《數字信號處理教學》第七章 fir濾波器的設計ppt課件

1、第七章第七章 FIR FIR濾波器的設計濾波器的設計n線性相位線性相位FIRFIR濾波器的特點濾波器的特點n窗函數設計法窗函數設計法n頻率抽樣設計法頻率抽樣設計法nIIRIIR和和FIRFIR數字濾波器的比較數字濾波器的比較第一節(jié)第一節(jié) 線性相位線性相位FIR濾波器的特點濾波器的特點( )01h nnN10( )( )NnnH zh n z系統(tǒng)函數：系統(tǒng)函數：在在 z 平面有平面有N 1 個零點個零點在在 z = 0 處是處是N 1 階極點階極點 FIR濾波器的單位沖激呼應：濾波器的單位沖激呼應：()()jjH ee 0( ) 第二類線性相位：第二類線性相位：( ) 第一類線性相位：第一類線性

2、相位：10()( )Njj nnH eh n e()( )jHe 線性相位是指線性相位是指 是是 的線性函數的線性函數 1、線性相位條件、線性相位條件h(n)為實序列時，其頻率呼應：為實序列時，其頻率呼應：即群延時即群延時 是常數是常數( )dd ()()jjH ee 10()( )Njj nnH eh n e( ) 第一類線性相位：第一類線性相位：()jjH ee 10() coscosNjnH eh nn 10() sinsinNjnH eh nn 1010sinsincoscosNnNnh nntgh nn 1100sincoscossin0NNnnh nnh nn 10sin0Nnh

3、nn第一類線性相位第一類線性相位 的充要條件：的充要條件：( ) ( )(1)01h nh NnnN 12Nn = (N 1) /2 為為h(n)的偶對稱中心的偶對稱中心 10sin0Nnh nn第二類線性相位第二類線性相位 的充要條件：的充要條件：0( ) ( )(1)01h nh NnnN 12N0/2 n = (N 1) /2 為為h(n)的奇對稱中心的奇對稱中心1100( )( )(1)NNnnnnH zh n zh Nn z 1(1)0( )NNmmh m z (1)1()NzH z 系統(tǒng)函數：系統(tǒng)函數：( )(1)01h nh NnnN 由由1(1)0( )NNmmzh m z 2

4、、線性相位、線性相位FIR濾波器頻率呼應的特點濾波器頻率呼應的特點1mNn 令(1)11 ( )( )()2NH zH zzH z得11(1)001( )( )2NNnNnnnh n zzh n z1(1)01( )2NnNnnh nzzz11122120( )2NNnnNNnzzzh n (1)1 ()NH zzH z 由11221cos 221sin 2jNNnnz eNnzzNjn 11122120( )2NNnnNNnzzH zzh n112011201( )cos2()( )1( )sin2jNNjnjz eNNjnNeh nnH eH zNjeh nn cos2jxjxeex( )

5、(1)h nh Nn 11201()( )( )cos2jNNjjz enNH eH zeh nn12N1h(n)偶對稱偶對稱為第一類線性相位為第一類線性相位1( )2N 相位函數：相位函數：頻率呼應：頻率呼應：( )(1)h nh Nn 11201()( )( )sin2jNNjjz enNH eH zjeh nn12N112201( )sin2NNjjnNeh nn0/22h(n)奇對稱奇對稱1( )22N 相位函數：相位函數：為第二類線性相位為第二類線性相位頻率呼應：頻率呼應：11cos(1)cos22NNNnn 11cos22NNn對呈偶對稱101( )( )cos2NnNHh nn幅

6、度函數：幅度函數：1cos2Nn3、幅度函數的特點、幅度函數的特點1h(n)偶對稱，偶對稱，N為奇數為奇數-32011( )2 ( )cos22NnNNHhh nn121112cos()22NmNNhhmm12Nnm令120( )( )cos()NnHa nn1(0)2Nah其中：其中：11,.,2Nn1( )22Na nhn120( )( )cos()NnHa nn1(0)2Nah11,.,2Nn其中：其中：1( )22Na nhn( )0, , 2 H對呈偶對稱cos()0, 2 n對，呈偶對稱120( )( )cos()NnHa nn12012 ( )cos2NnNh nn101( )(

