機(jī)器人原理與應(yīng)用3PPT課件

1、機(jī)器人原理與應(yīng)用機(jī)器人原理與應(yīng)用2021/7/231東北大學(xué)人工智能與機(jī)器人研究所2016.9第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/232v 機(jī)器人是個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，它的每一個(gè)機(jī)器人是個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，它的每一個(gè)動(dòng)作都是各個(gè)元部件共同作用的結(jié)果。動(dòng)作都是各個(gè)元部件共同作用的結(jié)果。第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2333.1 位置與姿態(tài)位置與姿態(tài) 3.2 正交坐標(biāo)系正交坐標(biāo)系 3.3 運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)表示運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)表示 3.4 齊次坐標(biāo)變換齊次坐標(biāo)變換 3.5 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng) 為了系統(tǒng)地、精確地描述各個(gè)元部件的作用以及它們?yōu)榱?/p>

2、系統(tǒng)地、精確地描述各個(gè)元部件的作用以及它們之間的關(guān)系，需要引入一套機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)。之間的關(guān)系，需要引入一套機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)。 第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/234 要全面地確定一個(gè)物體在三維空間中的狀態(tài)需要有三個(gè)位置自由度要全面地確定一個(gè)物體在三維空間中的狀態(tài)需要有三個(gè)位置自由度和三個(gè)姿態(tài)自由度。前者用來(lái)確定物體在空間中的具體方位，后者則是和三個(gè)姿態(tài)自由度。前者用來(lái)確定物體在空間中的具體方位，后者則是確定物體的指向。我們將物體的六個(gè)自由度的狀態(tài)稱為物體的位姿。確定物體的指向。我們將物體的六個(gè)自由度的狀態(tài)稱為物體的位姿。 如果如果H H為手坐標(biāo)系，用以描述為手坐標(biāo)系，用以

3、描述手的姿態(tài)，那再加上手的位置就手的姿態(tài)，那再加上手的位置就構(gòu)成了手的位姿。構(gòu)成了手的位姿。 3.1 位置與姿態(tài)位置與姿態(tài) 一般姿態(tài)的描述可以用一般姿態(tài)的描述可以用橫滾橫滾（Roll）、）、俯仰俯仰（Pitch）和）和側(cè)擺側(cè)擺（Yaw）三軸的轉(zhuǎn)角來(lái)實(shí)現(xiàn)。）三軸的轉(zhuǎn)角來(lái)實(shí)現(xiàn)。 繞坐標(biāo)系繞坐標(biāo)系H H各軸轉(zhuǎn)動(dòng)各軸轉(zhuǎn)動(dòng)yawProllpitchHXHZHYH第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/235飛機(jī)飛行姿態(tài)變化第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2363.2 正交坐標(biāo)系正交坐標(biāo)系3.2.1 正交坐標(biāo)系及矢量的基礎(chǔ)知識(shí)正交坐標(biāo)系及矢量的基礎(chǔ)知識(shí) 右圖是所謂的

4、正交坐右圖是所謂的正交坐標(biāo)系標(biāo)系B(x,y,z)B(x,y,z)，用來(lái)表示，用來(lái)表示機(jī)器人的基坐標(biāo)，機(jī)器人的基坐標(biāo)，其中其中 , , 分別分別是三個(gè)是三個(gè)坐標(biāo)軸的單位向量。坐標(biāo)軸的單位向量。 B B系中有另外一個(gè)坐標(biāo)系中有另外一個(gè)坐標(biāo)系系H H（x xH，yH，zH），用來(lái)），用來(lái)表示手坐標(biāo)表示手坐標(biāo), 其中其中 , , 分別是分別是H系系三個(gè)坐標(biāo)軸的單位向量。三個(gè)坐標(biāo)軸的單位向量。 ijknoazyxBHHzHxHyanoijkP端點(diǎn)端點(diǎn)P P相對(duì)于機(jī)器人手坐標(biāo)系相對(duì)于機(jī)器人手坐標(biāo)系H H及基座坐標(biāo)系及基座坐標(biāo)系B B的定位的定位第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/237

5、 正交坐標(biāo)系的性質(zhì)正交坐標(biāo)系的性質(zhì) kjiaaaooonnnaonzyxzyxzyx單位矢量單位矢量 , , 在基坐標(biāo)系中可表示為在基坐標(biāo)系中可表示為: :no a 根據(jù)矢量點(diǎn)積和叉積的性質(zhì)，對(duì)于相互正交的單位矢根據(jù)矢量點(diǎn)積和叉積的性質(zhì)，對(duì)于相互正交的單位矢量量 ， ， 有有ona 對(duì)于單位矢量對(duì)于單位矢量 , , 也有同樣的性質(zhì)。也有同樣的性質(zhì)。 ijkaononanao1aaoonn0naaoon第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/238其中其中是是a和和b兩矢量間的夾角，如圖兩矢量間的夾角，如圖3-2所示所示。矢量的點(diǎn)積（內(nèi)乘積或標(biāo)量積）矢量的點(diǎn)積（內(nèi)乘

6、積或標(biāo)量積）換句話說(shuō)：換句話說(shuō)： 再令再令a=j （j 為為a方向上的單位矢量），則方向上的單位矢量），則 圖圖3-2標(biāo)量積標(biāo)量積 令令b=i （i為為b方向上的單位矢量），則方向上的單位矢量），則第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/239矢量的叉積（矢量積或叉乘積）矢量的叉積（矢量積或叉乘積）其中矢量其中矢量c c的模為的模為: : 其中其中是是a和和b間小于等于間小于等于1800的夾角，若將的夾角，若將a按右手法則繞按右手法則繞c轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角至角至b，右手拇指指向?yàn)橛沂帜粗钢赶驗(yàn)閏的正方向（如圖的正方向（如圖3-3），），c與與a、b兩兩者垂直。者垂直。則則 圖圖3-3叉乘積

