概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)答案-第四版-第2章(浙大)(共21頁)

1、1、 考慮為期一年的一張保險(xiǎn)單，若投保人在投保一年后因意外死亡，則公司賠付20萬元，若投保人因其他原因死亡，則公司賠付5萬元，若投保人在投保期末生存，則公司無需付給任何費(fèi)用。若投保人在一年內(nèi)因意外死亡的概率為0.0002，因其他愿意死亡的概率為0.0010，求公司賠付金額的分布律。解：設(shè)X為公司的賠付金額，X=0,5,20P（X=0）=1-0.0002-0.0010=0.9988P（X=5）=0.0010P（X=20）=0.0002X0520P0.99880.00100.00022.(1) 一袋中裝有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5.在袋中同時(shí)取3只球，以X表示取出的三只中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)

2、變量的分布律. 解：方法一: 考慮到5個(gè)球取3個(gè)一共有C53 =10種取法，數(shù)量不多可以枚舉來解此題。設(shè)樣本空間為S S=123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 易得，PX=3=110；PX=4=310；PX=5=610；X345Pk1/103/106/10 方法二：X的取值為3,4,5 當(dāng)X=3時(shí)，1與2必然存在 ，PX=3= C22C53 =110; 當(dāng)X=4時(shí)，1,2,3中必然存在2個(gè)， PX=4= C32C53 =310； 當(dāng)X=5時(shí)，1,2,3,4中必然存在2個(gè)， PX=5= C42C53 =610；X345Pk1/103/106/10 (2)

3、將一顆骰子拋擲兩次，以X表示兩次中得到的小的點(diǎn)數(shù)，試求X的分布律.解：PX=1= P (第一次為1點(diǎn))+P（第二次為1點(diǎn)）- P（兩次都為一點(diǎn)）= 16+16-136 = 1136；PX=2= P (第一次為2點(diǎn)，第二次大于1點(diǎn))+P（第二次為2點(diǎn)，第一次大于1點(diǎn)）- P（兩次都為2點(diǎn)）= 16×56+16×56-136 = 936；PX=3= P (第一次為3點(diǎn)，第二次大于2點(diǎn))+P（第二次為3點(diǎn)，第一次大于2點(diǎn)）- P（兩次都為3點(diǎn)）= 16×46+16×46-136 = 736； PX=4= P (第一次為4點(diǎn)，第二次大于3點(diǎn))+P（第二次為4點(diǎn)，

4、第一次大于3點(diǎn)）- P（兩次都為4點(diǎn)）= 16×36+16×36-136 = 536； PX=5= P (第一次為5點(diǎn)，第二次大于4點(diǎn))+P（第二次為5點(diǎn)，第一次大于4點(diǎn)）- P（兩次都為5點(diǎn)）= 16×26+16×26-136 = 336；PX=6= P (第一次為6點(diǎn)，第二次大于5點(diǎn))+P（第二次為6點(diǎn)，第一次大于5點(diǎn)）- P（兩次都為6點(diǎn)）= 16×16+16×16-136 = 136；X123456Pk11/369/367/365/363/361/363.設(shè)在15只同類型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放

5、回抽樣.以X表示取出的次品的只數(shù). (1)求X的分布律.解：PX=0= C133C153 =2235;PX=1= C13 2C21C153 =1235;PX=2= C131C22C153 =135;X012Pk22/3512/351/35 (2)畫出分布律的圖形. 4、進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)每次試驗(yàn)的成功率為p，失敗概率為q=1-p（0<p<1）（1）將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。（此時(shí)稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布）（2）將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止，以Y表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求Y得分布律。（此時(shí)稱Y服從以r,p為參數(shù)的帕斯卡分布或負(fù)二項(xiàng)分布）（3

6、）一籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為45%。以X表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的次數(shù)，寫出X的分布律，并計(jì)算X取得偶數(shù)的概率解：（1）k=1,2,3，P（X=k）=pqk-1（2）k=r+1,r+2,r+3, P（Y=k）=Ck-1r-1prqk-r（3）k=1,2,3, P（X=k）=0.45(0.55)k-1,設(shè)p為X取得偶數(shù)的概率P=PX=2+ PX=4+ + PX=2k =0.45(0.55)1+0.45(0.55)3+0.45(0.55)2k-1 =11315. 一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛

7、出房間。假定鳥是沒有記憶的，它飛向各扇窗子是隨機(jī)的。(1) 以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。(2) 戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)。如戶主所說是確實(shí)的，試求Y的分布律。(3)求試飛次數(shù)X小于Y的概率和試飛次數(shù)Y小于X的概率。解：（1）由題意知，鳥每次選擇能飛出窗子的概率為1/3，飛不出窗子的概率為2/3，且各次選擇之間是相互獨(dú)立的，故X的分布律為：P(X=k)=13*(23)k-1 ，k=1,2,3X 1 2 3 PK 13 29 427（2）Y的可能取值為1，2，3，其分布律為方法一：P(Y=1)=

8、13 P(Y=2)= 23*12=13P(Y=3)= 23*12*1=13 方法二：由于鳥飛向各扇窗戶是隨機(jī)的，鳥飛出指定窗子的嘗試次數(shù)也是等可能的。即P(X=1)=P(Y=2)=P(X=3)= 13 Y 1 2 3 PK 13 13 13（3）設(shè)試飛次數(shù)X小于Y為事件A，Y小于X為事件B。普通鳥和聰明鳥的選擇是獨(dú)立的X小于Y的情況有： X=1, Y=2 X=1, Y=3 X=2, Y=3故P(A)=P(X=1)*P(Y=2)+ P(X=1)*P(Y=3)+ P(X=2)*P(Y=3)= 13*13+29*13+13*13=827Y小于X的情況有： Y=1, X2 Y=2, X3 Y=3, X

9、4故P(B)=P(Y=1)*P(X2)+P(Y=2)*P(X3)+P(Y=3)*P(X4)=P(Y=1)*1-P(X=1)+P(Y=2)*1-P(X=1)-P(X=2)+P(Y=3)*1-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)= 13*(1- 13)+ 13*(1- 13 - 29)+ 13*(1- 13 - 29 - 427)= 3881 6. 一大樓裝有5臺(tái)同類型的供水設(shè)備。設(shè)各臺(tái)設(shè)備是否被使用相互獨(dú)立。調(diào)查表明在任一時(shí)刻t每臺(tái)設(shè)備被使用的概率為0.1，問在同一時(shí)刻，(1) 恰有2臺(tái)設(shè)備被使用的概率是多少？(2) 至少有3臺(tái)設(shè)備被使用的概率是多少？(3) 至多有3臺(tái)設(shè)備被使用的概率是多少

10、？(4) 至少有1臺(tái)設(shè)備被使用的概率是多少？解：設(shè)同一時(shí)刻被使用的設(shè)備數(shù)為X，試驗(yàn)次數(shù)為5且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立，顯然X滿足二次分布X(1) P(X=2)=C52*0.12*0.93=0.0729(2) P(X3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)= C53*0.13*0.92+C54*0.14*0.9+0.15=0.00856(3) P(X3)=1-P(X=4)-P(X=5)=1-C54*0.14*0.9-0.15=0.99954(4) P(X1)=1-P(X=0)=1-0.95=0.409517. 設(shè)事件A在每次試驗(yàn)發(fā)生的概率為0.3。A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)。(1) 進(jìn)行了

11、5次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率。(2) 進(jìn)行了7次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率。解：設(shè)進(jìn)行5次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)指示燈發(fā)出信號(hào)為事件B，進(jìn)行7次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)指示燈發(fā)出信號(hào)為事件C。用X表示n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則P(X=k)= Cnk*0.3k*0.7n-k, k=1,2,3（1） P(B)= P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)= C53*0.33*0.72+C54*0.34*0.7+0.350.163或：P(B)= 1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=1- 0.75- C51*0.3*0.74- C52*0.32*0.730.163（2） P(C)=

