圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及對(duì)應(yīng)練習(xí)

1、學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考圓考點(diǎn)一、圓的相關(guān)概念1、圓的定義2、圓的幾何表示 : 以點(diǎn) O 為圓心的圓記作 “ O”，讀作“圓 O” 考點(diǎn)二、弦、弧等與圓有關(guān)的定義（1）弦 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。 （如圖中的 AB ）（2）直徑 經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。 （如途中的 CD）（3）半圓（4）弧、優(yōu)弧、劣弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧?；∮梅?hào)“”表示，以 A ， B 為端點(diǎn)的弧記作“ ”，讀作“圓弧 AB ”或“弧 AB ”。大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€(gè)字母表示） ；小于半圓的弧叫做劣弧（多用兩個(gè)字母表示）考點(diǎn)三、垂徑定理及其推論垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所

2、對(duì)的弧。推論 1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（ 2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（ 3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。推論 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。垂徑定理及其推論可概括為：過(guò)圓心垂直于弦直徑平分弦知二推三平分弦所對(duì)的優(yōu)弧平分弦所對(duì)的劣弧考點(diǎn)四、圓的對(duì)稱性1、圓的軸對(duì)稱性2、圓的中心對(duì)稱性：圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。考點(diǎn)五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理1、圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。2、弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理在同圓或等圓

3、中， 相等的圓心角所對(duì)的弧相等， 所對(duì)的弦想等， 所對(duì)的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。考點(diǎn)六、圓周角定理及其推論1、圓周角定理學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。推論 1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。推論 2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角； 90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。推論 3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。考點(diǎn)七、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè) O 的半徑是

4、 r，點(diǎn) P 到圓心 O 的距離為 d，則有：d<r點(diǎn) P在O 內(nèi)；d=r點(diǎn) P在O 上；d>r點(diǎn) P在O 外?？键c(diǎn)八、過(guò)三點(diǎn)的圓1、過(guò)三點(diǎn)的圓：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。2、三角形的外接圓：3、三角形的外心：三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（四點(diǎn)共圓的判定條件）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)?？键c(diǎn)九、直線與圓的位置關(guān)系直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：如果 O的半徑為 r ，圓心 O到直線 l 的距離為 d, 那么：直線 l 與 O相交d<r；直線 l 與 O相切d=r；直線 l 與 O相離d>r；考點(diǎn)十、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊

5、形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在 O 中，四邊 ABCD 是內(nèi)接四邊形 CBAD 180BD 180CDAEC考點(diǎn)十一、切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；B兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即： MNOA 且 MN 過(guò)半徑 OA 外端MN 是O的切線2、性質(zhì)定理：切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論 1：過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)。推論 2：過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心。 M 以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：過(guò)圓心；過(guò)切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出DAEOAN學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)

6、絡(luò)，僅供參考最后一個(gè)。考點(diǎn)十二、切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即： PA 、 PB 是的兩條切線 PA PB ； PO 平分 BPA考點(diǎn)十三、圓冪定理BOPA1、相交弦定理 ：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在 O 中，弦 AB 、 CD 相交于點(diǎn) P ，PA PBPC PDDB O PAC推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。C即：在 O 中，直徑 AB CD ，BAO ECE2AE BED2、切割線定理 ：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線， 切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的

7、兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即：在 O 中， PA 是切線， PB 是割線A PA2PC PBED3、割線定理 ：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線， 這一點(diǎn)到每條OP割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等（如右圖）。即：在 O 中， PB 、 PE 是割線PC PBPD PECB考點(diǎn)十四、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。A如圖： O1O2 垂直平分 AB 。O1O2即： O1 、 O2 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)B O1O2 垂直平分 AB考點(diǎn)十五、圓的公切線兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式：AB（ 1）公切線長(zhǎng)：1 2C中，AB2222；CRt O OCO1O1O2CO2O1（

8、2）外公切線長(zhǎng)： CO2 是半徑之差； 內(nèi)公切線長(zhǎng)： CO2 是半徑之和O2學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考考點(diǎn)十六、三角形的內(nèi)切圓和外接圓1、三角形的內(nèi)切圓與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。2、三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，考點(diǎn)十七、圓和圓的位置關(guān)系1、圓和圓的位置關(guān)系2、圓心距3、圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定設(shè)兩圓的半徑分別為R 和 r，圓心距為 d，那么兩圓外離d>R+r兩圓外切d=R+r兩圓相交R-r<d<R+r（ Rr）兩圓內(nèi)切d=R-r（R>r）兩圓內(nèi)含d<R-r（R>r）4、兩圓相切、相交的重要性質(zhì)

