函數(shù)周期性分類解析以及習(xí)題練習(xí)名師制作優(yōu)質(zhì)教學(xué)資料

1、函數(shù)周期性分類解析一定義 ：若 T 為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使 f ( xT )f ( x) 恒成立則 f(x) 叫做周期函數(shù)，T 叫做這個函數(shù)的一個周期。二重要結(jié)論1、 f xf xa ，則 yfx 是以 T a 為周期的周期函數(shù)；2、 若函數(shù) y=f(x) 滿足 f(x+a)=-f(x)(a>0),則 f(x) 為周期函數(shù)且 2a 是它的一個周期。3fx afx a，則f x是以 T2a 為周期的周期函數(shù)、 若函數(shù)4、 y=f(x) 滿足 f(x+a) =1f(a>0),則 f(x) 為周期函數(shù)且 2a 是它的一個周期。x5、若函數(shù) y=f(x) 滿足 f(x+a)

2、=1(a>0),則 f(x) 為周期函數(shù)且 2a 是它的一個周期。fx6、 f ( xa)1f (x) ，則 fx是以 T2a 為周期的周期函數(shù) .1f (x)7、 f ( xa)1f ( x) ，則 fx 是以 T4a 為周期的周期函數(shù) .1f ( x)1f ( x)8、 若函數(shù) y=f(x) 滿足 f(x+a) =(x R，a>0),則 f(x) 為周期函數(shù)且 4a 是它的一個周期。1f ( x)9、 若函數(shù) y=f(x) 的圖像關(guān)于直線x=a,x=b(b>a) 都對稱 ,則 f(x) 為周期函數(shù)且 2（ b-a）是它的一個周期。10、函數(shù) yf ( x)xR 的圖象關(guān)于

3、兩點A a, y0 、 B b, y0a b 都對稱，則函數(shù)f (x) 是以 2 b a為周期的周期函數(shù)；11、函數(shù) yf (x)xR 的圖象關(guān)于 A a, y0 和直線 x b ab 都對稱，則函數(shù) f (x)是以4 ba 為周期的周期函數(shù)；12、若偶函數(shù)y=f(x) 的圖像關(guān)于直線x=a 對稱，則 f(x)為周期函數(shù)且2 a 是它的一個周期。13、若奇函數(shù)y=f(x) 的圖像關(guān)于直線x=a 對稱，則 f(x)為周期函數(shù)且4 a 是它的一個周期。14、若函數(shù)y=f(x) 滿足 f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),則 f(x)為周期函數(shù) ,6a 是它的一個周期。T15、若奇函

4、數(shù)y=f(x) 滿足 f(x+T)=f(x) (x R，T 0),則 f()=0.2三、典例講解例 1（05.福建 12） f (x) 是定義在R 上的以 3 為周期的奇函數(shù)，且f (2)0 在區(qū)間（ 0， 6）內(nèi)解的個數(shù)的最小值是（）A6B7C4D 5例 2. 設(shè)函數(shù)f (x) 的定義域為R，且對任意的x，y 有 f (xy)f ( xy)2 f ( x)f ( y) ，并存在正實數(shù)c，使 f ( c )0 。試問 f (x) 是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個周期；若2不是，請說明理由。例 3. 已知 f ( x) 是定義在R 上的函數(shù)，且滿足：f ()x2 (1f x)1f (x) ，f

5、 (1)1997 ，求 f (2001) 的值。例 4.（ 2009 江西卷文）已知函數(shù)f ( x) 是 (, ) 上的偶函數(shù)，若對于x0 ，都有f ( x2） f ( x) ，且當(dāng) x 0, 2) 時， f ( x)log2 (x1），則 f ( 2008)f (2009) 的值為（）A 2B 1C 1D 2例 5.（天津卷05）設(shè) f( x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且y=f (x)的圖象關(guān)于直線x1 對稱，2則 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= _例 6（ 07 安徽）定義在 R上的函數(shù) f ( x) 既是奇函數(shù)， 又是周期函數(shù)， T 是它的一個正周期

6、 .若將方程 f ( x) 0在閉區(qū)間T,T上的根的個數(shù)記為n ，則 n 可能為（）A.0B.1C.3D.5四、鞏固練習(xí)1. 已知偶函數(shù) f ( x) 是以 2 為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x0,1 時， f (x)2x1 ，則f (log 2 10) 的值為A.3B. 8C.3D . 555832 設(shè)函數(shù) f (x) 是定義在 R 上的奇函數(shù)，對于任意的xR ，都有 f (x1)1f (x) ，1f (x)當(dāng) 03 知f ( x)x 1時， f ( x)2x ，則 f (11.5)f ( x) 是 定 義 在 實 數(shù) 集 R 上 的 函 數(shù) ， 滿 足 f ( x21 求 x 2,0 時， f (