7、叉乘積 若若a和和b用分量的形式表示為用分量的形式表示為:第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2310a和和b的點(diǎn)乘為：的點(diǎn)乘為：將點(diǎn)乘和叉乘應(yīng)用于右手笛卡爾坐標(biāo)系的單位矢量將點(diǎn)乘和叉乘應(yīng)用于右手笛卡爾坐標(biāo)系的單位矢量i，j，k，有：有：第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2311 令矩陣令矩陣 R稱為正交坐標(biāo)變換矩陣。稱為正交坐標(biāo)變換矩陣。 zyxzyxzyxTaaaooonnnRzyxnnnnzyxoooozyxaaaa當(dāng)用列向量表示單位矢量時(shí)，有當(dāng)用列向量表示單位矢量時(shí)，有zzzyyyxxxaonaonaonaonR于是，變換矩陣于是，變換矩陣R可

8、以表示為：可以表示為：當(dāng)用矩陣表示兩個(gè)矢量的點(diǎn)乘時(shí)，有當(dāng)用矩陣表示兩個(gè)矢量的點(diǎn)乘時(shí)，有0onooonnnononononTzyxzyxzzyyxx第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/23 正交坐標(biāo)變換矩陣正交坐標(biāo)變換矩陣R R的性質(zhì)的性質(zhì) 顯然顯然TTTzyxzyxzyxTaonaaaooonnnR由上式可得由上式可得 從而可得結(jié)論：正交變換矩陣為正交矩陣。從而可得結(jié)論：正交變換矩陣為正交矩陣。 于是可得于是可得IaaoanaaooonoanonnnaonaonRRTTTTTTTTTTTTT1000100011- RRT第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐

9、標(biāo)系統(tǒng)2021/7/23 正交坐標(biāo)變換矩陣的幾何意義正交坐標(biāo)變換矩陣的幾何意義 , 上式可寫成上式可寫成其中其中 kjiRaonT 1- RRT考慮到考慮到aonRkji 上式表明正交坐標(biāo)變換矩陣上式表明正交坐標(biāo)變換矩陣R實(shí)現(xiàn)了由手坐標(biāo)系實(shí)現(xiàn)了由手坐標(biāo)系H到基到基坐標(biāo)系坐標(biāo)系B的正交坐標(biāo)變換，它可以將一組的正交坐標(biāo)變換，它可以將一組3個(gè)相互正交的單個(gè)相互正交的單位矢量變換為另一組位矢量變換為另一組3個(gè)相互正交的單位矢量，每一組單位個(gè)相互正交的單位矢量，每一組單位矢量均代表了一個(gè)正交坐標(biāo)系。這也說(shuō)明了將矩陣矢量均代表了一個(gè)正交坐標(biāo)系。這也說(shuō)明了將矩陣R稱為正稱為正交坐標(biāo)變換矩陣

10、的原因。在機(jī)器人學(xué)中經(jīng)常要用到這種正交交坐標(biāo)變換矩陣的原因。在機(jī)器人學(xué)中經(jīng)常要用到這種正交坐標(biāo)變換。坐標(biāo)變換。第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/23143.2.2 位置的描述位置的描述 一旦建立起一個(gè)坐標(biāo)系，我們就可以用一旦建立起一個(gè)坐標(biāo)系，我們就可以用3 3維的位置矢量來(lái)確維的位置矢量來(lái)確定該空間內(nèi)任一點(diǎn)的位置定該空間內(nèi)任一點(diǎn)的位置 。其中，。其中，x x、y y、z z是是p p點(diǎn)在笛卡爾坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸上坐標(biāo)分量。用這種方法可以點(diǎn)在笛卡爾坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸上坐標(biāo)分量。用這種方法可以很容易地表示出手坐標(biāo)（原點(diǎn)）在基坐標(biāo)系中的空間位置。很容易地表示出手坐標(biāo)（原點(diǎn)）在基

11、坐標(biāo)系中的空間位置。TzyxP 3.2.3 姿態(tài)的描述姿態(tài)的描述 物體的姿態(tài)可由某個(gè)固接在物體上的坐標(biāo)系來(lái)描述。設(shè)在物體的姿態(tài)可由某個(gè)固接在物體上的坐標(biāo)系來(lái)描述。設(shè)在空間中除了有參考坐標(biāo)系空間中除了有參考坐標(biāo)系B B外，還有物體質(zhì)心上的一個(gè)笛卡爾正外，還有物體質(zhì)心上的一個(gè)笛卡爾正交坐標(biāo)系交坐標(biāo)系H H，且，且H H系與此物體的空間位置關(guān)系是固定不變的，那系與此物體的空間位置關(guān)系是固定不變的，那么就可以以么就可以以H H系三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量相對(duì)于系三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量相對(duì)于B B系的方向來(lái)表示系的方向來(lái)表示H H系和系和B B系的姿態(tài)。系的姿態(tài)。 第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)20

12、21/7/2315第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2316 假設(shè)假設(shè) 為為H H坐標(biāo)系中某軸的單位向量，即它在坐標(biāo)系中某軸的單位向量，即它在B B坐標(biāo)系的方坐標(biāo)系的方向可以以向可以以 與與B B系三軸夾角的余弦值為分量加以表達(dá)，見下圖系三軸夾角的余弦值為分量加以表達(dá)，見下圖. .ll 故有故有kjillllcoscoscosjlxyzkBllli 矢量的方向矢徑表示矢量的方向矢徑表示由：由：zyxnnnnzyxoooozyxaaaaaonR 且：且：第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2317 因此正交坐標(biāo)變換矩陣因此正交坐標(biāo)變換矩陣R R為一方向余