12、1- P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=1-0.77- C71*0.3*0.76- C72*0.32*0.750.3538甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6, 0.7. 今各投三次，求：（1）兩人投中次數(shù)相等的概率（2）甲比乙投中次數(shù)多的概率解：記投三次后甲投中次數(shù)為X，乙投中次數(shù)為Y，設(shè)甲投中a次，乙投中b次的概率為P（X=a，Y=b）（1） 設(shè)兩人投中次數(shù)相等為事件A因?yàn)榧?、乙兩人每次投籃相互獨(dú)立且彼此投籃相互獨(dú)立則P（A）= P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=1）+P（X=2，Y=2）+P（X=3，Y=3） =（0.4）3×（0.3）3+C31×0.6

13、×(0.4)2×C31×0.7×(0.3)2+C32×（0.6）2×0.4×C32×（0.7）2×0.3 +（0.6）3×（0.7）3 =0.321（2） 設(shè)甲比乙投中次數(shù)多為事件B則P（B）=P（X=1，Y=0）+P（X=2，Y=0）+P（X=3，Y=0）+P（X=2，Y=1）+P（X=3，Y=1）+P（X=3，Y=2） =C31×0.6×(0.4)2×(0.3)3+C32×（0.6）2×0.4×(0.3)3+(0.6)3×

14、(0.3)3+C32×（0.6）2×0.4×C31×0.7×(0.3)2+（0.6）3×C31×0.7×(0.3)2+（0.6）3×C32×（0.7）2×0.3 =0.2439有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先作第一次檢驗(yàn)：從中任取10件，經(jīng)檢驗(yàn)無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無次品時(shí)接受這批產(chǎn)品。若產(chǎn)品的次品率為10%，求：（1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率（2）需作第二次檢驗(yàn)的概率（3）這批產(chǎn)品按第二次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的

15、概率（4）這批產(chǎn)品在第一次檢驗(yàn)未能作決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被通過的概率（5）這批產(chǎn)品被接受的概率解：記第一次檢驗(yàn)抽取的10件中次品個(gè)數(shù)X，則XB（10 , 0.1）第二次檢驗(yàn)抽取的5件中次品個(gè)數(shù)Y，則YB（5 , 0.1）（1） 設(shè)事件A為“這批產(chǎn)品第一次檢驗(yàn)就能接受”，P（A）=（0.9）10 0.349（2）設(shè)事件B為“需作第二次檢驗(yàn)”，即第一次檢驗(yàn)次品數(shù)為1或2P（B）= P（X=1）+P（X=2） =C101×（0.9）9×0.1+C102×（0.9）8×（0.1）2 0.581（3） 設(shè)事件C為“這批產(chǎn)品按第二次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受”P（C）=（0.9

16、）5 0.590（4）設(shè)事件D為“這批產(chǎn)品在第一次檢驗(yàn)未能作決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被通過”由（2）（3）知事件B、C相互獨(dú)立P（D）= P（B）× P（C） 0.581 × 0.590 0.343（5）設(shè)事件E為“這批產(chǎn)品被接受的概率”，其中包括事件A和事件D，A與D互斥P（E）=P（A）+P（D） 0.349 + 0.343 = 0.69210有甲、乙兩種味道和顏色都極為相似的名酒各4杯，如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗(yàn)成功一次。（1）某人隨機(jī)地去猜，問他試驗(yàn)成功一次的概率是多少？（2） 某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒，他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次，試推斷他是猜對(duì)

17、的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的）解：（1）設(shè)事件A為“試驗(yàn)成功一次”，題意為在8杯中挑4杯，恰好挑到事件A由題意知P（A）=1C84=170（2）設(shè)事件B為“他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次”由于每次試驗(yàn)相互獨(dú)立則P（B）=C103×（170）3×（6970）7 =310000此概率太小在試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，按實(shí)際推斷原理，認(rèn)為他確實(shí)有區(qū)分的能力。11.盡管在幾何教科書中已經(jīng)講過用圓規(guī)和直尺三等分一個(gè)任意角是不可能的，但每年總有一些“發(fā)明家”撰寫關(guān)于僅用圓規(guī)和直尺將角三等分的文章。設(shè)某地區(qū)每年撰寫此類文章篇數(shù)X服從參數(shù)為6的泊松分布。求明年沒有此類文章的概率。解：

