人教版必修一求函數(shù)值域的幾種常見方法

1、人教版必修一求函數(shù)值域的幾種常見方法1直接法： 利用常見函數(shù)的值域來求一次函數(shù) y=ax+b(a0) 的定義域?yàn)?R，值域?yàn)?R；反比例函數(shù) yk (k0) 的定義域?yàn)?x|x0 ，值域?yàn)?y|y0 ；x二次函數(shù)f()ax2bx(a0)的定義域?yàn)?R，xc當(dāng) a>0 時(shí)，值域?yàn)?y | y(4acb 2 ) ；當(dāng) a<0 時(shí)，值域?yàn)?y | y( 4acb2 ) .4a4a例 1求下列函數(shù)的值域 y=3x+2(-1x1)f ( x)24x yx y11xxx解： -1x 1， -33x3， -1 3x+2 5，即 -1y5，值域是 -1， 54x0,) f (x) 2,)即函數(shù)f

2、( x)24x 的值域是 y| y2 yxxx 11111x1x110 y1x1即函數(shù)的值域是 y| yR 且 y1 （此法亦稱 分離常數(shù)法 ）當(dāng) x>0， yx1= (x1)222 ，xx當(dāng) x<0 時(shí)， y(x1)=(x1)222xx43值域是 (,22 ，+). （此法也稱為 配方法 ）f x12 2y=x= x+ x1函數(shù) yx1-6-4-2o-1246x的圖像為：-11(最值)：-2-22二次函數(shù)比區(qū)間上的值域-3-4例 2 求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域： y x 2 4x 1； yx24x1, x3,4 ； yx24x1, x0,1 ； yx24 x1, x0,5

3、；解： y x24x1 (x 2) 23 ，頂點(diǎn)為 (2,-3)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.拋物線的開口向上，函數(shù)的定義域R， x=2 時(shí)， ymin=-3 , 無最大值；函數(shù)的值域是 y|y-3 .y3頂點(diǎn)橫坐標(biāo)23,4，21當(dāng) x=3 時(shí)， y= -2； x=4 時(shí)， y=1；-2-1O 12 3 4 5 6 x-1在 3,4 上， ymin =-2 ， ymax =1；值域?yàn)?-2， 1.-2-3頂點(diǎn)橫坐標(biāo)20,1，當(dāng) x=0 時(shí)， y=1； x=1 時(shí)， y=-2,在 0,1 上， ymin=-2 ， ymax =1；值域?yàn)?-2， 1.頂點(diǎn)橫坐標(biāo)20,5，當(dāng) x=0 時(shí)， y=1；x=2 時(shí)，

4、 y=-3, x=5 時(shí)， y=6,在 0,1 上， ymin =-3 ， ymax =6；值域?yàn)?-3， 6.注：對(duì)于二次函數(shù)f( )ax2(a0),xbx c若定義域?yàn)?R時(shí)，當(dāng) a>0 時(shí)，則當(dāng) xb 時(shí)，其最小值 ymin(4ac b 2 ) ；2a4a當(dāng) a<0 時(shí)，則當(dāng) xb 時(shí)，其最大值ymax(4acb 2 ) .2a4a若定義域?yàn)?xa,b,則應(yīng)首先判定其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x0 是否屬于區(qū)間 a,b.若 x0 a,b,則 f (x0 ) 是函數(shù)的最小值（a>0）時(shí)或最大值（ a<0）時(shí)，再比較f (a), f (b) 的大小決定函數(shù)的最大（?。┲?.若 x0

5、a,b,則 a,b是在 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只需比較f (a ),f (b) 的大小即可決定函數(shù)的最大（小）值 .注：若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大（小）值；當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是字母時(shí)，則應(yīng)根據(jù)其對(duì)應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論.3判別式法（法） ：判別式法一般用于分式函數(shù)，其分子或分母只能為二次式，解題中要注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為0 的討論例 3求函數(shù) yx 25x6 的值域x 2x6方法一：去分母得(y1) x2 +(y+5)x6y6=0當(dāng) y1 時(shí) xR =(y+5) 2 +4(y1) × 6(y+1)0由此得(5y+1)20115y5檢驗(yàn)時(shí)x2 （代入求根）5

6、62()5 2定義域 x| x2且 x3 y15再檢驗(yàn) y=1代入求得 x=2 y1綜上所述，函數(shù)yx 25x61 且 y1x2x的值域?yàn)?y| y65方法二：把已知函數(shù)化為函數(shù)y( x2)( x3)x36( x2)( x3)x1(x2)3x 3由此可得 y1 x=2時(shí)y1即 y155函數(shù) yx25x61 且 y1x2的值域?yàn)?y| y5x 6說明：此法是利用方程思想來處理函數(shù)問題，一般稱判別式法 .判別式法一般用于分式函數(shù)，其分子或分母只能為二次式. 解題中要注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為0 的討論 .4換元法例 4求函數(shù)y2x4 1x 的值域解：設(shè)t1x則 t0x=1t 2代入得yf (t )2 (

7、1t 2 )4t2t 24t 2 2(t 1)24 t0 y45分段函數(shù)y例 5求函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域 .2x1(x1)解法 1：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：y3( 1x2) ，畫出它2x1( x2)3-1 O2x的圖象（下圖） ，由圖象可知，函數(shù)的值域是y|y3.解法 2：函數(shù) y=|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)x 到兩定點(diǎn) -1 ， 2 的距離之和，易見y 的最小值是3，函數(shù)的值域是3 ， +.如圖x -1O12-1Ox 12-1O12 x兩法均采用“數(shù)形結(jié)合”，利用幾何性質(zhì)求解，稱為幾何法或圖象法.說明：以上是求函數(shù)值域常用的一些方法（觀察法、配方法、判別式法、圖象法

8、、換元法等），隨著知識(shí)的不斷學(xué)習(xí)和經(jīng)驗(yàn)的不斷積累，還有如不等式法、三角代換法等. 有的題可以用多種方法求解，有的題用某種方法求解比較簡(jiǎn)捷，同學(xué)們要通過不斷實(shí)踐，熟悉和掌握各種解法，并在解題中盡量采用簡(jiǎn)捷解法 .三、練習(xí) ：1y x219( x0)；x2解： x0，y219 ( x1 )211，y11.xx2x另外，此題利用基本不等式解更簡(jiǎn)捷：yx2192911x22y524x32x 2 x2 -4x+3>0 恒成立 ( 為什么？ ) ，函數(shù)的定義域?yàn)?R，原函數(shù)可化為 2y x2-4yx+3y-5=0，由判別式0，即 16 y 2 -4 × 2y(3y-5)=-8y 2 +40

9、y0(y 0),解得 0 y 5，又 y0, 0<y5.注意：利用判別式法要考察兩端點(diǎn)的值是否可以取到.3 求函數(shù)的值域 y x2 x ； y 24x x2解：令 u2x0, 則 x2u 2,原式可化為 y 2u 2u(u1 ) 29,24 u 0， y9 ，函數(shù)的值域是（ -， 9.44解：令 t=4xx20 得 0x4在此區(qū)間內(nèi)(4xx 2) max =4， (4xx 2) min =0函數(shù) y24xx2 的值域是 y| 0y2小結(jié) : 求函數(shù)值域的基本方法（直接法、換元法、判別式法）；二次函數(shù)值域（最值）或二次函數(shù)在某一給定區(qū)間上的值域（最值）的求法.作業(yè)：求函數(shù) y= x 2x1值域x2x1解： x2x1(x