7、 )cos2NnNHh nn幅度函數：幅度函數：2h(n)偶對稱，偶對稱，N為偶數為偶數2112cos22NmNhmm2Nnm令/211( )( )cos2NnHb nn( )22Nb nhn1,.,2Nn 其中：其中：1201( )2 ( )cos2NnNHh nn/211( )( )cos2NnHb nn( )22Nb nhn1,.,2Nn 其中：其中：( )H對呈奇對稱( )01Hz 則是零點1 cos02n時1z 為零點故不能設計成高通、帶阻濾波器故不能設計成高通、帶阻濾波器 ( )0, 2H對呈偶對稱/211( )( )cos2NnHb nn11sin(1)sin22NNNnn 11

8、sin22NNn對呈奇對稱101( )( )sin2NnNHh nn幅度函數：幅度函數：1sin2Nn 3h(n)奇對稱，奇對稱，N為奇數為奇數-3201( )2 ( )sin2NnNHh nn12112sin()2NmNhmm12Nnm令121( )( )sin()NnHc nn1( )22Nc nhn11,.,2Nn其中：其中：1( )02Nh nNh奇對稱且 為奇數121( )( )sin()NnHc nn1( )22Nc nhn11,.,2Nn其中：其中：()0, 2H故對，呈奇對稱( )01Hz 則是零點0, , 2 sin()0n時121( )( )sin()NnHc nnsin(

9、)0, 2 n因對，呈奇對稱帶通濾波器帶通濾波器101( )( )sin2NnNHh nn幅度函數：幅度函數：12012 ( )sin2NnNh nn4h(n)奇對稱，奇對稱，N為偶數為偶數1201( )2 ( )sin2NnNHh nn2112sin22NmNhmm2Nnm令/211( )( )sin2NnHd nn( )22Nd nhn1,.,2Nn 其中：其中：/211( )( )sin2NnHd nn( )22Nd nhn1,.,2Nn 其中：其中：( )01Hz 則是零點10, 2 sin02n時( )0, 2H對呈奇對稱( )H對呈偶對稱/211( )( )sin2NnHd nn不

10、能設計低通不能設計低通DF( )0iH z*, 1/iizz即 也是零點(1)1( )()NH zzH z 得：得：由由1假設假設 z = zi 是是H(z)的零點，那么的零點，那么 z = zi-1 也是也是零點零點2h(n)為實數，那么零點共軛成對為實數，那么零點共軛成對 線性相位濾波器的零點是互為倒數的共軛對線性相位濾波器的零點是互為倒數的共軛對 即共軛成對且鏡像成對。即共軛成對且鏡像成對。(1)1()( )0NiiiH zzH z 4、零點位置、零點位置11( )(1)(1)iijjiiiH zrezrez111111iijjiiezezrr1222112 cosiiiirzr zr2

11、122 cosiiirrzz1522NN10ijiiiizrer 或111iiiijjjjiiiirereeerr零點：零點：12221( )12 cosiiiiiH zrzr zr2122 cosiiirrzz11( )11iijjiH zezez1212 cosirzz 1312NN10ijiiiizrer 或2 ，即零點在單位圓上，即零點在單位圓上iijjee零點：零點：111( )11iiiH zrzzr1211iirzzr 1312NN i負實軸上 0 i正實軸上10ijiiiizrer 或3 ，即零點在實軸上，即零點在實軸上1iirr零點：零點：1( )(1)iH zz11222N

12、N 1 01iizz 1零點：零點：10ijiiiizrer 或 即零點既在實軸上，又在單位圓上即零點既在實軸上，又在單位圓上45、線性相位、線性相位FIR濾波器的構造濾波器的構造01nNFIR濾波器單位抽樣呼應h(n)為實數，且滿足：( )(1)h nh Nn 偶對稱：( )(1)h nh Nn 或奇對稱：即對稱中心在 (N-1) / 2處那么這種FIR濾波器具有嚴厲線性相位。N為奇數時10( )( )NnnH zh n z11112210121( )( )2NNNnnNnnNh n zhzh n z1112(1)201( )2NNnNnnNh nzzhz 1nNm 令h(n)偶對稱，取“+