18、設(shè)明年沒有此類文章的概率為P,又X服從泊松分布，得PX=k=ke-k! 令=6，則PX=0=60e-60!=e-6=2.5×10-312.一電話總機(jī)每分鐘收到呼叫的次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布。求（1）某一分鐘恰有8次呼喚的概率；（2）某一分鐘的呼喚次數(shù)大于3的概率。解： 設(shè)每分鐘收到呼叫的次數(shù)為隨機(jī)變量X，呼叫k次的概率為P，同理有PX=k=ke-k!=4ke-4k! (1)令k=8，則有PX=8=4ke-4k!=48e-48!=0.0298 (2)依題意，X>3,即PX>3=1-PX3=1-PX=0-PX=1-PX=2-PX=3 =1-e-4-4e-4-42e-42!-

19、43e-43! =1-713e-4=0.566513.某公安局在長(zhǎng)度為t的時(shí)間間隔內(nèi)收到的緊急呼叫的次數(shù)X服從參數(shù)為（1/2）t的泊松分布，而與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無關(guān)（時(shí)間以小時(shí)計(jì)）。（1） 求某一天中午12點(diǎn)至下午3點(diǎn)未收到緊急呼叫的概率；（2） 求某一天中午12點(diǎn)至下午5點(diǎn)至少收到1次緊急呼叫的概率。解：(1)設(shè)某一天中午12點(diǎn)至下午3點(diǎn)未收到緊急呼叫的概率為P，時(shí)間間隔長(zhǎng)度t=3，依題意有PX=0=(t2)ke-t2k!=(32)0e-320!=e-32=0.2231(2)依題意，即X1，時(shí)間間隔長(zhǎng)度t=5，則 PX1=1-PX=0 =1-(t2)ke-t2k! =1-(52)0e-520!

20、 =1-e-52=0.917914.某人家中在時(shí)間間隔t（小時(shí)）內(nèi)接到電話的次數(shù)X服從參數(shù)為2t的泊松分布。（1）若他在外出計(jì)劃用時(shí)10分鐘，問其間有電話鈴響一次的概率是多少？（2）若他希望外出時(shí)沒有電話的概率至少為0.5，問他外出應(yīng)控制最長(zhǎng)時(shí)間是多少？解：(1) 設(shè)其間有電話鈴響一次的概率為P，t=1/6，依題意有PX=1=(2t)ke-2tk!=(13)1e-131!=13e-13=0.2388(2) 外出時(shí)沒有電話的概率至少為0.5,即為 PX=00.5 PX=0=2tke-2tk!=2t0e-2t0!0.5 即 e-2t0.5 求解得 t12ln2=0.3466 （小時(shí)） 即外出時(shí)間不

21、得超出20.79分鐘.15.保險(xiǎn)公司在一天內(nèi)承保了5000張相同年齡，為期一年的壽險(xiǎn)保單，每人一份，在合同有效期內(nèi)若投保人死亡，則公司需賠付3萬元。設(shè)在一年內(nèi)，該年齡段的死亡率為0.0015，且各投保人是否死亡相互獨(dú)立。求該公司對(duì)于這批投保人的賠付總額不超過30萬元的概率（利用泊松定理計(jì)算）。解：設(shè)投保人在一年內(nèi)死亡人數(shù)為X,則Xb（5000,0.0015），若公司賠付不超過30萬元，則死亡人數(shù)不該超過303=10個(gè)人，PX10=k=010(C5000k)(0.0015)k(0.9985)5000-k根據(jù)泊松定理，=np=5000×0.0015=7.5PX10k=0107.5ke-7

22、.5k!=0.8622.16.有一繁忙的汽車站，每天有大量汽車通過，設(shè)一輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率為0.0001。在某天的該時(shí)間段內(nèi)有1000輛汽車通過。問出事故的車輛數(shù)不小于2的概率是多少？（利用泊松定理計(jì)算）解：設(shè)某天該時(shí)段汽車站汽車出事故的輛數(shù)為X，則Xb（1000,0.0001），所求為PX2=1-PX=0-PX=1.其中，根據(jù)泊松定理，=np=1000×0.0001=0.1.PX=k=Cnkpk(1-p)n-kke-k!.所以，PX2=1-PX=0-PX=11-e-0.1-e-0.1×0.1=0.0047.17.（1）設(shè)X服從（0-1）分布，其分布律為P

