金融工程學(第八章).

1、第八章第八章 布萊克布萊克-舒爾斯舒爾斯-默頓默頓期權定價模型期權定價模型一、股票價格的變化過程 已知執(zhí)行價格、期權有效期、無風險利率和標的資產收益的情況下，期權價格變化的唯一來源就是股票價格的變化，股票價格是影響期權價格的最根本因素。要研究期權的價格，首先必須研究股票價格的變化規(guī)律，然后并以此為依據給期權定價。 1、布朗運動（Brownian Motion）：起源于英國植物學家布朗對水杯中的花粉粒子的運動軌跡的描述。在數學中，我們用維納過程描述布朗運動。 對于標準布朗運動來說，設 代表一個小的時間間隔長度， 代表變量z在 時間內的變化，遵循標準布朗運動的 具有兩種特征： 特征1： 和 的關系

2、滿足 ，其中， 代表從標準正態(tài)分布。 特征2：任何兩個不同時間間隔 ， 相互獨立。tztzztzt tz 2、使用布朗運動刻畫股票價格運動的原因 (i) 正態(tài)分布：經驗事實證明，股票價格的連續(xù)復利收益率近似地服從正態(tài)分布。 (ii) 數學上可以證明，具備特征 1 和 2 的維納過程是馬爾可夫過程，從而與弱式效率市場假說相符。 (iii) 維納過程在數學上對時間處處不可導和二次變分（ Quadratic Variation ）不為零的性質，與股票收益率在時間上存在轉折尖點等性質也是相符的。 3、普通布朗運動 遵循普通布朗運動的變量 x 是關于時間和z的動態(tài)過程： ，其中 adt 為確定項，漂移率

3、 a 意味著每單位時間內 x 漂移 a； bdz 是隨機項，代表著對 x 的時間趨勢過程所添加的噪音，使變量 x 圍繞著確定趨勢上下隨機波動，且這種噪音是由維納過程的 b 倍給出的， 稱為方差率，b 稱為波動率。zdxadtbd2b 普通布朗運動的離差形式為 x 具有正態(tài)分布特征，其均值為 ，標準差為 ，方差為 在任意時間長度 T 后 x 值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為 aT ，標準差為 ，方差為 標準布朗運動為普通布朗運動的特例。xa tbt a tb t 2tb b T2b T 4、伊藤過程 其中，z 是標準布朗運動， a 、 b 是變量 x 和 t 的函數，漂移率為 a ，方差率為

4、 。 幾何布朗運動： ，其中 和 均為常數。 000,ttdxa x t dtb x t dzx txadsbdz2bdSSdtSdz 一般用幾何布朗運動來描述股票價格的隨機過程，原因在于 (i) 可以避免股票價格為負。 (ii) 幾何布朗運動意味著股票連續(xù)復利收益率服從正態(tài)分布，這與實際較為吻合。 5、伊藤引理 若變量 x 遵循伊藤過程，則變量 x 和 t 的函數 G 將遵循如下過程： 其中，z是標準布朗運動。 由于衍生產品價格是標的資產價格和時間的函數，因此伊藤引理在衍生產品分析中扮演重要的角色。22212GGGGdGabdtbdzxtxx 例：假設變量 S 服從幾何布朗運動 令 ，則運用

5、伊藤引理可得 G所遵循的隨機過程為 練習：若無收益標的資產S服從幾何布朗運動，則該標的資產的期貨價格F遵循怎樣的隨機過程？dSSdtSdzlnGS2ln2dGdSdtdz 6、股票價格的變化過程 股票價格服從幾何布朗運動 ，意味著 幾何布朗運動具有如下性質： (i) S 不會為負。 (ii) 股票連續(xù)復利收益率服從正態(tài)分布。dSSdtSdz2ln2dGdSdtdz T t 期間年化的連續(xù)復利收益率可以表示 可知隨機變量 服從正態(tài)分布lnlnTSSTt22,2NTt 股票價格的對數服從普通布朗運動，特定時刻的股票價格服從對數正態(tài)分布。2222222lnln,()2lnln,()21TTtT tT

6、T tT tTSSNTtTtSNSTtTtE SSeVar SS ee 例：設 A 股票的當前價格為 50 元，預期收益率為每年18% ，波動率為每年 20% ，假設該股票價格遵循幾何布朗運動且該股票在 6 個月內不付紅利。請問該股票 6 個月后的價格 的概率分布如何？A 股票在 6 個月后股票價格的期望值和標準差分別是多少？TS 7、衍生證券價格所服從的隨機過程 當股票價格服從幾何布朗運動 根據伊藤引理，衍生證券價格 G 應遵循如下過程： 衍生證券價格 G 和股票價格 S 都受同一個不確定性來源 z 的影響。dSSdtSdz222212GGGGdGSSdtSdzStSS二、BSM期權定價公式