13、102Nhh(n)奇對稱，取“ ，且N為偶數時10( )( )NnnH zh n z11202( )( )NNnnNnnh n zh n z12(1)0( )NnNnnh nzz 10()( )( )NnjdnH zh nezHw(n)：窗函數序列：窗函數序列要選擇適宜的外形和長度要選擇適宜的外形和長度第二節(jié)第二節(jié) 窗函數設計法窗函數設計法1、設計方法、設計方法1( )2jj nddh nHeed( )( )( )dh nw n h n以理想濾波器為目的以理想濾波器為目的義務：確定義務：確定hn加窗加窗反變換反變換()0,jjccdcceHe 1sin()( )2()ccjj ncdnh ne

14、edn其理想單位抽樣呼應：其理想單位抽樣呼應：中心點為中心點為 的偶對稱無限長非因果序列的偶對稱無限長非因果序列以低通濾波器為例討論：以低通濾波器為例討論：線性相位理想低通濾波器的頻率呼應：線性相位理想低通濾波器的頻率呼應：( )( )Nw nRn 1sin201 120cNnnNh nNnn其它( )01( )( ) ( )0ddh nnNh nh n w nn其它那么那么FIR濾波器的單位抽樣呼應：濾波器的單位抽樣呼應：12N按第一類線性相位條件，得按第一類線性相位條件，得sin()( )()cdnh nn取矩形窗：取矩形窗：1()2jjjdH eHeW ed 1120sin2()( )s

15、in2NNjjj nRnNW ew n ee而矩形窗的頻率呼應：而矩形窗的頻率呼應：( )( ) ( )dh nhn w nsin2 ( )sin2RNW其幅度函數： 加窗處置后對頻率呼應的影響：加窗處置后對頻率呼應的影響：時域乘積相當于頻域卷積時域乘積相當于頻域卷積12()( )NjjddHeHe11()221()( )()2NNjjjdRH eHeWed 121( )()2NjdReHWd1( )0cdcH其幅度函數：其幅度函數：那么那么FIR濾波器的頻率呼應：濾波器的頻率呼應： 1( )()2dRHHWd其幅度函數：理想濾波器的頻率呼應：理想濾波器的頻率呼應：(0)( )RHW近似于的全

16、部積分面積()0.5(0)cHH2cHN為最大值，正肩峰2cHN為最小值，負肩峰( )H隨，繞零值波動( )(0)HH隨，繞波動0c2cN2cN2cN2cN1( )( )()2dRHHWd幅度函數：幅度函數：n在在 處出現(xiàn)肩峰值，兩側構成起伏振蕩，振蕩處出現(xiàn)肩峰值，兩側構成起伏振蕩，振蕩n 的幅度和多少取決于旁瓣的幅度和多少的幅度和多少取決于旁瓣的幅度和多少2cNn改動改動N只能改動窗譜的主瓣寬度，但不能改動主瓣與旁瓣只能改動窗譜的主瓣寬度，但不能改動主瓣與旁瓣的相對比例。其相對比例由窗函數外形決議。的相對比例。其相對比例由窗函數外形決議。n稱為稱為Gibbs效應效應.加窗函數的影響：加窗函數

17、的影響：n 不延續(xù)點處邊沿加寬構成過渡帶，其寬度兩肩峰之間的不延續(xù)點處邊沿加寬構成過渡帶，其寬度兩肩峰之間的n 寬度近似等于窗函數頻率呼應的主瓣寬度。寬度近似等于窗函數頻率呼應的主瓣寬度。1) 窗譜主瓣盡能夠窄以獲得較陡的過渡帶窗譜主瓣盡能夠窄以獲得較陡的過渡帶2) 盡量減少窗譜最大旁瓣的相對幅度以減小盡量減少窗譜最大旁瓣的相對幅度以減小 肩峰和波紋肩峰和波紋2 2、各種窗函數、各種窗函數窗函數的要求：窗函數的要求：( )( )Nw nRn矩形窗矩形窗4N主瓣寬度最窄：主瓣寬度最窄：旁瓣幅度大旁瓣幅度大 1120()( )NNjjj nRRnWew n eWe窗譜：窗譜：sin2( )sin2