23、X=k=pk(1-p)1-k,k=0，1，求X的分布函數(shù)，并作出其圖形。（2）求第2題（1）中的隨機(jī)變量的分布函數(shù)。解：（1） X服從（0-1）分布，即，當(dāng)X=0，pk=1-p；當(dāng)X=1，pk=p.當(dāng)x<0,F(x)= 0;當(dāng)0x1,F(x)=1-p;當(dāng)x1,F(x)=(1-p)+p=1.X的分布函數(shù)為Fx=0, &x<01-p,0x<11, &x1，（2）第2題(1)中，X的分布律為 所以，當(dāng)X<3，F(xiàn)x=0; 3X<4，F(xiàn)x=0.1; 4X<5，F(xiàn)x=0.1+0.3=0.4; 5X，F(xiàn)x=0.4+0.6=1.所以，X的分布函數(shù)為F(x)=

24、0,x3,0.1,3x4,0.4,4x5,1,x5.18.在區(qū)間0，a上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以X表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在0，a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比例。試求X的分布函數(shù)。解：當(dāng)x0,P(x)=0;當(dāng)0xa,P(x)=kx,（其中k表示概率與區(qū)間長(zhǎng)度的比例關(guān)系）由于題中說明，在區(qū)間0,1上任意投擲質(zhì)點(diǎn)，所以，質(zhì)點(diǎn)落在區(qū)間內(nèi)是必然事件，所以P(0xa)=ka=1,所以k=1a.所以X的分布函數(shù)為F(x)=0,x0xa,0xa1,xa19.以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一個(gè)顧客到達(dá)的等待時(shí)間（以分計(jì)），X的分布函數(shù)是FX（x）=1-e-0.4x，x>0，0，

25、x0.求下列概率：（1）P至多3分鐘.（2）P至少4分鐘.（3）P3分鐘至4分鐘之間.（4）P至多3分鐘或至少4分鐘.（5）P恰好2.5分鐘.解：（1）P至多3分鐘=PX3=FX（3）=1-e-0.4*3 =1-e-1.2 （2）P至少4分鐘=PX4=1-PX4=1-FX（4）=e-0.4*4=e-1.6 （3）P3分鐘至4分鐘之間=P3X4=FX（4）-FX（3）=（1-e-0.4*4）-（1-e-0.4*3）=e-1.2-e-1.6 （4）P至多3分鐘或至少4分鐘=PX3UX4=PX3+PX4=（1-e-1.2）+e-1.6=1+e-1.6-e-1.2 （5）P恰好2.5分鐘=PX=2.5

26、=020.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為FX（x）=0，x，1lnx，1xe，1，xe.（1）求PX2，P0X3，P2X2.5.（2）求概率密度fX（x）.解：（1）根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義和性質(zhì)可得PX2=FX（2）=ln2P0X3=FX（3）-FX（0）=1-0=1P2X2.5=FX（2.5）-FX（2）=ln2.5-ln2=ln1.25 （2）根據(jù)概率密度的定義可得 fX（x）=dFX（x）dx=1x，1xe0，其他21.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為（1）f（x）=21-1x2，1x20，其他.（2）f（x）=x，0x1，2-x，1x2，0，其他求X的分布函數(shù)F（x），并畫出（2）中f（

27、x）及F（x）的圖形.解：（1）F（x）=P（Xx）=-xf（t）dt 當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)（x）=-x0dt=0 當(dāng)1x2時(shí)，F(xiàn)（x）=-10dt+1x21-1t2dt =2（x+1x -2） 當(dāng)2x時(shí)，F(xiàn)（x）=-10dt+1221-1t2dt+2x0dt =1 故分布函數(shù)為F（x）=0，x12x+1x -2，1x21，x2（2）F（x）=P（Xx）=-xf（t）dt 當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)（x）=-x0dt=0當(dāng)0x1時(shí)，F(xiàn)（x）=-00dt+0xtdt =x22當(dāng)1x2時(shí)，F(xiàn)（x）=-00dt+01tdt+1x（2-t）dt=2x- x22 -1當(dāng)2x時(shí)，F(xiàn)（x）=-00dt+01tdt+12（2-t）