7、 1、模型假設 證券價格遵循幾何布朗運動，即 和 為常數； 允許賣空標的證券； 沒有交易費用和稅收，所有證券都是完全可分的； 衍生證券有效期內標的證券沒有現(xiàn)金收益支付； 不存在無風險套利機會； 證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的； 衍生證券有效期內，無風險利率 r 為常數。 2、 BSM 微分分程的推導 由于假設股票價格 S 遵循幾何布朗運動，因此有 在一個小的時間間隔 t 中， S 的變化值 S 為： 設 f 是依賴于 S 的衍生證券的價格，則 f 一定是 S 和t 的函數，根據伊藤引理可得dSSdtSdzSS tS z 在一個小的時間間隔 t 中， f 的變化值 f 滿足： 為了消除風險

8、源 z ，可以構建一個包括一單位衍生證券空頭和 單位標的證券多頭的組合。222212ffffdfSSdtSdzStSS222212fffffSStS zStSS fS 令 代表該投資組合的價值，則 在 t 時間后，該投資組合的價值變化 為 代入 f 和 S 可得 由于消除了風險，組合 必須獲得無風險收益，即ffSS ffSS 222212ffSttS rt 因此 化簡可得 這就是著名的 BSM 微分分程，它適用于其價格取決于標的證券價格 S 的所有衍生證券的定價。222212fffStrfSttSS 222212fffrSSrftSS 3、風險中性定價原理 觀察 BSM 微分方程可以發(fā)現(xiàn)，受制

9、于主觀的風險收益偏好的標的證券預期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。這意味著，無論風險收益偏好狀態(tài)如何，都不會對 f 的值產生影響。 因此我們可以作出一個假設：在對衍生證券定價時，所有投資者都是風險中性的。這就大大簡化了衍生品定價過程。 在所有投資者都是風險中性的條件下，所有證券的預期收益率都等于無風險利率 r，因為風險中性的投資者并不需要額外的收益來吸引他們承擔風險。同樣，在風險中性條件下，所有現(xiàn)金流都應該使用無風險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。 4、無收益資產歐式看漲期權的定價公式 在風險中性世界中，無收益資產歐式看漲期權到 期回報(T 時刻)的期望值為 其中 表示風險中性條件下的期望值。

10、 相應地歐式看漲期權的價格 c 等于max,0TESXmax,0r T tTceESXE 由于在風險中性世界中 積分可得 其中22lnln,()2TSNSrTtTt12r T tcSN dXeN d21221ln/ 2ln/ 2SXrTtdTtSXrTtddTtTt (i) 是在風險中性世界中 大于 X 的概率，即歐式看漲期權被執(zhí)行的概率，因此 可以看成預期執(zhí)行期權所需支付的現(xiàn)值。 ，則是在風險中性世界里，一個如果 就等于 ，否則就等于 0 的隨機變量的期望值， 則是這個值的貼現(xiàn)值，可看成期權持有者預期執(zhí)行期權所得收入的現(xiàn)值。 因此整個看漲期權定價公式就是在風險中性世界里期權未來期望回報的現(xiàn)值

11、。2N dTS2r T tXeN d11r T tTeSN dE SN dTSXTS1SN d (ii) 我們可以用股票和負債復制期權?？梢宰C明， 是構造無風險組合 時的 ，是復制投資組合中股票的數量， 就是股票的市值。而 則是復制交易策略中負債的價值。 由于主要參數都是時變的，因此這種復制策略是動態(tài)復制策略，必須不斷調整相關頭寸數量。 (iii) 從金融工程的角度來看，歐式看漲期權可以分拆成或有資產看漲期權多頭和 X 份或有現(xiàn)金看漲期權空頭之和。1fN dS1SN d2r T tXeN d 5、無收益資產歐式看跌期權的定價公式 根據無收益資產歐式看漲期權和看跌期權的平價關系，有 故r T t

12、cXepS21r T tpXeNdSNd 6、無收益資產美式看漲期權的定價公式 在標的資產無收益情況下， C = c ，因此無收益資產美式看漲期權的定價公式同樣是12r T tCSN dXeN d 7、有收益資產的歐式期權的定價公式 當標的證券已知收益的現(xiàn)值為 I 時，用 (S I) 代替 S 當標的證券的收益為按連續(xù)復利計算的固定收益率 q（單位為年）時，用 代替 S-qeT tS 8、有收益資產的美式看漲期權的定價 先確定提前執(zhí)行美式看漲期權是否合理 若不合理，則按歐式期權方法定價。 若在 提前執(zhí)行可能是合理的，則要分別計算在 T 時刻和 時刻到期的歐式看漲期權的價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權的價格。在大多數情況下，這種近似效果都不錯。ntnt 9、美式看跌期權的定價 美式看跌期權無論標的資產有無收益都有提前執(zhí)行的可能，而且與其對應的看漲期權也不存在精確的平價關系，因此一般通過數值方法來求美式看跌期權的價值。三、BS