正方形經(jīng)典例題與答案(共6頁)

1、典型例題一例01如圖，在正方形ABCD的對角線AC上取點(diǎn)E，使，過E點(diǎn)作交AD于F. 求證：. 證明 連結(jié)CF. 在正方形ABCD中，AC平分. ， 又 ，. 在與中， . 說明：本題考查正方形的性質(zhì)，易錯(cuò)點(diǎn)是忽視是等腰直角三角形. 解題關(guān)鍵是證是等腰直角三角形和連CF證. 典型例題二例02如圖，已知：在中，CD是的平分線，交BC于E，交AC于F. 求證：四邊形CEDF是正方形. 分析：要判定一個(gè)四邊形是正方形有這樣幾種方法：按照定義證明，先證明它是菱形，再證它有一個(gè)角等于. 先證明它是矩形，再證它有一組鄰邊相等，那么本題中，因有一個(gè)角，且有兩對平行線段，我們不妨采用第三種證明方法. 那么由角

2、平分線的性質(zhì)定理容易證出. 證明：（已知） 四邊形CEDF是平行四邊形. （已知）， 四邊形CEDF是矩形（有一個(gè)角是的平行四邊形是矩形）. （已知）， 又 CD是的平分線（已知）， （角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等）. 四邊形CEDF是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）. 說明 正方形是特殊的平行四邊形，也是鄰邊相等的特殊矩形，也是有一個(gè)角是直角的特殊菱形所以在判斷一個(gè)圖形是否為正方形時(shí)，由它的特殊性出發(fā)，通過先證它是平行四邊形、矩形和菱形來完成典型例題三例03已知：如圖，在正方形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，BF平分交CD于F. 求證：. 證法1 延長DC至N，使，連結(jié)BN，則.

3、 . 四邊形ABCD為正方形， . ， 證法2 如圖，延長DA到G，使，連結(jié)BG，則. . 四邊形ABCD是正方形， ， ， 即 說明 構(gòu)造全等三角形是關(guān)鍵典型例題四例04如圖，已知：E是正方形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的一點(diǎn)，且.求證：. 分析：因?yàn)椋匀粼O(shè)，則EF、BE都可以用含有的代數(shù)式表示. 由此，我們想到，為了證明，即為了證明，不妨使用勾股定理的逆定理. 為此，連結(jié)BF，則只需證明就可以了. 證明：連結(jié)BF， 四邊形ABCD是正方形， ， 因?yàn)?，若設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理， 在中，根據(jù)勾股定理， 在中，根據(jù)勾股定理 有 是直角三角形，且，即. 說明 由正方形的特殊性，它不

4、僅有平行四邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，還有菱形的性質(zhì)，在給出一個(gè)四邊形是正方形時(shí)，要能夠靈活運(yùn)用這些性質(zhì). 典型例題五例05已知：如圖，正方形ABCD中，延長AD至E，使，再延長DE至F，使. 連結(jié)BF交CE，CD于P，Q. 求證：. 證明：在正方形ABCD中，. ，四邊形BDEC是平行四邊形. ，. . ， 說明：本題綜合考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，易錯(cuò)點(diǎn)是習(xí)慣地用角的代換企圖證明，這樣做顯然無法證出. 解題關(guān)鍵是求出. 典型例題六例06如圖，已知：在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC上的點(diǎn)，若有. 求：的度數(shù). 分析：在給出的條件中，這一條件比較分散. 我們不妨把AE和C

5、F平移到同一直線上. 由正方形的性質(zhì)可知，所以我們延長BC到G，使，則可以知道， . 又可以證得，可知，因此可求得的度數(shù). 解答：延長BC到G，使，連結(jié)DG. 正方形ABCD， 又 ， . 又 典型例題七例07如圖，已知：正方形ABCD的邊長等于，點(diǎn)P在BC上，且與AB、CD分別交于E、F兩點(diǎn). 求：EF的長. 分析：為了求EF的長，需要把EF與已知條件聯(lián)系起來，因此想到構(gòu)造一個(gè)以EF為邊的三角形，所以作，則易證，從而可求. 解答：過E點(diǎn)作交CD于G， , 四邊形ABCD是正方形， ， 四邊形BCGE是矩形. ， ，. 典型例題八例08（河北省，1997）命題：如圖（1），已知正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作，垂足為G，AG交BD于點(diǎn)F，則. 證明 四邊形ABCD是正方形，. 又， 問題 對上述命題，若點(diǎn)E在AC的延長線上，交EB的延長線于點(diǎn)G，AG的延長線交DB的延長線于點(diǎn)F，其他條件不變，則結(jié)論“”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成