28、dt+2x0dt =1故分布函數(shù)為F（x）=0，x0x22，0x12x- x22 -1，1x21，2xF（x）和F（x）的圖形如下22.（1）分子運(yùn)動(dòng)速度的絕對(duì)值X服從麥克斯韋（Maxwell）分布，其概率密度為：f（x）=Ax2e-x2/b， x>0,0, 其他.其中b=m/(2kT)，k為玻爾茲曼常數(shù)，T為絕對(duì)溫度，m是分子的質(zhì)量，試確定常數(shù)A。 （2）研究了英格蘭在1875年1951年期間，在礦山發(fā)生導(dǎo)致不少于10人死亡的事故的頻繁程度。得知相繼兩次事故之間的時(shí)間T（日）服從指數(shù)分布，其概率密度為 fT（t）=1241e-t/241， t>0,0, 其他.求分布函數(shù)F(t)，

29、并且求概率P（50<T<100）.（1） 解：由題意可知-fxdx=1,可得-fxdx=-00dx+0Ax2e-x2/bdx =-Ab2xe-x2b|0+Ab20e-x2bdx不妨令xb=u則原式可寫為Abb20e-u2du=Abb4由此可得A=4bb（2） 解：當(dāng)t<0時(shí)，F(xiàn)Tt=-tfTtdt=-t0dt=0當(dāng)t>0時(shí)，F(xiàn)Tt=-tfTtdt=-t0dt+0t1241e-t/241dt=1-e-t241故所求的分布函數(shù)為 FT（t）=1-e-t241， t>0,0, 其他. 而P50<T<100= FT（100）- FT（50）=e-50241-e

30、-10024123.某種型號(hào)器件的壽命X（以小時(shí)計(jì)）具有概率密度f(x)=1000x2, x>1000,0, 其他.現(xiàn)有一大批此種器件（設(shè)各種器件損壞與否相互獨(dú)立），任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？解：任取一只該種器件，其壽命大于1500h的概率為 P=15001000x2dx=-1000x|1500=23任取5只這種器件，其中壽命大于1500小時(shí)的只數(shù)記為X，則Xb(5，23).故所求概率為PX2=1-PX=0-PX=1 =1-1-232-C51231-234=23224324.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)時(shí)間X(min)服從指數(shù)分布，其概率密度為fx(x)

31、=15e-x/5, x>0,0, 其他.某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10min，他就離開，他一個(gè)月要到銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律，并求P(Y1).解：顧客在窗口等待服務(wù)超過10min的概率為 P=10fx(x)dx=1015e-x5dx=e-2故顧客去銀行一次因未等到服務(wù)而離開的概率為e-2，從而Yb(5, e-2)那么，Y的分布律為PY=k=C5k(e-2)k(1-e-2)5-k， k=0,1,2,3,4,5. PY1=1-PY=0=1-(1-e-2)5=0.516725、設(shè)K在（0,5）服從均勻分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有實(shí)

32、根的概率。解：4x2+4Kx+K+2=0有實(shí)根即 （4K）2-4×4×（K+2）0解得 K-1 或 K2由題知K在（0,5）服從均勻分布即 0<K<5設(shè) 方程4x2+4Kx+K+2=0有實(shí)根為事件AP(A)=P2K<5=2515dx=3526、設(shè)XN(3，22)(1)求P2<X5，P-4<X10，P|X|>2，PX>3(2)確定c使得PX>c=PXc(3)設(shè)d滿足PX>d0.9，問d至多為多少?解：z=X-N0,1(1) P2<X5=P2-32<X-325-32 =P-12<X-321 =1-12 =1

33、-1+12=0.5328 P-4<X10=P-72<X-3272=272-1=0.9996 PX>2=PX<-2+PX>2= PX-32<-52+PX-32>-12 =-52+12 =0.6977PX>3=1-PX-32<3-32 =1-0 =0.5(2) PX>c=PXc即PX-32>c-32=PX-32c-321-PX-32c-32=PX-32c-32=0.5即c-32=0 可得c=3(3) PX>d0.9即PX-32>d-320.9即-d-320.9即-d-321.29即d0.42則d至多為0.4227、某地區(qū)