13、弦矩陣，也被稱為旋為一方向余弦矩陣，也被稱為旋轉(zhuǎn)矩陣（具體含義將在后面小節(jié)中闡述）。轉(zhuǎn)矩陣（具體含義將在后面小節(jié)中闡述）。 aonaonaoncoscoscoscoscoscoscoscoscosaonR 根據(jù)前面的推導(dǎo)可得：根據(jù)前面的推導(dǎo)可得：當(dāng)：當(dāng)：alolnl321,第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2318 采用旋轉(zhuǎn)矩陣來(lái)表示剛體姿態(tài)（方位）采用旋轉(zhuǎn)矩陣來(lái)表示剛體姿態(tài)（方位） ，即由，即由B系的三個(gè)系的三個(gè)單位主矢量相對(duì)于坐標(biāo)系單位主矢量相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)的方向余弦組成：的方向余弦組成： 既表示了剛體既表示了剛體F在在A系中的方位，也描述了系中的方位，也描述了B系在系

14、在A系中系中的姿態(tài)。的姿態(tài)。其中：其中： ),cos(cosABxx xB yB zB xA yA zA 第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/23193.3 運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)表示運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)表示 3.3.1 平動(dòng)的坐標(biāo)表示平動(dòng)的坐標(biāo)表示 設(shè)手坐標(biāo)系設(shè)手坐標(biāo)系H H與基坐標(biāo)系與基坐標(biāo)系B B具具有相同的姿態(tài)，但有相同的姿態(tài)，但H H系坐標(biāo)原系坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)與B B系的原點(diǎn)不重合。用矢系的原點(diǎn)不重合。用矢量量 來(lái)描述來(lái)描述H H系相對(duì)于系相對(duì)于B B系的位系的位置（如右圖所示），稱置（如右圖所示），稱 為為H H系相對(duì)于系相對(duì)于B B系的系的平移矢量平移矢量。如。如果點(diǎn)果點(diǎn)p p在在H H系

15、中的位置為系中的位置為 ，那，那么它相對(duì)于么它相對(duì)于B B系的位置矢量系的位置矢量可由矢量相加得出，即可由矢量相加得出，即Hprrr0稱其為稱其為坐標(biāo)平移方程坐標(biāo)平移方程。0r0rHrprrH0rHxPHzyxHyHzBpr 表示移動(dòng)的坐標(biāo)變換表示移動(dòng)的坐標(biāo)變換第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2320 下面以繞下面以繞z z軸軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 角為例來(lái)角為例來(lái)研究繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)研究繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)某個(gè)角度的表動(dòng)某個(gè)角度的表示法。設(shè)示法。設(shè)H系從系從與與B系相重合的系相重合的位置繞位置繞B系的系的z軸軸轉(zhuǎn)動(dòng)角轉(zhuǎn)動(dòng)角 ，H系系與與B系的關(guān)系如系的關(guān)系如右圖所示。右圖所示。zz3.3.2

16、轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)表示轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)表示 (1) (1) 繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)某個(gè)角度的表示法繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)某個(gè)角度的表示法 naHxxyzHzHyHB,ozz H H系相對(duì)系相對(duì)B B系繞系繞z z軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)zz角的坐標(biāo)關(guān)系角的坐標(biāo)關(guān)系第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2321 若將若將H系的系的3個(gè)單位矢量表示在個(gè)單位矢量表示在B系中，則有：系中，則有： 實(shí)現(xiàn)兩個(gè)坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的矩陣，又叫轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣實(shí)現(xiàn)兩個(gè)坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的矩陣，又叫轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣R，可表示為：可表示為：100a-0cossinzzo0sincoszzn，-1000cossin0sincos,zzzzaonR第三章第三章

17、機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2322同理，可以得出當(dāng)繞同理，可以得出當(dāng)繞X軸旋轉(zhuǎn)時(shí)：軸旋轉(zhuǎn)時(shí)：當(dāng)繞當(dāng)繞Y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)：軸旋轉(zhuǎn)時(shí)： 上面的分析說(shuō)明了上面的分析說(shuō)明了R矩陣可以用來(lái)表示繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，矩陣可以用來(lái)表示繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，這表征了這表征了R矩陣的另一種幾何意義。矩陣的另一種幾何意義。-xxxxaonRcossin0sincos0001,-yyyyaonRcos0sin010sin0cos,第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2323因此寫出三個(gè)基本的旋轉(zhuǎn)矩陣，即分別繞因此寫出三個(gè)基本的旋轉(zhuǎn)矩陣，即分別繞x、y和和z軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)矩陣：矩陣：x y

18、zxyzx y zxyzx y zxyz第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2324 設(shè)設(shè)B系與系與H系的系的z軸相重合，軸相重合，B系繞系繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角軸轉(zhuǎn)動(dòng)角 就得就得H系，系，如下圖所示。如下圖所示。 z(2) (2) 兩個(gè)坐標(biāo)系的投影之間的關(guān)系兩個(gè)坐標(biāo)系的投影之間的關(guān)系xyHy),(HBz z z HxyxA CuP v 矢徑矢徑BPBP在在H H系與系與B B系的投影關(guān)系系的投影關(guān)系OP第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2325已知矢徑已知矢徑 在在H系三軸投影分別為系三軸投影分別為u,v,w。則由上圖可知。則由上圖可知OPzzvuACOCOA

