拉氏變換的基本概念

1、 二、單位脈沖函數(shù)及其拉氏變換二、單位脈沖函數(shù)及其拉氏變換一、拉氏變換的定義一、拉氏變換的定義 一、拉氏變換的定義 稱（7-1）式為函數(shù)的拉氏變換式,用記號Lf(t)=F(P)表示.函數(shù) ()稱為f(t)的拉氏變換(Laplace) (或稱為f(t) 的像函數(shù)) 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)當(dāng)t0時有定義，若廣義時有定義，若廣義積分積分 在在P的某一區(qū)域內(nèi)收斂，則的某一區(qū)域內(nèi)收斂，則此積分就確定了一個參量為此積分就確定了一個參量為P的函數(shù)，記作的函數(shù)，記作F(P),即即dtetfpt 0)(dtetfPFpt 0)()(7-1) 函數(shù)f(t)稱為() 的拉氏逆變換（或稱為()像原函數(shù)），記

2、作)()(),()(11PFLtftfPFL 即即 例例7-1 求一次函數(shù)求一次函數(shù)f(t)=at(t0,a 為常數(shù)為常數(shù))的的拉氏變換拉氏變換解解 0000)(dtepaepatetdpadtateatLptptptpt)0(02020 ppaepadtepaptpt關(guān)于拉氏變換的定義，在這里做兩點(diǎn)關(guān)于拉氏變換的定義，在這里做兩點(diǎn)說明說明： （1）在定義中，只要求在定義中，只要求 f(t) 在在t0時有時有定義為了研究拉氏變換性質(zhì)的方便，以定義為了研究拉氏變換性質(zhì)的方便，以后總假定在后總假定在 t0 時時,f(t)=0 . （2）在較為深入的討論中，拉氏變換式在較為深入的討論中，拉氏變換式中

3、的參數(shù)中的參數(shù)P是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)取值為了方便是在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)取值為了方便起見，本章我們把起見，本章我們把P作為實(shí)數(shù)來討論，這并作為實(shí)數(shù)來討論，這并不影響對拉氏變換性質(zhì)的研究和應(yīng)用不影響對拉氏變換性質(zhì)的研究和應(yīng)用 （3）拉氏變換是將給定的函數(shù)通過廣義拉氏變換是將給定的函數(shù)通過廣義積分轉(zhuǎn)換成一個新的函數(shù)，它是一種積分積分轉(zhuǎn)換成一個新的函數(shù)，它是一種積分變換變換.一般來說一般來說,在科學(xué)技術(shù)中遇到的函數(shù)，在科學(xué)技術(shù)中遇到的函數(shù)，它的拉氏變換總是存在的它的拉氏變換總是存在的.二、二、 單位脈沖函數(shù)及其拉氏變換單位脈沖函數(shù)及其拉氏變換 在研究線性電路在脈沖電動勢作用后所在研究線性電路在脈沖電動勢作用后所產(chǎn)生

4、的電流時產(chǎn)生的電流時,要涉及到我們要介紹的脈沖要涉及到我們要介紹的脈沖函數(shù)函數(shù),在原來電流為零的電路中在原來電流為零的電路中,某一瞬時某一瞬時(設(shè)為設(shè)為t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖進(jìn)入一單位電量的脈沖,現(xiàn)要確定現(xiàn)要確定電路上的電流電路上的電流i(t),以以Q(t)表示上述電路中的表示上述電路中的電量，則電量，則 .0, 1,0,0)(tttQ由于電流強(qiáng)度是電量對時間的變化率，即由于電流強(qiáng)度是電量對時間的變化率，即,)()(lim)()(0ttQttQdttdQtit 所以，當(dāng)所以，當(dāng)t0時時,i(t)=0;當(dāng)當(dāng)t=0時時,有有 .)1(lim)0()0(lim)0(00 ttQtQitt 上式

5、說明上式說明,在通常意義下的函數(shù)類中找不在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個函數(shù)表示電流強(qiáng)度為此到一個函數(shù)表示電流強(qiáng)度為此,引進(jìn)一個新引進(jìn)一個新的函數(shù)，這個函數(shù)稱為的函數(shù)，這個函數(shù)稱為狄拉克函數(shù)狄拉克函數(shù))(lim)(0tt 稱為稱為狄拉克狄拉克(Dirac)函數(shù)函數(shù),簡稱為簡稱為 函數(shù)函數(shù) 的的值值為為時時當(dāng)當(dāng)?shù)牡闹抵禐闉闀r時當(dāng)當(dāng))(,0;0)(,0tttt 的的圖圖形形和和即即無無窮窮大大)()(.0,0,0)(,ttttt 定義定義的的極極限限為為時時當(dāng)當(dāng))(,0,t tttt，設(shè)設(shè)00100)(如圖如圖7-17-1和圖和圖7-27-2所示所示 , 11)(, 0,0 dtdtt 有有對任何

6、對任何顯然顯然. 1)( dtt 所所以以 工程技術(shù)中工程技術(shù)中,常將常將 函數(shù)稱為函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù),有些工程書上有些工程書上,將將 函數(shù)用一個長度等于函數(shù)用一個長度等于1的的有向線段來表示有向線段來表示(如圖如圖7-2所示所示),這個線段的長這個線段的長度表示度表示 函數(shù)的積分函數(shù)的積分,叫做叫做 函數(shù)的強(qiáng)度函數(shù)的強(qiáng)度 例例7-2 求求 的拉氏變換的拉氏變換)(t dtettLpt0)()( )()1 (lim11lim11lim0000 ppptepeppe. 1)( t，L 即即解解 根據(jù)拉氏變換的定義，有根據(jù)拉氏變換的定義，有dtedtedteptptpt 000001lim0lim)1lim(11li