2021年高考甲卷-理數(shù)試題(含解析)

1、2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）理科數(shù)學(xué)一、選擇題11.設(shè)集合 M 0|0 x 4 , N x| x 5,則 M N () 3“，1A.x|0 x -3，1、B.x| x 43C.x|4 x 5D.x|0 x 5答案：B解析：,一1由圖知，M N x|- x 4.2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況， 對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查,3將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為 6%B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶

2、，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間答案:解析:A.低于4.5萬元的比率估計(jì)為0.02 1 0.04 1 0.06 6% ,正確.B.不低于10.5萬元的比率估計(jì)為(0.04 0.02 3) 1 0.1 10% ,正確.C.平均值為(3 0.02 4 0.04 5 0.1 6 0.14 7 0.2 8 0.2 9 0.1 10 0.111 0.04 12 0.02 13 0.02 14 0.02) 1 7.68 萬元，不正確.D. 4.5萬到8.5萬的比率為0.10.14 1 0.2 1 0.2 1 0.64,正確.3.已知(1 i)A.B.3.i23 .-i2C.D.3232答案:解

3、析:2i3Z2(1 i)3 2i2 3i2i4 .青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題,視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小24數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù) V滿足L 5 lgV .已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(麻 1.259)()A.1.5B.1.2C. 0.8D. 0.6答案:得0.8.F1PF2 60 ,|PFi| 3回|,解析:代入 L 5 lgV,知 lgV 4.9 50.1,故 V 10 0.15.已知Fl, F2是雙曲線C的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且則C的離心率為（）A 7 r.2B.,13C.,7D.

4、答案:解析:記 ri |PFi|,2 IPF2I，由 ri 3r2 及 n 上 2a,得 q3a2a ,又由余弦定理知222 2r 22r1r22rr2 cos F1PF2 4c ,得 7a 4c ,從而 e6.在一個正方體中，過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為EG ,該正方體截去三棱錐A EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（正視圖A.B.C.KD.答案：D解析：由題可得直觀圖，如下圖故選D.7 .等比數(shù)列an的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,設(shè)甲：q 0 ,乙：6是遞增數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件8 .甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.

5、甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案：B解析：若q 1,則Sn nai.ai 0 ,則Sn單調(diào)遞增；& 0 ,則Sn單調(diào)遞減，甲 冷乙，又若Sn單調(diào)遞增，則Sn i Sn恒成立，an1 0 a1qn 0恒成立，a 0,q 0,甲乙.綜上：甲 乙，選B.8.2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86 （單位：m ）,三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一. 右圖是三角高程測量法的一個示意圖， 現(xiàn)有A, B, C三點(diǎn)，且 A, B, C在同一水平面上的投影 A , B , C滿足 AC B 45 ,ABC 60 .由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為15 , BB與

6、CC的差為100 :由B點(diǎn)測得A點(diǎn) 的仰角為45，則A,C兩點(diǎn)到水平面 ABC的高度差A(yù)A CC約為（）（J3 1.732）A. 346B. 373C. 446D. 473答案：B解析：過0作BB'的垂線交BB'于點(diǎn)m過B作AA'的垂線交AA'于點(diǎn)N,由題意得 BM 100 , BCM 15 , ABN 45 ,即 CM所以 1002_BN BA BCsin45tani5250 2sin 75 sin 75 sin15所以100tan15B'CAN BN 50無 50吃 273.得A, C兩點(diǎn)到水平面 ABC的高度差A(yù)A sin15 624CC約為273

7、 100 373,故選Bo9.若 a (0, ) , tan 22cos2 sina.B15B 5 B.5C 5C.3D.45答案:A解析:tan2tan2cos2 sin2 tan2sin cos2sin4sintan22 cos.2 sincos2 sin(2 sin2 cos. 2 sin2sin21.42 cos. 2 sin1 2sin2(0, £).如圖，tan1,151515又10.將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則1A.一32B.-52個0不相鄰的概率為(C. 23D. 45答案：C解析：把位置依次標(biāo)為1到6.15種.總數(shù)：先排2個0,有C2 15種，再排4個1,有一種