34、18歲的女青年的血壓（收縮壓，以mmHg計(jì)）服從N(110，122)分布，在該地區(qū)任選一18歲的女青年，測(cè)量她的血壓X，求(1)PX105，P100<X120；(2)確定最小的x，使PX>x0.05.解：z=X-N0,1(1) PX105=PX-11012105-11012 =-0.417=0.3383P100<X120=P-0.833<X-11012<0.833 =2×0.833-1=0.5952(2) PX>x0.05即PX-11012>x-110120.05即PX-11012<x-110120.95即x-110121.65x129

35、.8則x最小為129.8，使得PX>x0.05.28.由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓的長(zhǎng)度（cm）服從參數(shù)=10.05,=0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長(zhǎng)度在范圍10.05±0.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格品的概率。解：設(shè)螺栓的長(zhǎng)度為X。0.12=2，根據(jù)3法則，產(chǎn)品合格的概率P合格= P10.05-0.12X10.05+0.12=95.44%不合格概率：P不合格=1-P合格=4.56%29.一工廠生產(chǎn)的某種元件的壽命（h）X服從參數(shù)為=160，（>0）的正態(tài)分布，若要求P120<X2000.80，允許最大為多少？解：由正態(tài)分布圖形得，越小時(shí)，X落在附近的概率越大。當(dāng)P120&l

36、t;X200=P160-40<X160+40=0.8時(shí)40=0.9根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得，40=1.2831.20即最大為31.20.30.設(shè)在一電路中，電阻兩段的電壓（V）服從N120，22，今獨(dú)立測(cè)量了5次，試確定2次測(cè)定值落在區(qū)間118,122之外的概率。解：設(shè)第i次測(cè)定值為Xi， i=1,2,3,4,5，則Xi-N（120,22）P118Xi122=（）-（） =（1）-（-1） =2（1）-1 =0.6826PXi【118,122】=1-P118X122 =0.3174 （i=1,2,3,4,5）Xi之間相互獨(dú)立若以Y表示5次測(cè)量其測(cè)定值Xi落在【118,122】之外的個(gè)數(shù) Y

37、b（5,0.3174）所求概率 PY=2=C2 5（0.3174）2(0.6826)3 =0.320431某人上班，自家里去辦公室要經(jīng)過一個(gè)交通指示燈，這指示燈有80%時(shí)間亮紅燈，此時(shí)他在指示燈旁等待直至綠燈亮。等待時(shí)間在區(qū)間0，30（以秒計(jì)）服從均勻分布。以X表示他的等待時(shí)間，求X的分布函數(shù)F（x）。畫出F（x）的圖形，并問X是否為連續(xù)性隨機(jī)變量，是否為離散型的？（要說明理由）解 當(dāng)他到達(dá)交通指示燈處時(shí)，若是亮綠燈則等待時(shí)間為0，若是亮紅燈則等待時(shí)間X服從均勻分布。記“指示燈亮綠燈”為事件A。則對(duì)于固定的x0，全概率公式有PXx=PXxAPA+PXxAPA當(dāng)0x30時(shí)，PXx=1×

38、0.2+x30×0.8=0.2+2x75當(dāng)x30時(shí)，PXx=1×0.2+1×0.8=1于是得到X的分布函數(shù)為Fx=PXx=0 x0 0.2+2x75 0x<30 1 x0 F（x）的圖像如圖所示因F(x)在x=0處有不連續(xù)點(diǎn)，故隨機(jī)變量X不是連續(xù)型，又因不存在一個(gè)可列的點(diǎn)集，使得在這個(gè)點(diǎn)集上X取值的概率為1，所以隨機(jī)變量也不是離散型的，X是混合型隨機(jī)變量。32 設(shè)f（x），g(x)都是概率密度函數(shù)，求證h（x）=f（x）（1）g（x），01也是一個(gè)概率函數(shù)。解 因?yàn)閒（x），g(x)都是概率密度函數(shù)，故有f（x）0，g(x)0 且-+fxdx=1， -+g（x）dx=1.因01，故10，所以有f（x）0 ， （1）g（x）0，于是h（x）0.又-+h（x）dx=-+fxdx+1-+gxdx=+1-=1所以h（x）是一個(gè)概率分布函數(shù)。33.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-