【大學】近自由電子模型ppt課件

1、三近自在電子模型三近自在電子模型無限大真空中自在電子k可取延續(xù)值 周期性邊境條件自在電子氣k取分別值索末菲模型自在電子費米氣泡利不相容費米分布S方程周期勢場微擾 近自在電 子模型 晶體中電子與自在電子的區(qū)別在于晶體中電子與自在電子的區(qū)別在于周期邊境條件和周期勢場。周期邊境條件和周期勢場。 假設假設晶體中有一個很弱的周期勢場，那么電子的運動情況該當與自在電子比較接近，但同時也必然能表達出周期勢場中電子形狀的新特點，這樣的電子就叫近自在電子。近自在電子哈密頓算符可寫成近自在電子哈密頓算符可寫成 :其中其中 0HHH2202mH是自在電子的哈密頓算符；是自在電子的哈密頓算符； nnxaineVxVH

2、2)(dxexVaVnxaian20)(1后用dxexVaVnxaian20)(1dxexVaVxiGaGnn0)(1或兩邊取共軛兩邊取共軛dxexVaVxiGaGnn0*)(1周期場是實的 V(x)Vx VGnVGn VnVn后用1.定態(tài)非簡并微擾定態(tài)非簡并微擾 由量子力學定態(tài)非簡并微擾實際可知，由量子力學定態(tài)非簡并微擾實際可知，定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程 (k,r)E(k) (k,r) 的解是的解是 E(k)E(0)(k)E(1)(k)E(2)(k) (k,r)(0)(k,r)+(1)(k,r) 零級近似解，就是自在電子的解：零級近似解，就是自在電子的解： (0)(k,r) rkiev2

3、1H由量子力學實際可知，一級修正和二級修正分別由量子力學實際可知，一級修正和二級修正分別為為 E(1)(k)Hkk (k,r)V(r)(0)(k,r)d r =0 mkkE2)(22)0( 0v r ( )0()0(2)2()()()(kEkEkEkk由平面波的正交歸一性由平面波的正交歸一性 01hhGGcVVrrGkkideh0,hhhGGkkGV其中微擾矩陣元其中微擾矩陣元 Hkk0(k, r)V(r)(0)(k，r)d r后用 0)0(0,22kkGGkkGhhhkEkEVkE交換求和次序交換求和次序 0002hhGhGGkEkEV)0()0(2)2()()()(kEkEkEkk E(k

4、)E(0) (k)+E(2) (k) 22 2222022hhGGhmVkmkk G 其中 kkH(k,r)(0)(k,r)+(1)(k,r) 0(1)00( , ),kkkkHk rk rEkEk,0hhhGkkGGV12()22202hhhGik ri k GrcGhmVVeekkG 討論：討論： 晶體中的波函數晶體中的波函數(k,r)由兩部分組成：一部由兩部分組成：一部分是原來波矢為分是原來波矢為k的平面波，的平面波，另一部分是波矢為另一部分是波矢為kGh的散射波的疊加。周的散射波的疊加。周期勢場期勢場V( r )較弱時，它的展開系數較弱時，它的展開系數VGh也較小，也較小，當當k2與與

5、|k Gh | 2 相差較大時，散射波較弱。相差較大時，散射波較弱。 12()22202( , )hhhGi k Grik rcGhmVk rVeekkG使E(2) (k)不收斂的條件： E(0) (k)E(0) (k，) k=kGh 當E(0) (k)E(0) (k，)，能量相等，能否以上計算無效？ kkGh的態(tài)未進入E、的表示式，這樣的k態(tài)和k態(tài)之間無耦合。 0)0(0,22kkGGkkGhhhkEkEVkE 先計算 ，只需當 0時，二態(tài)之間才有耦合，在一切有耦合的態(tài)中，再思索有無簡并而分別處置。假設有簡并按下面的簡并微擾處置。kkHkkH思緒：思緒：2定態(tài)簡并微擾定態(tài)簡并微擾k-k= n