8、，故共有滿足題設(shè)的排法：先排4個1,有1種.其間有5個空，選2個空插入有 C；10種.故c 102P153滿足題設(shè)排法的另一種解釋：0的位置有(1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) ,(2,4) , (2,5) , (2,6),(3,5) , (3,6) , (4,6),共 10 種.11 .已知A, B,C是半徑為1的球O的球面上的三個點(diǎn)， 且AC BC , AC BC 1 ,則三 棱車B O ABC的體積為()12B、3B.122口.43D.4答案：A解析：記O為A, B,C所在圓面的圓心，則 OOABC .又AB 、. 2 ,所以O(shè)O . OA2 AO2.12(22)

9、22.2二.故選212A.1 _ 一所以 VO ABC 3 S ABC OO12 .設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?R, f(x 1)為奇函數(shù)，f(x 2)為偶函數(shù)，當(dāng)x 1,2時,29.f(x) ax b.若 f(0) f (3) 6,則 f(2)()A. 94B.c.74D. 52答案:D解析：f (x)關(guān)于(1,0)中心對稱,f0. f(x 1)為奇函數(shù),因f(x2)為偶函數(shù)，故f(x)關(guān)于x 2軸對稱，周期為4.f(0)f(2), f(3)f(1).即 f(1) f (2) 6, f(2)6.a b 04ab 6故91f(-)f(-)22故選D.2)二、填空題2x 1 .一13.曲線y在點(diǎn)(

10、1, 3)處的切線方程為 .x 2答案：y 5x 2.解析：f (x) 5- , f ( 1) 5, f( 1) 3(x 2)21切線：y 3 5(x 1) y 5x 2.14.已知向量a (3,1) , b(1,0) , c a kb .若 a c ,貝U k答案:103解析：10c (3 k,1), a c 03(3 k) 1 0.所以 k 一.32215.已知F1 , F2為橢圓C：1的兩個焦點(diǎn)，P , Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),164且I PQ I I F1F2 | ,則四邊形PF1QF2的面積為 答案:解析:如圖，由|PQ| IF1F2I及橢圓對稱性可知，四邊形PF1QF2為矩

11、形.D2得2mn 16 .所以，四邊形PF1QF2 2m n 8設(shè) | PFi | m , IPF2 | n ,則222m n IF1F2I 48 面積為mn 8 .16.已知函數(shù)f(x) 2cos( x )的部分圖像如圖所不，則滿足條件x為答案:解析:由圖可知，f(x)的最小正周期T - (13-)，.二2.3 1231313ff 2,2cos()2,，一2k, k Z.12664 一一7f(x) 2cos(2x)，f() 0,f()1 .634 (f (x) 1)(f(x) 0) 0f (x) 0 或 f (x) 1 .結(jié)合圖像可知，滿足f (x) 1的離y軸最近的正數(shù)區(qū)間(0-),無正數(shù)

12、;4f(x) 0的離y軸最近的正數(shù)區(qū)間為(，5-),最小正整數(shù)x3 62.三、解答題(1)必考題17.甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：二級品含計(jì)甲機(jī)機(jī)15060200乙鞏床12080200合計(jì)270130400(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?n(ad bc)(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?0. 0500.0100.001k3, 8416, 63510, 828附：K22(a b)(c d)(a c)(b d)答案:見解

13、析 解析：150 3.一 ,200 4(1)由表格數(shù)據(jù)得：甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率為120 3乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率為200 5 '2 2 2 2 2一 ，一 一 一 22n(ad bc)400 (150 80 120 50)(2)由題息 k () ( 10.256 6.635.(a b)(c d)(a c)(b d) 200 200 270 130所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異18 .已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記 Sn為an的前n項(xiàng)和，從下面中選取兩個作為 條件，證明另外一個成立.數(shù)列an是等差數(shù)列：數(shù)列百是等差數(shù)列：a2 3a1.注：