18、RNW幅度函數：幅度函數： 21012( )212112nNnNw nnNnNN8N主瓣寬度寬：主瓣寬度寬：旁瓣幅度較小旁瓣幅度較小 12()NjjW eWe窗譜：窗譜：幅度函數：幅度函數： 2sin24( )sin2NWN1N 三角形三角形Bartlett窗窗12( )1cos( )21Nnw nRnN8N主瓣寬度寬：主瓣寬度寬：旁瓣幅度小旁瓣幅度小22( )0.5( )0.25RRRWWWWNN幅度函數：幅度函數： 1N n漢寧漢寧(Hanning)窗窗n (升余弦窗升余弦窗)2( )0.540.46cos( )1Nnw nRnN8N主瓣寬度寬：主瓣寬度寬：旁瓣幅度更小旁瓣幅度更小22(

19、)0.54( )0.23RRRWWWWNN幅度函數：幅度函數： 1N n海明海明(Hamming)窗窗n(改良的升余弦窗改良的升余弦窗)24( )0.420.5cos0.08cos( )11Nnnw nRnNN12N主瓣寬度最寬：主瓣寬度最寬：旁瓣幅度最小旁瓣幅度最小22( )0.42( )0.25RRRWWWWNN440.04RRWWNN幅度函數：幅度函數： 1N n布萊克曼布萊克曼(Blackman)(Blackman)窗窗n( (二階升余弦窗二階升余弦窗) ) ：第一類變形零階：第一類變形零階 貝塞爾函數貝塞爾函數0( )I 2002111( )( )nINw nI01nN改變 可同時調

20、整主瓣 寬度和旁瓣幅度 旁瓣幅度 但主瓣寬度凱澤凱澤(Kaiser)窗窗窗函數窗函數窗譜性能指標窗譜性能指標加窗后濾波器性能指標加窗后濾波器性能指標旁瓣峰值旁瓣峰值/dB主瓣寬度主瓣寬度 過渡帶寬過渡帶寬阻帶最小阻帶最小衰減衰減/dB矩形窗矩形窗三角形窗三角形窗漢寧窗漢寧窗海明窗海明窗布拉克曼窗布拉克曼窗凱澤窗凱澤窗 ( =7.865) -13-25-31-41-57-5748886.61110-21-25-44-53-74-80/ N/ N阻帶最小衰減只由窗外形決議阻帶最小衰減只由窗外形決議過渡帶寬那么與窗外形和窗寬過渡帶寬那么與窗外形和窗寬N N都有關都有關n求出理想

21、的單位抽樣呼應求出理想的單位抽樣呼應( )dh nn根據阻帶衰減選擇窗函數根據阻帶衰減選擇窗函數( )w nn計算頻率呼應計算頻率呼應 ，驗算目的能否滿足要求，驗算目的能否滿足要求()jH e/NAn根據過渡帶寬度確定根據過渡帶寬度確定N值值( )( )( )dh nh nw nn求所設計的求所設計的FIR濾波器的單位抽樣呼應濾波器的單位抽樣呼應3、窗函數法的設計步驟、窗函數法的設計步驟n給定理想的頻率呼應函數給定理想的頻率呼應函數n及技術目的及技術目的()jdHe和s公式法：公式法：()jdH e( )dh n, ( )( )dMMNh nhn當時IFFT法：法：1( )2jj nddh n

22、Heed( )()Mdrhnh nrM計算其計算其IFFT，得：，得：對對 M點等間隔抽樣：點等間隔抽樣：()jdHe2()jkMdHe當當MN時：時：/2/0.2ppspsf /2/0.4ststsstsf 解：解：1求數字頻率求數字頻率例：設計一個線性相位例：設計一個線性相位FIR低通濾波器，低通濾波器，給定抽樣頻率為給定抽樣頻率為 ，421.5 10 (/sec)srad 321.5 10 (/sec)prad 通帶截止頻率為通帶截止頻率為 ，323 10 (/sec)strad 阻帶起始頻率為阻帶起始頻率為 ，阻帶衰減不小于阻帶衰減不小于-50dB，幅度特性如下圖，幅度特性如下圖4、線

