形中的.323(32) (48),EIyqx llxx/Bxol(D)yxol(C)y(B)xoly(A)xoly323032302

10、00(32)/480,0,(98)/480,0,(2418 )/480,0,(4818 )/480,0, ,xx lxx lxx lsssxx lEIwEIqx llxxwwA BEIwq llxxB DEIwqxlxMMMB DEIwqxlFFFA B C D 第20頁/共60頁22( )d wEIEIwM xdx 設(shè)梁上有設(shè)梁上有n n 個(gè)載荷同時(shí)作用，任意截面上的彎矩個(gè)載荷同時(shí)作用，任意截面上的彎矩為為M(x)M(x)，轉(zhuǎn)角為轉(zhuǎn)角為 ，撓度為，撓度為w w，則有：，則有： ( )iiEIwM x 若梁上只有第若梁上只有第i i個(gè)載荷單獨(dú)作用，截面上彎矩個(gè)載荷單獨(dú)作用，截面上彎矩為為 ，轉(zhuǎn)

11、角為，轉(zhuǎn)角為 ，撓度為，撓度為 ，則有：，則有：i iw)(xMi由彎矩的疊加原理知：由彎矩的疊加原理知：)()(1xMxMnii 所以，所以，11()( )nniiiiEIwEIwM x7-46-4 6-4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形第21頁/共60頁故故1()niiww由于梁的邊界條件不變，因此由于梁的邊界條件不變，因此,1nii1niiww重要結(jié)論：重要結(jié)論： 梁在若干個(gè)載荷共同作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角，梁在若干個(gè)載荷共同作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。等于在各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是這就是計(jì)算彎曲變形的疊加原理計(jì)算彎曲變形的疊加

12、原理。因?yàn)橐驗(yàn)?1()( )nniiiiEIwEIwM xEIw第22頁/共60頁某梁對應(yīng)某種荷載情況的撓度為w1該梁對應(yīng)另種荷載情況的撓度為w2當(dāng)這兩種荷載同時(shí)作用在梁上時(shí)撓度為w12www則同樣地， =1+2疊加法成立前提，線彈性、小變形線彈性、小變形。第23頁/共60頁3,3BzPLwEIzBEIPL22LAPBABLq4,8BzqLwEIzBEIqL63APB3,48CzPLwEIzAEIPL16245,384CzqLwEIzAEIqL243撓度： 3、8、48、5384轉(zhuǎn)角： 2、6、16、24ABqL/2L/2CL/2L/2C第24頁/共60頁例例: : 已知簡支梁受力如圖示，已知

13、簡支梁受力如圖示，q q、l、EIEI均為已知。求均為已知。求C C 截面的撓度截面的撓度y yC C ；B B截面的截面的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 B B1 1）將梁上的載荷分解）將梁上的載荷分解321CCCCyyyy 321BBBByC1yC2yC32 2）查表得）查表得3 3種情形下種情形下C C截面的撓度和截面的撓度和B B截截面的轉(zhuǎn)角面的轉(zhuǎn)角。EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333EIqlyC384541EIqlyC4842EIqlyC1643解解第25頁/共60頁yC1yC2yC33 3） 應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時(shí)的結(jié)應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時(shí)的結(jié)果求和果求和 )(384111

14、6483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlyyiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB第26頁/共60頁qBACla例例: : 已知：懸臂梁受力如圖示，已知：懸臂梁受力如圖示，q q、l、a a、EIEI均為已知。求均為已知。求C C 截面的撓度截面的撓度y yC C和轉(zhuǎn)和轉(zhuǎn)角角 C CqBAClaByByC36CBqlEI CBByya 4386qlql aEIEI 3243qllaEI 第27頁/共60頁Cy例例: : 已知：懸臂梁受力如圖示，已知：懸臂梁受力如圖示，q q、l、EIEI均為已知。求均為已知。求C C截面的撓度截面的