14、若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計(jì)分，答案：見解析解析：， ，證明：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d .因?yàn)閍2 3日 ,所以& d 3a ,則 d 2a.所以 Sn na1 "( 1)d n& n(n 1)a n2a ,所以蕊 Y耳7 n向 (n 1)向 向.所以JS?是首項(xiàng)為 向,公差為 四的等差數(shù)列.19 .已知直三棱柱 ABC AB1G中，側(cè)面AAB1B為正方形，AB BC 2, E, F分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱ABi上的點(diǎn)，BFA|Bi .(1)證明：BF DE;答案:(2)當(dāng)BD為何值時，面BBGC與面DFE所成的二面角的正弦值最?。恳娊馕?解析：

15、(1)連AE ,取BC中點(diǎn)M連BM ,EM由EM為ACBC的中點(diǎn)，則EM /AB ,又 AB/AB, AB/EM則ABME共面，故DE 面ABiME .又在側(cè)面BCGB中FCBMBBi,則 BF MBiBF A1B1又 MB1r1ABi B1MB11ABi ® A1B1MEBF 面AB1ME ，則 BF DE .2 BF AB,則 BF AB AF2_2BF AB 9.又 AF2 FC2 AC2 AC2 8則 ABBC.C(0,2,0) , A(2,0,0) , E(1,1,0),F(0,2,1).如圖以B為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸，則 B(0,0,0)設(shè) DB t 則 D(t,0,2),0

16、t 2.則面BCGB法向量為m (1,0,0),對面DEF設(shè)法向量為n (x,y,z),則EF ( 1,1,1)EF n 05Jn (3,1 t,2 t)ED (t 1, 1,2)ED n 0則 cos.m,n'.f732 (1 t)2(2 t)2要求最小正弦值則求最大余弦值1當(dāng)t一時二面角余弦值最大，則2B1D20.拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)22 2t 141 ,一、一， 一時二面角正弦值最小.2O ,焦點(diǎn)在x軸上，直線l : x 1交C于POP OQ ,已知點(diǎn)M (2,0)，且0M與l相切.(1)求C , 0M的方程;(2)設(shè)Ai, A2,禽是C上的三個點(diǎn)，直線AA均與OM相切，判斷

17、直線A2A3,與0M的位置關(guān)系，并說明理由 答案: 見解析;解析:,、2(1)C: y x,_22OM :(x 2) y 1A(a2,a)A2(b2,b)Aa(c2,c).lA1A2：y(xa2)(ab)yab|2 ab|1 (a b)2l AB3a (xa ca2)(ac)yac所以b|2 ac|,1 (a c)21.c是方程 |2 ax|,1 (a x)2(a21)x22ax a2 3 0的兩根.:x (b c) y bc 0 ,所以|2 bc|-1 (b c)2|2a2 1 a2 1)_|a2_1|、a4 2a2二 1.1f (x)2x 2x 2xln 2 x2(272.當(dāng) x (0,)

18、時，f (x) 0 ln2f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x (, In 2)時，f (x) 0 , f(x)單所以d r ,即直線A2A3與OM相切.a一 X _21.已知a 0且a 1 ,函數(shù) f(x) -(x 0). a(1)當(dāng)a 2時，求f (x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若曲線y f(x)與直線y 1有且僅有兩個交點(diǎn)，求 a的取值范圍答案：見解析;解析：2x(1) a 2 時,f(x),2、x(2 xln2) ln2x(in2 x)_x_x22調(diào)遞減.22故f (x)在(0,)上單倜遞增，在(,)上單調(diào)遞減.In 2ln 2(2)由題知f (x) 1在(0,)有兩個不等根；f(x) 1a x . In x In ax a aln x xln a x a令 g(x)In xg (x)1 ln2 xg (x)在(0, e)單調(diào)遞增，在(e,)單調(diào)遞減.-1又 g(1) 0 g(e) x , g(x) 0.' e,所以 0 ma 1 a 1且 a e. a e四、選考題(2選1)22.在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2、. 2 cos(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(1,0) , M為C上的動點(diǎn)，