19、xsincos-zzvuycossinwz 由上式可見，由上式可見，R矩陣可以將矢徑在手坐標(biāo)系上的投影矩陣可以將矢徑在手坐標(biāo)系上的投影變換到該矢徑在基坐標(biāo)系上的投影，這表征了變換到該矢徑在基坐標(biāo)系上的投影，這表征了R矩陣的又矩陣的又一種幾何意義。一種幾何意義。-wvuRwvuzyxzzzz1000cossin0sincos于是有于是有（）（）xyHy),( HBz z z HxyxACuP v 矢徑矢徑BPBP在在H H系與系與B B系的投影關(guān)系系的投影關(guān)系O第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2326例例3.1 若從基坐標(biāo)系若從基坐標(biāo)系 (B)到手爪坐標(biāo)系到手爪坐標(biāo)系 (

20、E)的旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為矩陣為 。（。（1）畫出兩坐標(biāo)系的相互方位關(guān)系（不考慮）畫出兩坐標(biāo)系的相互方位關(guān)系（不考慮E的的原點(diǎn)位置）；（原點(diǎn)位置）；（2）如果給出）如果給出OE(E系的原點(diǎn)）在系的原點(diǎn)）在B中的位置矢中的位置矢量為（量為（1，2，2），畫出兩坐標(biāo)系的相對(duì)位姿關(guān)系。），畫出兩坐標(biāo)系的相對(duì)位姿關(guān)系。解：解：xE yE zExB yB zB(1)(2)第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/232727(3) (3) 具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的兩個(gè)矢量的投影之間的關(guān)系具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的兩個(gè)矢量的投影之間的關(guān)系 設(shè)矢量設(shè)矢量 在坐標(biāo)系在坐標(biāo)系Bxy的投影為的投影為u，v，w；將矢量

21、；將矢量 繞繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng) 角，得到矢量角，得到矢量 ，設(shè)矢量，設(shè)矢量 在同一坐標(biāo)系的在同一坐標(biāo)系的投影為投影為x, y, z，如下圖所示。，如下圖所示。 OQzOQPO PO yxHy),(HBzzHxyuPvxQ具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的兩個(gè)矢量投影之間的關(guān)系具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的兩個(gè)矢量投影之間的關(guān)系O第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2328yxHy),(HBzzHxuPvxQ具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的兩個(gè)矢量投影之間的關(guān)系具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的兩個(gè)矢量投影之間的關(guān)系OxyHy),( HBz z z HxyxACuP v 矢徑矢徑BPBP在在H H系與系與B B系的投影關(guān)系系的投影關(guān)系O 如果注意到如

22、果注意到 在在x,y軸的投影相當(dāng)于軸的投影相當(dāng)于 在在 軸的投影，再對(duì)比軸的投影，再對(duì)比6頁(yè)和頁(yè)和9頁(yè)的兩個(gè)圖所示的相同幾何關(guān)系，便可得到與式（）相頁(yè)的兩個(gè)圖所示的相同幾何關(guān)系，便可得到與式（）相同結(jié)果，只是此時(shí)的同結(jié)果，只是此時(shí)的u，v，w與與x，y，z同前面討論的情況的幾何含義同前面討論的情況的幾何含義不同。這時(shí)矩陣不同。這時(shí)矩陣R用來(lái)表示具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的兩個(gè)矢量在同一坐標(biāo)系中用來(lái)表示具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的兩個(gè)矢量在同一坐標(biāo)系中的投影之間的關(guān)系，這表征了的投影之間的關(guān)系，這表征了R矩陣的最后一種幾何意義。矩陣的最后一種幾何意義。 PHHyx ,第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/

23、2329 至此，歸納了至此，歸納了R矩陣的四種幾何意義：矩陣的四種幾何意義：1、實(shí)現(xiàn)了由手坐標(biāo)系、實(shí)現(xiàn)了由手坐標(biāo)系H到基坐標(biāo)系到基坐標(biāo)系B的正交坐標(biāo)變換。的正交坐標(biāo)變換。2、用來(lái)表示繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。、用來(lái)表示繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。3、將矢徑在手坐標(biāo)系上的投影變換到該矢徑在基坐標(biāo)系上、將矢徑在手坐標(biāo)系上的投影變換到該矢徑在基坐標(biāo)系上的投影。的投影。4、表示具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的兩個(gè)矢量在同一坐標(biāo)系中的投影之、表示具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的兩個(gè)矢量在同一坐標(biāo)系中的投影之間的關(guān)系。間的關(guān)系。 這對(duì)于認(rèn)識(shí)這對(duì)于認(rèn)識(shí)R矩陣的本質(zhì)，研究機(jī)器人的坐標(biāo)系統(tǒng)很有矩陣的本質(zhì)，研究機(jī)器人的坐標(biāo)系統(tǒng)很有幫助。幫助。PQHHyx ,第三章第三章

24、 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/23303.3.3 復(fù)合運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)表示復(fù)合運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)表示 基坐標(biāo)系基坐標(biāo)系B和手坐和手坐標(biāo)系標(biāo)系H 的原點(diǎn)不重合，的原點(diǎn)不重合，而且兩坐標(biāo)系的姿態(tài)也而且兩坐標(biāo)系的姿態(tài)也不相同的情況。不相同的情況。 設(shè)設(shè)H相對(duì)于相對(duì)于B的位置的位置矢量為矢量為 ，由，由H H到到B B的坐標(biāo)變換矩陣是的坐標(biāo)變換矩陣是 。 在在H H中有一點(diǎn)中有一點(diǎn)P P ，點(diǎn)，點(diǎn)P P 相對(duì)于相對(duì)于H H 的位置矢量的位置矢量為為 ，如右，如右圖所示。圖所示。Tcbar 0THwvur aonR z zy yx xB BH Hr0rHzHxHyanoPP AuvwHr 表示轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)