7、 x) 的表達(dá)式；2x x .2)f ( x )， 且 x0, 2時，2 證明 f (x) 是 R 上的奇函數(shù)4.（ 05 朝陽模擬）已知函數(shù)f ( x) 的圖象關(guān)于點3,0 對稱，且滿足 f (x)f ( x3 ) ，42又 f ( 1)1， f (0)2 ，求 f (1)f (2)f (3)f (2006) 的值高三數(shù)學(xué)恒成立問題的類型及求解策略恒成立問題， 涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象， 滲透著換元、 化歸、 數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，也為歷年高考的一個熱點。現(xiàn)將高中數(shù)學(xué)中常見的恒成立問題進行歸類和探討。一、 一次函數(shù)型：給定一次函數(shù) y=f(

8、x)=ax+b(a 0),若 y=f(x) 在 m,n 內(nèi)恒有 f(x)>0 ，則根據(jù)函數(shù)的圖象 （直線）可得上述結(jié)論等價于a0a0f ( m)0）或）亦可合并定成f (m)0f (n)0f ( n)0f (m)0同理，若在 m,n 內(nèi)恒有 f(x)<0 ，則有f (n)0例1、對于滿足 |p|2 的所有實數(shù)p,求使不等式x2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范圍。二、 二次函數(shù)型a0若二次函數(shù)y=ax 2+bx+c=0(a 0)大于 0 恒成立，則有0若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識求解。例2 定義在R 上的減函數(shù)f 1

9、kxx2f k2f x ，如果不等式組對任何f 3kx1f 1kxx 2x0,1 都成立，求 k 的取值范圍。例 3關(guān)于 x 的方程 9x+(4+a)3 x+4=0 恒有解，求a 的范圍。三、 變量分離型若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊， 則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。例 4 已知當(dāng) xR 時，不等式a+cos2x<5-4sinx+5a4 恒成立，求實數(shù)a 的取值范圍。例 5若不等式111.1> m 對于大于1 的一切自然數(shù)n 都成立 , 求n1n 2n 32n24自然

10、數(shù) m 的最大值 , 并證明所得結(jié)論。四、 直接根據(jù)圖象判斷若把等式或不等式進行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。 尤其對于選擇題、 填空題這種方法更顯方便、 快捷。 2五根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性等性質(zhì)例 7 若 f(x)=sin(x+ )+cos(x- )為偶函數(shù)，求的值。六利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問題例 8 已知函數(shù) f （ x） = ax3 3x21(xR) ，其中 a>0.2（）若a=1，求曲線y=f （ x）在點（ 2， f （ 2）處的切線方程；（）若在區(qū)間1 , 1上， f （ x） >0 恒成立，求 a

11、 的取值范圍 .22函數(shù)的對稱性與周期性一 函數(shù)的對稱性（一）函數(shù)圖象的自對稱所謂函數(shù)圖象的自對稱是指一個函數(shù)圖象的對稱(中心對稱或軸對稱)圖象是其本身 .關(guān)于函數(shù)圖象的自對稱,有下列性質(zhì) :1、奇函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，反之亦然。2、二次函數(shù) yax 2bx c (a 0) 的圖象關(guān)于直線對稱。3、三角函數(shù) ysin x 的圖象關(guān)于直線對稱，它也有對稱中心是；yc o sx 的圖象的對稱軸是，對稱中心是。4、函數(shù)y fx 若對于定義域內(nèi)任意一個x 都有 f a xf b x，則其圖象關(guān)于直線對稱。5、函數(shù) yfx 若對于定義域內(nèi)任意一個x 都有 f axfaxb ，則其圖象關(guān)于點對稱。6、曲線 yfx關(guān)于直線 xa 與 xb （ a b ）對稱，則 yfx 是周期函數(shù)且周期為2 ba（二）函數(shù)圖象的互對稱所謂函數(shù)圖象的互對稱是指兩個函數(shù)圖象的上的點一一對應(yīng)，且對應(yīng)點相互對稱 （中心對稱或軸對稱） 。關(guān)于函數(shù)圖象的互對稱 ,有下列性質(zhì) :1、互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；反之，。2、函數(shù) yfx與函數(shù) y2bfx的圖象關(guān)于直線對稱。3、函數(shù) yfax 與函數(shù) yfbx的圖象關(guān)于直線對稱。4、函數(shù) yfx與函數(shù) y2kf2hx的圖象關(guān)于點對稱。二 函數(shù)的周期性如果函數(shù) yf(x) 對于定義域內(nèi)任意的x，存在一個不等于0 的常數(shù) T，使得