23、性相位、線性相位FIR低通濾波器的設計低通濾波器的設計dBs50()0,jjccdcceHe ccsf()11( )22ccjj njndh needed1sin()()ccnnnn12N1/220.3psts 2求求hd(n)2( )0.540.46cos( )1Nnw nRnN20.2stps 6.6330.2N1162N4確定確定N 值值6.6N海明窗帶寬：3選擇窗函數：由選擇窗函數：由 確定海明窗確定海明窗-53dBdBs50( )( ) ( )dh nh n w n33sin 0.3160.540.46cos( )1616nnRnn6求求 ，驗證，驗證()jH e假設不滿足，那么改假

24、設不滿足，那么改動動N或窗外形重新設或窗外形重新設計計5確定確定FIR濾波器的濾波器的h(n)()()1( )2ccjnjndh neded1sinsin()1()ccnnnnn()=()cc高通濾波器全通濾波器低通濾波器其單位抽樣呼應：其單位抽樣呼應：12N()0jjcdeHe其它理想高通的頻響：理想高通的頻響：5、線性相位、線性相位FIR高通濾波器的設計高通濾波器的設計1221()()1( )2jnjndh neded21211sinsin1nnnnn1221(,)=()() 帶通濾波器低通濾波器低通濾波器其單位抽樣呼應：其單位抽樣呼應：理想帶通的頻響：理想帶通的頻響：120()0jjde

25、He其它12N6、線性相位、線性相位FIR帶通濾波器的設計帶通濾波器的設計2112()()()1( )2jnjnjndhnededed12121sinsinsin1nnnnnn1221()=()()帶阻濾波器，高通濾波器+低通濾波器其單位抽樣呼應：其單位抽樣呼應：12N120,()0jjdeHe 其它理想帶阻的頻響：理想帶阻的頻響：7、線性相位、線性相位FIR帶阻濾波器的設計帶阻濾波器的設計對理想頻率呼應等間隔抽樣對理想頻率呼應等間隔抽樣作為實踐作為實踐FIR數字濾波器的頻率特性的抽樣值數字濾波器的頻率特性的抽樣值2( )( )()jddkNH kHkHe0,1,.,1kN第三節(jié)第三節(jié) 頻率抽

26、樣設計法頻率抽樣設計法1、設計方法、設計方法 知道知道H(k)后后, 由由IDFT定義定義, 可以用這可以用這N個采樣值個采樣值H(k)來獨一確定有限長序列來獨一確定有限長序列h(n)，即，即 1,.,2 , 1 , 0)(1)(10 NnWkHNnhNknkN h(n)為待設計的濾波器的單位脈沖呼應。其系統(tǒng)為待設計的濾波器的單位脈沖呼應。其系統(tǒng)函數函數H(z)為為 10)()(NnnznhzH 以上就是頻率采樣法設計濾波器的根本原理。此以上就是頻率采樣法設計濾波器的根本原理。此外，由頻域內插公式知道，利用這外，由頻域內插公式知道，利用這N個頻域采樣值個頻域采樣值H(k)同樣可求得同樣可求得F

27、IR濾波器的系統(tǒng)函數濾波器的系統(tǒng)函數H(z) 1011)(1)(NkkNNzWkHNzzH2、線性相位的約束、線性相位的約束 假設我們設計的是線性相位的假設我們設計的是線性相位的FIR濾波器，那么其濾波器，那么其采樣值采樣值H(k)的幅度和相位一定要滿足前面所討論的二類的幅度和相位一定要滿足前面所討論的二類線性相位濾波器的約束條件。線性相位濾波器的約束條件。 1對于第一類線性相位濾波器，對于第一類線性相位濾波器， h(n)偶對稱，偶對稱，長度長度N為奇數時，為奇數時， 21)(N 式中：式中：)()()( jjeHeH 第一類線性相位濾波器幅度函數第一類線性相位濾波器幅度函數H()關于關于=0

28、, , 2為偶對稱，即為偶對稱，即 )2()( HH 假設采樣值假設采樣值H(k)=H(ej2k/N)也用幅值也用幅值Hk純標量純標量與相角與相角k表示，表示， 即即 kjkNkjeHeHkH )()(/2并在并在=02之間等間隔采樣之間等間隔采樣N點點 kNk 2 k=0, 1, 2, , N-1 將將=k代入上面的式子中，并寫成代入上面的式子中，并寫成k的函數的函數, 有：有： kNkkHHNkNkN 11212 由上式可知，由上式可知，Hk滿足偶對稱要求。滿足偶對稱要求。 2對于第一類線性相位對于第一類線性相位FIR濾波器，濾波器，h(n)偶對稱，偶對稱，N為偶數，那么其為偶數，那么其H