25、的坐標(biāo)變換表示轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)的坐標(biāo)變換第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2331Tpzyxr 對(duì)于任意一點(diǎn)對(duì)于任意一點(diǎn)P P在在B B和和H H系中的描述有以下的關(guān)系系中的描述有以下的關(guān)系HprRrr0其中，其中，是是 p 點(diǎn)相對(duì)點(diǎn)相對(duì)于于B B系的位置矢量。系的位置矢量。 至此，我們由淺入深地介紹了物體的基本宏觀運(yùn)動(dòng)在坐標(biāo)系中的表示至此，我們由淺入深地介紹了物體的基本宏觀運(yùn)動(dòng)在坐標(biāo)系中的表示方法，這是我們學(xué)習(xí)機(jī)器人復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的最基本的數(shù)學(xué)工具。在后續(xù)章節(jié)中方法，這是我們學(xué)習(xí)機(jī)器人復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的最基本的數(shù)學(xué)工具。在后續(xù)章節(jié)中會(huì)頻繁地用到。會(huì)頻繁地用到。HcprRrrrr00 再由式

26、再由式(rp ) ，可得復(fù)合變換，可得復(fù)合變換HcrRr 可把上式看成坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)和坐標(biāo)平移的復(fù)合變換。實(shí)際上，規(guī)定一個(gè)過(guò)可把上式看成坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)和坐標(biāo)平移的復(fù)合變換。實(shí)際上，規(guī)定一個(gè)過(guò)渡坐標(biāo)系渡坐標(biāo)系C C，使，使C C的坐標(biāo)原點(diǎn)與的坐標(biāo)原點(diǎn)與H H系重合，而系重合，而C C的姿態(tài)和的姿態(tài)和B B系保持一致。根據(jù)系保持一致。根據(jù)式式（）可得由（）可得由H系到過(guò)渡坐標(biāo)系系到過(guò)渡坐標(biāo)系C的坐標(biāo)變換為的坐標(biāo)變換為其中，其中，是點(diǎn)是點(diǎn)P 在在C中的位置矢量。中的位置矢量。(rp )cr第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2332例例3.2 已知坐標(biāo)系已知坐標(biāo)系B初始位姿與初始位姿與A重合

27、，首先重合，首先B相對(duì)相對(duì)A的的zA軸軸轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)30，再沿，再沿A的的xA軸移動(dòng)軸移動(dòng)10個(gè)單位，并沿個(gè)單位，并沿A的的yA軸移動(dòng)軸移動(dòng)5個(gè)單個(gè)單位。求位置矢量位。求位置矢量 和旋轉(zhuǎn)矩陣和旋轉(zhuǎn)矩陣 。若。若 ,求求 。解：解：第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2333-1000866. 05 . 005 . 0866. 0100030cos30sin030sin30cos)30,(00000zRRAB0510BOAP0562.12098. 9BOABABAPPRP所以有：所以有：最后得：最后得：第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/23343.4 齊次坐標(biāo)變

28、換齊次坐標(biāo)變換 3.4.1 齊次坐標(biāo)的定義和性質(zhì)齊次坐標(biāo)的定義和性質(zhì) 齊次坐標(biāo)的概念 用四個(gè)數(shù)所組成的列向量用四個(gè)數(shù)所組成的列向量 來(lái)表示三維空間中來(lái)表示三維空間中的一點(diǎn)的一點(diǎn) ，這兩個(gè)坐標(biāo)向量之間的關(guān)系是，這兩個(gè)坐標(biāo)向量之間的關(guān)系是: ， ， 則則 稱為三維空間點(diǎn)稱為三維空間點(diǎn) 的的齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo)。通常。通常情況下取情況下取w=1, ,則則 的齊次坐標(biāo)表示為的齊次坐標(biāo)表示為 。 TwzyxU Tcba)(wxa wyb wzc TwzyxTcba)(Tcba)(Tcba)1( 一般說(shuō)來(lái)，以（一般說(shuō)來(lái)，以（N+1)維矢量來(lái)表示維矢量來(lái)表示N維位置矢量，稱為維位置矢量，稱為齊次

29、坐標(biāo)表示法齊次坐標(biāo)表示法。第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/233 齊次坐標(biāo)的性質(zhì)齊次坐標(biāo)的性質(zhì) （1）齊次坐標(biāo)的不唯一性 所謂不唯一性是指某點(diǎn)的齊次坐標(biāo)有無(wú)窮多點(diǎn)，不是所謂不唯一性是指某點(diǎn)的齊次坐標(biāo)有無(wú)窮多點(diǎn)，不是單值確定的。例如單值確定的。例如 是某點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，則是某點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，則 也是該點(diǎn)的齊次坐標(biāo)。也是該點(diǎn)的齊次坐標(biāo)。 TwzyxTwzyx（2）齊次坐標(biāo)的原點(diǎn)和坐標(biāo)軸 根據(jù)齊次坐標(biāo)的定義，齊次坐標(biāo)根據(jù)齊次坐標(biāo)的定義，齊次坐標(biāo) 表示坐表示坐標(biāo)原點(diǎn)，而標(biāo)原點(diǎn)，而 ， ， 分分別表示別表示OX軸、軸、OY軸和軸和OZ軸的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，即表示直角坐軸的無(wú)窮

30、遠(yuǎn)點(diǎn)，即表示直角坐標(biāo)的標(biāo)的OX軸、軸、OY軸和軸和OZ軸。軸。T1000T0001T0010T0100第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2336TwzyxaaaaATwzyxbbbbB TwzyxccccC a= 常量標(biāo)量常量標(biāo)量設(shè)設(shè)TwzyxaaaaaaATwzwzwywywxwxbbaabbaabbaaBA1wwzzyyxxbabababaBATwzyxccccBACwwwxyyxzzxxzyyzzyxbacbabacbabacbabac-,則有則有其中，其中，wzyxaaaaA/222（）（）第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/23373.4.2

