微分方程作業(yè)選解

1、上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分方程作業(yè)微分方程作業(yè)1選解選解3利用代換cosuyx將方程 cos2sin3 cosxyxyxyxe 化簡. 解：cosuyx，cossinuyxyx， cos2sincosuyxyxyx， cos2sin3 cos(cos2sincos )4 cos4 ,yxyxyxyxyxyxyxuu 原方程化為4xuue. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分方程作業(yè)微分方程作業(yè)1選解選解4驗證由方程ln()yxy所確定的函數(shù)為微分方程 2()20 xyx yxyyyy 的解. 解：方程ln()yxy兩邊對x求導(dǎo)，得 yxyyxy， 化為xyyyxy，再求導(dǎo)得 2yyxyxyyyyxy，

2、 整理得 2()20 xyx yxyyyy . 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分方程作業(yè)微分方程作業(yè)1選解選解5設(shè)平面曲線L上任意一點 ( , ) (0)P x yx 處的切線與y軸總相交， 交點記為A. 已知|PAOA， 且L過點(1,1). 求曲線L所滿足的微分方程，并寫出初始條件. 解：曲線L上點 ( , )P x y 處的切線方程為 ()Yyy Xx， 令0X ，得Yyxy，所以點A的坐標(biāo)為(0,)yxy. 由題設(shè)|PAOA，得 22()|xxyyxy， 由此得所求微分方程為 2220 xyyxy ， 由L過點(1,1)，得初始條件1|1xy . 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分方程作業(yè)微分方程作

3、業(yè)1選解選解6設(shè)物體A從點(0,1)出發(fā)，以速度大小為常數(shù)v沿y軸正向運動. 物體B從點( 1,0)與A同時出發(fā)， 其速度大小為2v， 方向始終指向A. 試建立物體B的運動軌跡所滿足的微分方程，并寫出初始條件. 解：設(shè)在時刻t，B位于點( , )x y 處，則 d(1)dyvtyxx，即d(1)dyxyvtx， 兩邊對x求導(dǎo)，得 22ddddytxvxx ， （1） 已知222 d(d )(d )v txy，代入（1）得 222d1d1()0d2dyyxxx ， 初始條件為11|0,|1xxyy. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分方程作業(yè)微分方程作業(yè)2選解選解2一曲線上任意一點處的法線都過原點，且點

4、(2, 2)在該曲線上，求這一曲線的方程. 解：曲線上點( , )x y處的法線方程為d()dxYyXxy ， 由法線過原點（將0X ，0Y 代入） ，得 ddxyxy. 分離變量得 ddyyxx ，兩邊積分得 221122yxC . 由2,2xy 得4C . 所求曲線方程為228xy . 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分方程作業(yè)微分方程作業(yè)2選解選解3假定物體在空氣中的冷卻速度是正比于該物體的溫度和它周圍的空氣溫度之差. 若室溫為020 c時，一物體由0100 c冷卻到060 c須經(jīng)過20分鐘， 問共經(jīng)過多少時間方可使此物體的溫度從開始時的0100 c降低到030 c. 解：設(shè)在時刻t物體的溫度為

5、 ( )T t ，由題設(shè)得 d(20)dTk Tt ，其中0k 為冷卻系數(shù). 分離變量得dd20Tk tT ，兩邊積分得 ln(20)lnTktC ，即20ktTCe. 由 (0)100T得80C ，再由 (20)60T得ln220k ， 所以ln2202080tTe. 令 ( )30T t ，得60t . 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分方程作業(yè)微分方程作業(yè)2選解選解4一池盛有鹽水 100 公斤，其中含鹽 10 公斤，現(xiàn)以每分鐘2 公斤的速率往池內(nèi)注入淡水，同時從池內(nèi)流出 2 公斤混和均勻的鹽水，求池內(nèi)溶液的含鹽量降至一半所需要的時間. 解：設(shè)從注入淡水開始記時（此時0t ） ，第t分鐘后池內(nèi)鹽的

6、含量為m公斤，則池內(nèi)鹽的濃度為100m，在時間段 ,d t tt內(nèi)，從池內(nèi)流出的溶液中鹽的含量為2 dd10050mmtt ，即dd50mmt . 分離變量得d1d50mtm ，兩邊積分得 ln0.02lnmtC ，即0.02tmCe. 由初始條件0t ，10m ，得10C ，所以0.0210tme. 令5m ，得50ln2t ，即所需要的時間為50ln2分鐘. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分方程作業(yè)微分方程作業(yè)2選解選解5設(shè)L是一條平面曲線，其上任意一點 ( , ) (0)P x yx 到坐標(biāo)原點的距離恒等于該點處的切線在y軸上的截距，且L過點(1,0). 求曲線L的方程. 解：設(shè)曲線L上點 (

7、 , )P x y 處的切線方程為 ()Yyy Xx，令0X 得Yyxy（切線在y軸上的截距）. 由題設(shè)得 22xyyxy， 令yux, 方程化為2dd1uxxu ，兩邊積分得 2ln(1)lnlnuuxC 22yxyC. 由L過點(1,0), 得1C . 所以曲線L的方程為 221yxy ，即12xy. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分方程作業(yè)微分方程作業(yè)3選解選解2已知某曲線經(jīng)過點(1,1)，它的切線在縱軸上的截距等于切點的橫坐標(biāo)，求它的方程. 解：曲線上點( , )x y 處的切線方程為 ()Yyy Xx， 令0X ，得Yyxy（縱截距）. 由題設(shè)得 yxyx ，即11yx y . 由通解公式