6、 + n =Gh且 E(0)(k)E(0)(k) aaaa 布里淵區(qū)邊境的二態(tài)簡并。 由上式看到，當滿足 E(0) (k)E(0) (k，) k=k + Gh時修正項很大，應該用定態(tài)簡并微擾實際。例如：當knk n由量子力學簡并微擾實際rk icrk iceBVeAV2121(0)k,rA0k,rB0k,r思索一維情況，留意到 00k,xE0(k) 0k,x H),()(),()(),()0()0()0()0(rkkErkrVHrkH代入得得 A E(0)(k)-E(k) +V(x) eikx+ +BE(0)(k)-E(k) +V(x) eikx =0 等式兩邊乘eikx ，并對整個晶體積分，

7、并注意到E(0)(k)，E(k)不是x的函數，并利用)(KKxKKilLdxe0(k, r)V(r)(0)(k, r)dr=V(x)=0類似，等式兩邊乘類似，等式兩邊乘eikx ，并對整個晶體積分，并對整個晶體積分得到得到 - VnA + E(k)-E(0)(k)B =0 (B) nLnxaiLxikikxLVdxexVdxexVe020)()(得到得到 E(k)-E(0)(k)A -BVn =0 (A) 0)(GnxiGnneVxV知知 A和B同時具有非零解的條件是 E(k)-E(0)(k) -Vn = 0 - Vn E(k)-E(0)(k)可解得 nnVkEkE0能量差為2|Vn|,那么原

8、來能量相等的兩個態(tài)的能量不再相等，簡并消除，出現禁帶，所以說，禁帶的出現是周期場作用的結果。禁帶的出現是周期場作用的結果。3能隙產生的物了解釋能隙產生的物了解釋 假設利用假設利用Ek的表示式可確定的表示式可確定A，B，即可，即可得到波函數的表示式。得到波函數的表示式。xixiaaBelAelxa2121,將12222)(VmaaE以一維晶體為例，第一以一維晶體為例，第一B.Z的邊境的邊境 k=(/a)，k-(/a)是兩個簡并態(tài)是兩個簡并態(tài),有有代入代入A式式 E(k)-E(0)(k)A -BVn =0 (A) 得到得到 |V1|A V1B=0 得得 V1 / |V1|BABAV1A|V1|B0

9、 得得 |V1| / V-1- VnA + E(k)-E(0)(k)B =0 (B)類似，代入類似，代入B式，式，并留意到并留意到 Vn = V-n ,得得又又V(x)是周期函數，在各向同性的晶體中，是周期函數，在各向同性的晶體中，選取適宜的坐標系，可使選取適宜的坐標系，可使 Vn Vn * V(x)V(-x) 而前面已得而前面已得 Vn*Vn Vn Vn 2200()()aain xnnin xnnVxV eVxVe20ain xnnV e A/B1 由式因此因此/a,x有兩個解，對應二個帶：有兩個解，對應二個帶：xixlaaBeLAelxa2121,90)(,21xixiaaeeAlxa)

10、cos(221axAl)(,21xixiaaeeAlxa)sin(221axAli 電子云駐波分布 +(0) 2 4L1A2Cos2(x/a) - -(0) 2 4L1A2Sin2(x/a) 由圖可知，由圖可知，(/a,x)的勢能的勢能 比比(/a,x)的勢能高。的勢能高。這就是在這就是在B.Z.邊境上能量產生不延續(xù)騰躍邊境上能量產生不延續(xù)騰躍的緣由。的緣由。勢能之差能隙勢能之差能隙2Vn4近自在電子的形狀密度近自在電子的形狀密度自在電子的態(tài)密度函數自在電子的態(tài)密度函數DE為為 21222322EmVdEEdZEDc對晶體中的電子對晶體中的電子 nkEcnEdSVED322)(以二維正方晶格為例，當波矢以二維正方晶格為例，當波矢k到達布里淵區(qū)邊到達布里淵