31、 齊次變換和齊次矩陣齊次變換和齊次矩陣 在引入齊次坐標(biāo)之后，現(xiàn)在我們來(lái)看如何用齊次坐標(biāo)來(lái)在引入齊次坐標(biāo)之后，現(xiàn)在我們來(lái)看如何用齊次坐標(biāo)來(lái)表示上一節(jié)中所講的內(nèi)容。在上一節(jié)的最后我們?cè)玫芽柋硎旧弦还?jié)中所講的內(nèi)容。在上一節(jié)的最后我們?cè)玫芽栕鴺?biāo)系統(tǒng)表示出了物體的復(fù)合運(yùn)動(dòng)，最后得出了坐標(biāo)系統(tǒng)表示出了物體的復(fù)合運(yùn)動(dòng)，最后得出了 的結(jié)論，它表示了的結(jié)論，它表示了 由到由到 的變換?，F(xiàn)在我們利用齊次坐的變換。現(xiàn)在我們利用齊次坐標(biāo)來(lái)表示出上式：標(biāo)來(lái)表示出上式： HprRrr0Hrpr11010HprrRr11101wvuAwvucbaRzyx第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/233

32、8 A A矩陣稱為矩陣稱為齊次矩陣齊次矩陣（Homogeneous matrix）, ,在機(jī)器在機(jī)器人學(xué)中是個(gè)重要的術(shù)語(yǔ)，它將轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)組合在一個(gè)人學(xué)中是個(gè)重要的術(shù)語(yǔ)，它將轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)組合在一個(gè)4 44 4矩陣中。矩陣中。 其中其中 為為33的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣，的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣， 為為13的零的零陣陣 ， 為表示移動(dòng)的為表示移動(dòng)的31的列陣。接下來(lái)我們將的列陣。接下來(lái)我們將利用齊次矩陣來(lái)表示物體的運(yùn)動(dòng)。利用齊次矩陣來(lái)表示物體的運(yùn)動(dòng)。 33R310Tcba103133cbRaA式中式中旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣平移矢量平移矢量透視變量透視變量比例因子比例因子齊次矩陣齊次矩陣齊次矩陣用途很廣，更一般形式為：齊次矩陣用途很廣

33、，更一般形式為：第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/233 利用齊次矩陣表示平移變換 設(shè)向量設(shè)向量 ，要和向量要和向量 相加得相加得V，即，即 （）（）TwzyxU Tcbakcjbi aP1PUV欲求一變換矩陣欲求一變換矩陣H，使得，使得U經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)H變換之后變成向量變換之后變成向量V，即，即 （）（）考慮到式考慮到式（）（）和式和式（）（）等效，根據(jù)式（）可知等效，根據(jù)式（）可知UcbaTransV),( 平移變換就是用于兩個(gè)向量的相加。平移變換就是用于兩個(gè)向量的相加。第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2340 此變換矩陣有一性質(zhì)就是

34、它的每一個(gè)元素乘上一個(gè)非此變換矩陣有一性質(zhì)就是它的每一個(gè)元素乘上一個(gè)非零的元素后不會(huì)改變這個(gè)變換。零的元素后不會(huì)改變這個(gè)變換。 wzyxcbawcwzbwyawxwzcwybwxaPUV100010001000111000100010001),(cbacbaTransH由此可知得由此可知得第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/234 利用齊次矩陣表示旋轉(zhuǎn)變換 根據(jù)直角坐標(biāo)和齊次坐標(biāo)的關(guān)系，易得繞根據(jù)直角坐標(biāo)和齊次坐標(biāo)的關(guān)系，易得繞X，Y，Z軸軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的相應(yīng)旋轉(zhuǎn)變換是旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的相應(yīng)旋轉(zhuǎn)變換是 -10000cossin00sincos00001),(XR

35、ot-10000cos0sin00100sin0cos),(YRot-1000010000cossin00sincos),(ZRot第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2342 中中P31為零矩陣，即為零矩陣，即 ，因此寫出繞因此寫出繞x，y和和z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角的基本齊次變換矩陣為：角的基本齊次變換矩陣為： 中中R33=I33（單位陣），因此可以單位陣），因此可以寫出沿寫出沿x，y和和z軸移動(dòng)軸移動(dòng)Px，Py和和Pz單位的基本平移變換陣：?jiǎn)挝坏幕酒揭谱儞Q陣：第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2343例如，已知一個(gè)向量例如，已知一個(gè)向量U繞繞Z軸旋轉(zhuǎn)軸

36、旋轉(zhuǎn)90變成變成V，則用旋，則用旋轉(zhuǎn)矩陣表示為轉(zhuǎn)矩陣表示為UZRotV)90,(0UXRotYRotV)90,()60,(00如，一個(gè)向量如，一個(gè)向量U 先后繞先后繞X、Y軸分別旋轉(zhuǎn)軸分別旋轉(zhuǎn)90、60得到得到V，用旋轉(zhuǎn)矩陣表示為，用旋轉(zhuǎn)矩陣表示為第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/234 利用齊次矩陣表示旋轉(zhuǎn)加平移變換 把上述兩種變換結(jié)合起來(lái)用齊次矩陣表示，這時(shí)的把上述兩種變換結(jié)合起來(lái)用齊次矩陣表示，這時(shí)的齊次變換矩陣就是齊次變換矩陣就是-10000cossin00sincos000011000100010001),(),(cbaXRotcbaTransH

37、-1000cossin0sincos0001cba第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2345可見，在齊次變換矩陣中旋轉(zhuǎn)矩陣可見，在齊次變換矩陣中旋轉(zhuǎn)矩陣 和和表示平移的列陣表示平移的列陣 確實(shí)是分離的。確實(shí)是分離的。-1000cossin0sincoszzzz1cba)90,()90,()90,()90,(0000XRotYRotYRotXRot注意，一般情況下注意，一般情況下第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/234 利用齊次矩陣表示手的轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng) 手的轉(zhuǎn)動(dòng)可以表示為繞手的轉(zhuǎn)動(dòng)可以表示為繞X X軸的側(cè)擺軸的側(cè)擺 ，繞，繞Y Y軸的軸的