8、得 11dd ( 1)dxxxxyeexC( ln)xxC. 由1,1xy得1C . 所求曲線方程為(1ln )yxx. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分方程作業(yè)微分方程作業(yè)3選解選解3設(shè)有一質(zhì)量為m的質(zhì)點作直線運動，從速度等于零的時刻起，有一個與運動方向一致、大小與時間成正比(比例系數(shù)為1k)的力作用于它，此外還受到一與速度成正比(比例系數(shù)為2k)的阻力作用.求質(zhì)點運動的速度與時間的函數(shù)關(guān)系. 解：依題設(shè)，根據(jù)牛頓第二定律，得微分方程 12ddvmk tk vt. 由通解公式得 22dd1(d)kkttmmkvetetCm211222ktmkmktCekk， 由0t ，0v ，得122mkCk，所

9、以211222(1)ktmkk mvtekk. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分方程作業(yè)微分方程作業(yè)3選解選解4設(shè)可導(dǎo)函數(shù)( )f x 滿足0( )cos2( )sin d1xf xxf tt tx，求 ( )f x . 解：將0 x 代入所給方程得 (0)1f ，方程兩邊對x求導(dǎo)得 ( )cos( )sin1fxxf xx ，即( )( )tansecfxf xxx. 由通解公式得 tan dtan d( )( secd)xxxxf xexexCcos (tan)xxC. 由(0)1f得1C . 所以( )sincosf xxx. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分方程作業(yè)微分方程作業(yè)3選解選解5設(shè)平面曲

10、線L上任意一點 ( , ) (0)P x yx 處的切線與y軸總相交， 交點記為A. 已知|PAOA， 且L過點(1,1). 求曲線L的方程. 解：曲線L上點 ( , )P x y 處的切線方程為 ()Yyy Xx， 令0X ，得Yyxy，所以點A的坐標(biāo)為(0,)yxy. 由題設(shè)|PAOA，得22()|xxyyxy，化為 2220 xyyxy 221()yyxx ， 由通解公式得 11dd2( ()d)xxxxyex exC2Cxx， 由L過點(1,1)，得2C . 所以曲線L的方程為 2220 xxy . 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分方程作業(yè)微分方程作業(yè)4選解選解2設(shè)圓柱形浮筒，直徑為0.5m

11、，鉛直放在水中，當(dāng)稍向下壓后突然放開， 浮筒在水中上下振動的周期為 2s， 求浮筒的質(zhì)量. 解：當(dāng)浮筒下移 (m)x時，受到的浮力為 2fg r x 62.5g x （牛頓）. 根據(jù)牛頓第二定律，得微分方程 22d62.5dxmg xt . 此方程的通解為 12cos( 62.5/)sin( 62.5/)xCgm tCgm t. 函數(shù) ( )x t 的周期為 2262.5/Tgm62.5195gm（kg）. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分方程作業(yè)微分方程作業(yè)4選解選解3 已知1xye是微分方程(21)(21)20 xyxyy 的一個解，求此微分方程的通解. 解 1：設(shè)( )xyu x e，則 xx

12、yueu e，2xxxyueu eu e， 代入原微分方程，并整理得 (21)(23)0 xuxu， 解得 23exp(d )21xuCxx(21)xCex， (21)dxuCexx1(21)xCexC ， 所以 12(21)xyC eCx，(2CC ). 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分方程作業(yè)微分方程作業(yè)4選解選解3 已知1xye是微分方程(21)(21)20 xyxyy 的一個解，求此微分方程的通解. 解 2：設(shè)2yaxb為原微分方程的另一個解，則 (21)2()0 xaaxb ， 得2ab， 可取221yx. 因21yCy， 所以原微分方程的通解為 112212(21)xyC yC yC e

13、Cx. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分方程作業(yè)微分方程作業(yè)4選解選解4求微分方程12xyyyex的通解. 解：容易求得20yyy 的通解為12xxyC eC xe. 設(shè)( )xyu x e，則 xxyueu e，2xxxyueu eu e， 代入原微分方程，并整理得 1ux， 積分得ln|uCx ，再積分得 1ln|uCCxxxx ， 所以 12ln|xxxyC eC xexex，(21CC). 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分方程作業(yè)微分方程作業(yè)5選解選解2設(shè)函數(shù) ( )f x 連續(xù)，且滿足 00( )2( )d( )dxxxf xetf ttxf tt， 求 ( )f x . 解：由所給方程得 (0

14、)2f ，且 0( )2( )dxxfxef tt （1） 由方程（1）得(0)2f ，且 ( )2( )xfxef x （2） 解微分方程（2）得 12( )cossinxf xCxCxe. 由 (0)2f ，(0)2f ，求得11C ，21C . 所以 ( )cossinxf xxxe. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分方程作業(yè)微分方程作業(yè)5選解選解3已知21xxyxee，2xxyxee，23xxxyxeee是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的三個解，求此微分方程. 解 1： 設(shè)所求微分方程為( )ypyqyf x. 因1y，2y，3y為該方程的解，所以 2412xxyyyee，513xyyye，2645xyyye 都是0ypyqy 的解. 由5y，6y為0ypyqy 的兩個解，可知11r ，22r 為特征方程20rprq的兩個根，因此1p ，2q ， 111( )f xypyqy 222(2)4 (1)22()xxxxxxx eex eexee (12 )xx e. 所求微分方程為 2yyy(12 )xx e. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁微分方程作業(yè)微分方程作業(yè)5選解選解3已知21xxyxee，2xxyxee，23xxxyxeee是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的三個解，求此微分方