29、(ej)的表達式仍為的表達式仍為: 21)()()()(NeHeHjj 但是，其幅度函數但是，其幅度函數H()關于關于=是奇對稱的，關于是奇對稱的，關于=0, 2為偶對稱，為偶對稱， 所以，這時的所以，這時的Hk也應滿足奇對稱要求也應滿足奇對稱要求 )2()( HHkNkHH 3對于第二類線性相位對于第二類線性相位FIR濾波器，濾波器，h(n)奇對稱，奇對稱，N為奇數時為奇數時,有：有：式中：式中： 221)( N 第二類線性相位濾波器幅度函數第二類線性相位濾波器幅度函數H()關于關于=0, , 2為奇對稱，即為奇對稱，即 )2()( HH)()()( jjeHeH 將將=k=2k/N代入上面

30、的式子中，并寫成代入上面的式子中，并寫成k的函數，得的函數，得: 2112212 NkNkNkkNkHH 即即Hk滿足奇對稱要求。滿足奇對稱要求。 4對于第二類線性相位對于第二類線性相位FIR濾波器，濾波器，h(n)奇對稱，奇對稱，N為偶數，那么其為偶數，那么其H(ej)的表達式仍為的表達式仍為: 221)()()()( NeHeHjj 但是，其幅度函數但是，其幅度函數H()關于關于=是偶對稱的，關于是偶對稱的，關于=0, 2為奇對稱，為奇對稱， 即即 )2()( HH所以，這時的所以，這時的Hk也應滿足偶對稱要求也應滿足偶對稱要求 kNkHH 3、逼近誤差及其改良措施、逼近誤差及其改良措施

31、頻率采樣法是比較簡單的，但是我們還應該進一頻率采樣法是比較簡單的，但是我們還應該進一步調查，步調查， 用這種頻率采樣所得到的系統(tǒng)函數終究逼近用這種頻率采樣所得到的系統(tǒng)函數終究逼近效果如何？如此設計所得到的頻響效果如何？如此設計所得到的頻響H(ej)與要求的理想與要求的理想頻響頻響Hd(ej)會有怎樣的差別？回想內插公式：會有怎樣的差別？回想內插公式： kNkHeHNkj 2)()(10式中式中, ()是內插函數是內插函數 2/ )1()2/sin()2/sin()( NjeNN 1采樣點上濾波器的實踐頻率呼應是嚴厲地和理想頻率響采樣點上濾波器的實踐頻率呼應是嚴厲地和理想頻率響 應數值相等的。應

32、數值相等的。2但是在采樣點之間的頻響那么是由各采樣點的加權內插但是在采樣點之間的頻響那么是由各采樣點的加權內插函函 數的延伸疊加而成的數的延伸疊加而成的, 因此有一定的逼近誤差，因此有一定的逼近誤差， 誤差大誤差大 小取決于理想頻率呼應曲線外形。小取決于理想頻率呼應曲線外形。3理想頻率呼應特性變化越平緩，那么內插值越接近理想理想頻率呼應特性變化越平緩，那么內插值越接近理想值值 ，逼近誤差越小。，逼近誤差越小。4假設采樣點之間的理想頻率特性變化越陡，那么內插值假設采樣點之間的理想頻率特性變化越陡，那么內插值與與 理想值的誤差就越大，因此在理想頻率特性的不延續(xù)點理想值的誤差就越大，因此在理想頻率特性的不延續(xù)點 附近，就會產生肩峰和起伏。附近，就會產生肩峰和起伏。分析：分析：頻率采樣的呼應頻率采樣的呼應 )(ejHN2H(k)(a)(b)oo)(ejdH)(ejH)(ejH加過渡帶加過渡帶a 一點過渡帶一點過渡帶; (b) 二點過渡帶二點過渡帶; (c) 三點過渡帶三點過渡帶 cccooo