38、俯仰俯仰 和繞和繞Z Z軸橫滾軸橫滾 ，依次構(gòu)成的復(fù)合轉(zhuǎn)，依次構(gòu)成的復(fù)合轉(zhuǎn)動(dòng)，采用簡(jiǎn)化符號(hào)動(dòng)，采用簡(jiǎn)化符號(hào) ，則有，則有),(xXRot),(yYRot),(zZRot),(xyzRPYsincos,sc-100000000001100000001000100001000000 xxxxyyyyzzzzcssccssccssc),(),(),(),(xyzXYZXRotYRotZRotRPY第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2347 上式表示了手的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。如果手除了轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)以上式表示了手的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。如果手除了轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)以外還可做移動(dòng)運(yùn)動(dòng)，只需將上式中齊次矩陣的第外還可做移

39、動(dòng)運(yùn)動(dòng)，只需將上式中齊次矩陣的第4 4列用表列用表示移動(dòng)的矩陣塊示移動(dòng)的矩陣塊 來(lái)代替，便可得到包括來(lái)代替，便可得到包括3 3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)和個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)和3 3個(gè)平動(dòng)的個(gè)平動(dòng)的6 6自由度運(yùn)動(dòng)的齊次矩陣。自由度運(yùn)動(dòng)的齊次矩陣。Tcba1-1000000 xyxyyxzxyzxzxyzyzxzxyzxzxyzyzccscssccssccssscssscsccsssccc),(),(),(),(xyzXYZXRotYRotZRotRPY第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/23483.4.3 齊次變換的性質(zhì)齊次變換的性質(zhì) 變換過(guò)程的相對(duì)性相對(duì)變換 前面所介紹的所有旋轉(zhuǎn)和平移變

40、換都是相對(duì)于參考坐標(biāo)前面所介紹的所有旋轉(zhuǎn)和平移變換都是相對(duì)于參考坐標(biāo)系系B B系而言的。例如系而言的。例如 上述的變換過(guò)程是：上述的變換過(guò)程是：手坐標(biāo)系手坐標(biāo)系H首先繞著基坐標(biāo)系首先繞著基坐標(biāo)系B旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) ，然后平移，然后平移 。這種變換的順序是。這種變換的順序是從右向左從右向左進(jìn)進(jìn)行的。行的。 這樣的過(guò)程也可以以相反的順序進(jìn)行，即從左向右進(jìn)行。這樣的過(guò)程也可以以相反的順序進(jìn)行，即從左向右進(jìn)行。此時(shí)可以理解為首先手坐標(biāo)系此時(shí)可以理解為首先手坐標(biāo)系H在基坐標(biāo)系在基坐標(biāo)系B 中平移中平移 然后繞當(dāng)前的手坐標(biāo)系然后繞當(dāng)前的手坐標(biāo)系H的的 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn) 。 ),(),(XRotcbaTransH kc

41、jbi akcjbi aHX第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2349一般的變換過(guò)程可以分兩種情況：一般的變換過(guò)程可以分兩種情況： (1) 如果我們用一個(gè)描述平移和（或）旋轉(zhuǎn)的變換如果我們用一個(gè)描述平移和（或）旋轉(zhuǎn)的變換C，左左乘一個(gè)坐標(biāo)系的變換乘一個(gè)坐標(biāo)系的變換T，那么產(chǎn)生的平移和（或）旋轉(zhuǎn)，那么產(chǎn)生的平移和（或）旋轉(zhuǎn)就是相對(duì)于就是相對(duì)于靜止坐標(biāo)系靜止坐標(biāo)系進(jìn)行的。進(jìn)行的。(2) 如果我們用一個(gè)描述平移和（或）旋轉(zhuǎn)的變換如果我們用一個(gè)描述平移和（或）旋轉(zhuǎn)的變換C，右右乘一個(gè)坐標(biāo)系的變換乘一個(gè)坐標(biāo)系的變換T，那么產(chǎn)生的平移和（或）旋，那么產(chǎn)生的平移和（或）旋轉(zhuǎn)就是相對(duì)于轉(zhuǎn)

42、就是相對(duì)于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系進(jìn)行的。進(jìn)行的。第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2350相對(duì)于固定坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)相對(duì)于固定坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)相對(duì)于活動(dòng)坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)相對(duì)于活動(dòng)坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/235 變換過(guò)程的可逆性逆變換 在機(jī)器人學(xué)中很多時(shí)候要用到齊次變換矩陣的逆陣，下面我們將推導(dǎo)在機(jī)器人學(xué)中很多時(shí)候要用到齊次變換矩陣的逆陣，下面我們將推導(dǎo)齊次變換矩陣的逆陣求法。齊次變換矩陣的逆陣求法。-10R-0T1rRAT由此可見由此可見111010HHprArrRr將上兩式表示成矩陣的形式，即將上兩式表示成矩陣的形式，即-1110R

43、-110TppTHrArrRrpTTHrRrRr-0由公式由公式易得易得HprRrr0第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/235 變換過(guò)程的封閉性-變換方程的建立 在解機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，要經(jīng)常解變換方程。在這些變?cè)诮鈾C(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，要經(jīng)常解變換方程。在這些變換方程里，一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)往往要用兩種或多種方式來(lái)描述。換方程里，一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)往往要用兩種或多種方式來(lái)描述。 （1） 機(jī)器人機(jī)器人 變換變換Z Z：參考坐標(biāo)系：參考坐標(biāo)系U U 基坐標(biāo)系基坐標(biāo)系B B 變換變換A A：基坐標(biāo)系：基坐標(biāo)系B B 手坐標(biāo)系手坐標(biāo)系H H 變換變換E E：手坐標(biāo)系