9、如果兩圓相切， 那么切點(diǎn)一定在連心線上， 它們是軸對(duì)稱圖形， 對(duì)稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個(gè)圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。考點(diǎn)十八、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算1、正多邊形的定義各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形和圓的關(guān)系只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧， 就可以做出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形， 這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。3、正三角形在 O 中 ABC 是 正 三 角 形 ， 有 關(guān) 計(jì) 算 在 R t B O 中D 進(jìn) 行 ： OD: BD: OB1: 3；:2CBCOOOBADAEDBA4、正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在Rt OAE 中進(jìn)行， OE : AE : OA1:1:2

10、 ：5、正六邊形同 理 ， 六 邊 形 的 有 關(guān) 計(jì) 算 在 Rt OAB 中 進(jìn) 行 ，A學(xué)習(xí)資料OSlB學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考AB:OB :OA1:3 :2.考點(diǎn)二十、正多邊形的對(duì)稱性1、正多邊形的軸對(duì)稱性、中心對(duì)稱性注：邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對(duì)稱圖形，考點(diǎn)二十一、弧長(zhǎng)和扇形面積1、弧長(zhǎng)公式n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l 的計(jì)算公式為 ln r1802、扇形面積公式S扇nR 21lR36023、圓錐的側(cè)面積S1 l2 rrl2其中 l 是圓錐的母線長(zhǎng)， r 是圓錐的地面半徑?？键c(diǎn)二十二、內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算。（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。（

11、2）ABC中， C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑 r= abc。（3）SABC= 12(a b) ，其中， ，是邊長(zhǎng)，r是內(nèi)切圓的半徑。2rca b c精選考題考點(diǎn)一：與圓相關(guān)概念的應(yīng)用1. 運(yùn)用圓與角（圓心角，圓周角），弦，弦心距，弧之間的關(guān)系進(jìn)行解題例 如圖， A、 B、 C是 O上的三點(diǎn)， AOC=100°，則 ABC的度數(shù)為（）. 30°. 45°. 50°. 602. 利用圓的定義判斷點(diǎn)與圓，直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【例 3】 已知 O的半徑為 3cm， A 為線段 OM的中點(diǎn)，當(dāng)OA滿足：（ 1）當(dāng) OA=

12、1cm時(shí)，點(diǎn) M與 O的位置關(guān)系是.（ 2）當(dāng) OA=1.5cm時(shí)，點(diǎn) M與 O的位置關(guān)系是.（ 3）當(dāng) OA=3cm時(shí)，點(diǎn) M與 O的位置關(guān)系是.【例 4】 O 的半徑為4，圓心O 到直線l的距離為3，則直線l與 O 的位置關(guān)系是（） .相交.相切.相離.無(wú)法確定【例5 】?jī)蓤A的半徑分別為3cm 和4cm，圓心距為2cm，那么兩圓的位置關(guān)系是_.3. 正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算【例 6】 已知正六邊形的周長(zhǎng)為72cm，求正六邊形的半徑，邊心距和面積.學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考4. 運(yùn)用弧長(zhǎng)及扇形面積公式進(jìn)行有關(guān)計(jì)算【例 7】 如圖，矩形ABCD中， BC=2，DC=4，以 AB 為直徑

13、的半圓O與 DC相切于點(diǎn)E，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留） .5. 運(yùn)用圓錐的側(cè)面弧長(zhǎng)和底面圓周長(zhǎng)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算【例8】已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)與底面半徑長(zhǎng)的比是.考點(diǎn)二：圓中計(jì)算與證明的常見(jiàn)類型1. 利用垂徑定理解題垂徑定理及其推論中的三要素是：直徑、平分、過(guò)圓心2. 利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”解題【例 2】 如圖，在 O的內(nèi)接 ABC中， CD是 AB邊上的高，求證：ACD= OCB.3. 利用圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角關(guān)系解題圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)【例 3】 如圖，四邊形 ABCD為圓內(nèi)接四邊形， E 為 DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， 若 C 45°，AB 2 ，則點(diǎn) B 到 AE的距離為 _.4. 判斷圓的切線的方法及應(yīng)用判斷圓的切線的方法有三種：（ 1）與圓有惟一公共點(diǎn)的直線是圓的切