15、撓度y yC C和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 C CdxxdxxdP查表，其中查表，其中 dP = qdx, c = x2(3)6cdPxdylxEI 2(3)6qxlxdxEI 2llccydy22(3)6llqxlxdxEI43264llqxlxEI 441384qlEI 第28頁/共60頁例例: : 已知：懸臂梁受力如圖示，已知：懸臂梁受力如圖示，q q、l、EIEI均為已知。求均為已知。求C C截面的撓度截面的撓度y yC C和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 C C1 1）將載荷變成有表可查的情形）將載荷變成有表可查的情形 Cy2Cy1Cy2By,841EIqlyC 43222,2128482CBBlqlqllyyEIE

16、IEIqlC631EIqlC4832 42141,384CCiiqlyyEI 3 3）將結(jié)果疊加）將結(jié)果疊加 321748CCiiqlEI 2 2）計(jì)算各自）計(jì)算各自C C截面的撓度和轉(zhuǎn)角截面的撓度和轉(zhuǎn)角第29頁/共60頁解解：我們分別考慮AB和BC梁段的情況。LaABCPPam 0(a) 剛化BC 求圖示荷載作用下，C截面的撓度。LaABCPLaABCPBaBPam 0zzBEIPaLEILm330123CBzPa LfaEI第30頁/共60頁(c) 疊加(b) 剛化ABBCP2CfLaABCP233CzPafEI12 CCCfff)(32aLEIPazaEIPaLEIPazz333LaAB

17、CPBaBPam 0123CBzPa LfaEI(a) 剛化BC第31頁/共60頁(c) 疊加(b) 取AB：BCP2CfLaABCP233CzPafEI12 CCCfff)(32aLEIPazaEIPaLEIPazz333123CBzPa LfaEI解二：(a) 取BC：LaABCPBaBBmPaRBFPBMPaRBF第32頁/共60頁第33頁/共60頁第34頁/共60頁第35頁/共60頁1234123412340 11 22 33 4fffffffffllll 第36頁/共60頁1234123412340 11 22 33 4fffffffffllll 第37頁/共60頁節(jié)數(shù)12345厚度

18、t(mm)66555高度h(mm)6686686665133823/12yIbh3/12xIb h2ycIIAa221cossinsin2yyxyzIIIaIa221sincossin2xyxyzIIIaIa412989665549IImm43693265420Imm44454295119Imm45249835730Imm th1h2h第38頁/共60頁第39頁/共60頁,maxmax yy建筑鋼梁的許可撓度：建筑鋼梁的許可撓度：1000250ll機(jī)械傳動(dòng)軸的許可轉(zhuǎn)角：機(jī)械傳動(dòng)軸的許可轉(zhuǎn)角：30001精密機(jī)床的許可轉(zhuǎn)角：精密機(jī)床的許可轉(zhuǎn)角：500017-56-5 6-5 梁的剛度校核梁的剛度校

19、核第40頁/共60頁已知：q=10kN/m ，L=3m，bhLfGPaE2 , 2501 , 200試設(shè)計(jì)截面。hbABLq, 120MPa解：(1) 按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)A截面為危險(xiǎn)截面mNqLM3232max1045310102121maxzWM32646332bbbhWz)2(bh 63310120104532bcmmb 25. 8 1025. 8101202104532363cmbh 5 .162 第41頁/共60頁(2) 按剛度條件設(shè)計(jì)maxLfLf4max , 8zqLfEI3212)2(12433bbbbhIzABLqhb333max9410 1031282508 200 103Zfq

20、LLEIb代入剛度條件可得：cmb 92. 821020082503101034933cmbh 84.172 綜合考慮強(qiáng)度和剛度條件，?。篶mbcmh 9 18第42頁/共60頁 根據(jù)要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承根據(jù)要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承B B 處轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)處轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。值。 B1 1）由前面求得承受集中載荷的外伸梁）由前面求得承受集中載荷的外伸梁B B 處的轉(zhuǎn)角為：處的轉(zhuǎn)角為： EIFlaB3解解例例: : 已知鋼制圓軸左端受力為已知鋼制圓軸左端受力為F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa

21、。軸承軸承B B處的處的許可轉(zhuǎn)角許可轉(zhuǎn)角 =0.5 =0.5。根據(jù)剛度要求確定根據(jù)剛度要求確定軸的直徑軸的直徑d d。第43頁/共60頁例例: : 已知鋼制圓軸左端受力為已知鋼制圓軸左端受力為F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa。軸承軸承B B處的處的許可轉(zhuǎn)角許可轉(zhuǎn)角 =0.5 =0.5。根據(jù)剛度要求確定根據(jù)剛度要求確定軸的直徑軸的直徑d d。B2 2）由剛度條件確定軸的直徑：）由剛度條件確定軸的直徑： B 111mmm101115 . 010206318012102064318064342934EFlad 1803EIFla EF

22、laI3180 EFlad3180644第44頁/共60頁1.1.靜不定梁的概念靜不定梁的概念超靜定梁：超靜定梁： 未知力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁。未知力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁。多余約束：多余約束： 從維持平衡角度而言從維持平衡角度而言, ,多余的約束。多余的約束。超靜定次數(shù)：超靜定次數(shù)：多余約束或多余支反力的數(shù)目。多余約束或多余支反力的數(shù)目。2.2.用變形比較法求解靜不定梁用變形比較法求解靜不定梁解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)；解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)； 比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件；比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件； 由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程；由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程； 利用靜力平衡條件求其他約束

23、反力。利用靜力平衡條件求其他約束反力。相當(dāng)系統(tǒng)：相當(dāng)系統(tǒng)： 用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)。用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)。7-66-6 6-6 靜不定梁靜不定梁第45頁/共60頁解：三個(gè)反力二個(gè)平衡方程 所以是超靜定問題。靜定基：0qBRBBfffB34(2 )5 (2 )038448RBzzFlqlEIEI53 , 48RBRARCFqlFFqlACqFRBFRAFRCACqFRB 求圖示梁的約束反力。ABCllq第46頁/共60頁 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA解解: :例例: : 求梁的支反力，梁的抗彎剛度為求梁的支反力，梁的

24、抗彎剛度為EIEI。1 1）判定超靜定次數(shù)）判定超靜定次數(shù)2 2）解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)）解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)(d)ABCFByABFC()()0ByBBFBFwww3 3）進(jìn)行變形比較，列出變形協(xié)調(diào)條件）進(jìn)行變形比較，列出變形協(xié)調(diào)條件第47頁/共60頁4 4）由物理關(guān)系，列出補(bǔ)充方程）由物理關(guān)系，列出補(bǔ)充方程 23(2 )14()(92 )63BFFaFawaaEIEI 38()3ByByBFF awEI03831433EIaFEIFaBy所以所以FFBy475 5）由整體平衡條件求其他約束反力）由整體平衡條件求其他約束反力 )(43),(2FFFaMAyA 2a(d)(c)(b)

25、(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFCA AM MAyAyF F第48頁/共60頁例例: 梁梁AB AB 和和BC BC 在在B B 處鉸接，處鉸接，A A、C C 兩端固定，梁的抗彎剛度均為兩端固定，梁的抗彎剛度均為EIEI，F(xiàn) F = 40kN= 40kN，q q = 20kN/m= 20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。畫梁的剪力圖和彎矩圖。 從從B B 處拆開，使超靜定結(jié)構(gòu)變成兩個(gè)懸臂處拆開，使超靜定結(jié)構(gòu)變成兩個(gè)懸臂梁。梁。變形協(xié)調(diào)方程為：變形協(xié)調(diào)方程為：12BBwwBBFFFBwB1 FBwB2物理關(guān)系物理關(guān)系3414483BBFqwEIEI322423 4263BBFFwEIEI解解第49頁/共60頁FB FByB1yB2kN75. 84842046104023342BF代入得補(bǔ)充方程：代入得補(bǔ)充方程：EIFEIFEIFEIqBB342436234843234確定確定A A 端約束力端約束力04, 0 qFFFBAy44 208.7571.25 kNABFqF0424, 0 BAAFqMM4244 20 248.75125 kN mABMqF 第50頁/共