44、：手坐標(biāo)系H H 加工工具加工工具T T（2 2） 變位機(jī)變位機(jī) 變換變換P P：參考坐標(biāo)系：參考坐標(biāo)系U U 變位機(jī)變位機(jī)V V 變換變換Q Q：變位機(jī)：變位機(jī)V V 被加工件被加工件W WBUHAEPQWT 操作機(jī)坐標(biāo)系及變換過(guò)程分析操作機(jī)坐標(biāo)系及變換過(guò)程分析ZV第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2353 這種聯(lián)系亦可由一有向變換圖表示，見右圖。這種聯(lián)系亦可由一有向變換圖表示，見右圖。 右圖中每一段弧表示一右圖中每一段弧表示一個(gè)變換，由參考坐標(biāo)系向外個(gè)變換，由參考坐標(biāo)系向外指向，封閉于物體的某一個(gè)指向，封閉于物體的某一個(gè)點(diǎn)。由于變換點(diǎn)。由于變換Z-A-EZ-A-E與與

45、P-QP-Q具具有相同的起點(diǎn)與終點(diǎn)，故有有相同的起點(diǎn)與終點(diǎn)，故有 PQZAE 如果我們希望解上述方程，求出變換如果我們希望解上述方程，求出變換A A ，就必須對(duì)方程左乘，就必須對(duì)方程左乘 ，然，然后右乘后右乘 ，得到，得到 實(shí)際上，可以從封閉的向變換圖的任一變換開始列變換方程。從某一實(shí)際上，可以從封閉的向變換圖的任一變換開始列變換方程。從某一變換弧開始，順箭頭方向?yàn)檎较?，逆箭頭方向?yàn)槟孀儞Q，一直連續(xù)列寫變換弧開始，順箭頭方向?yàn)檎较?，逆箭頭方向?yàn)槟孀儞Q，一直連續(xù)列寫到相鄰于該變換弧為止（但不再包括該起點(diǎn)變換），如果包括該起點(diǎn)變換，到相鄰于該變換弧為止（但不再包括該起點(diǎn)變換），如果包括該起點(diǎn)變

46、換，則得到一個(gè)單位變換。則得到一個(gè)單位變換。1-Z1-E11-PQEZA變換過(guò)程的封閉性變換過(guò)程的封閉性ZQPEA第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/235 旋轉(zhuǎn)變換通式旋轉(zhuǎn)變換通式一一.旋轉(zhuǎn)變換通式旋轉(zhuǎn)變換通式 如果不是單位如果不是單位矢量，要化為矢量，要化為單位矢量單位矢量令令 是過(guò)是過(guò)A系原點(diǎn)的單位矢量，求繞系原點(diǎn)的單位矢量，求繞K旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角到角到B系的旋轉(zhuǎn)矩陣系的旋轉(zhuǎn)矩陣R(K,)，即即 。第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2355因此因此將上式展開得將上式展開得第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2356把

47、上式右端相乘，并利用旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性質(zhì)把上式右端相乘，并利用旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)整理后得進(jìn)行化簡(jiǎn)整理后得其中，其中，s=sin;c=cos;Vers=(1-cos)。 如果如果 與坐標(biāo)軸重合，則可得到繞與坐標(biāo)軸重合，則可得到繞x,y和和z軸旋轉(zhuǎn)的基本旋轉(zhuǎn)矩陣。軸旋轉(zhuǎn)的基本旋轉(zhuǎn)矩陣。-cVerskkskVerskkskVerskkskVerskkcVerskkskVerskkskVerskkskVerskkcVerskkkRzzxzyyzxxyzyyzyxyxzzxyxx),(例：求繞過(guò)原點(diǎn)的軸線例：求繞過(guò)原點(diǎn)的軸線 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)1200的旋轉(zhuǎn)矩陣的旋轉(zhuǎn)矩陣 第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人

48、坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2357二二. 等效轉(zhuǎn)軸與等效轉(zhuǎn)角等效轉(zhuǎn)軸與等效轉(zhuǎn)角對(duì)于給定的旋轉(zhuǎn)矩陣對(duì)于給定的旋轉(zhuǎn)矩陣R令令R=R(K,)，得得 任何一組經(jīng)過(guò)有限次基本旋轉(zhuǎn)變換后的復(fù)合旋轉(zhuǎn)總可以等任何一組經(jīng)過(guò)有限次基本旋轉(zhuǎn)變換后的復(fù)合旋轉(zhuǎn)總可以等效成繞某一過(guò)原點(diǎn)的軸線轉(zhuǎn)效成繞某一過(guò)原點(diǎn)的軸線轉(zhuǎn)角的單一旋轉(zhuǎn)。角的單一旋轉(zhuǎn)。第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2358將方程兩邊的主對(duì)角線元素分別相加，得將方程兩邊的主對(duì)角線元素分別相加，得于是可得：于是可得：再把方程兩邊的非對(duì)角元素成對(duì)相減得：再把方程兩邊的非對(duì)角元素成對(duì)相減得：將上式兩邊平方后再相加得：將上式兩邊平方后再相加得：第三章第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)2021/7/2359于是：于是：兩點(diǎn)注意兩點(diǎn)注意:K和和的值不唯一。實(shí)際上，對(duì)于任意一組的值不唯一。實(shí)際上，對(duì)于任意一組K和和，都對(duì)應(yīng)另一組都對(duì)應(yīng)另一組-K和和-，(K,) 和和(k,