人教版七年級數(shù)學上冊專題復習數(shù)軸上的動點問題講義含部分答案

1、學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考數(shù)軸上的運動問題在講這個問題之前，我們先來看一道行程問題?！绢} 1】甲乙兩地相距 200 米，小明從甲地步行到乙地，用時 3 分鐘，小明的平均速度為多少米每秒？【分析】 這個問題的本質(zhì)，就是把實際生活中的問題剝離出來，抽象成了簡單的數(shù)學問題，很多學生都會解；初學時，老師會畫線段圖，用線段的長度來將兩點間的距離具象化，如下：小明甲地乙地【解法一】 直接利用：速度 = 路程÷時間解決。200 18010（米/秒）910【解法二】 用方程解。設速度為x米 / 秒 ，根據(jù)路程 = 時間×速度，得： 200180x ，解得 x。9如果在線段圖上，用一個具體

2、的數(shù)來表示甲地和乙地，從甲往乙的方向規(guī)定為正方向建立數(shù)軸，這個問題就轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的運動問題了?！绢} 2】如圖，數(shù)軸上有兩點A 、 B，點 A 表示的數(shù)為0 ，點 B 表示的數(shù)為200 ，一只電子螞蟻P從A出發(fā)，以 1個單位每秒的速度由A 往 B 運動，到 B 點運動停止。設運動時間為t。（1）用含t 的代數(shù)式表示電子螞蟻P 運動的距離；（2）用含t 的代數(shù)式表示電子螞蟻P 表示的數(shù)；（3）用含t 的代數(shù)式表示電子螞蟻P 到數(shù) B 的距離。（4）當電子螞蟻運動多少時間后，點P 為線段 AB 的三等分點？【分析】 引入數(shù)軸后，其本質(zhì)是把線段圖換成了帶方向帶單位長度的直線，將有限的實際距離推廣到了無

3、限的距離問題。所以，對于運動的點，處理的核心思想依然是路程 = 速度×時間。其余的點的距離，利用數(shù) 軸上兩點間距離公式解決。（1）根據(jù)路程 = 速度×時間，有：APt ；（2） APt ，故點 P 表示的數(shù)為 t ；（3）點 B 表示的數(shù)為200，點 P 表示的數(shù)為 t ，且 P 在 B 左邊，故PB200t 。（4）若 P 為 AB 的三等分點，有兩種情況： AP=2PB ，即： 2AP=PB ，即：t2 200 t ，解得 t400 秒；32t200 t ，解得 t200 秒；3現(xiàn)在，我們將【題 2】一般化，線段AB 一般化為在數(shù)軸上的一條定長線段，便得到如下的題：【題

4、 3】如圖，數(shù)軸上有兩點A 、B，點 A 表示的數(shù)為a ，點 B 表示的數(shù)為 b ，且數(shù) A 和數(shù) B 的距離為 200個單位長度，一只電子螞蟻P 從 A 出發(fā)，以 1個單位每秒的速度由A 往 B 運動，到 B 點運動停止。設運動時間為 t。（1）用含a 的代數(shù)式表示數(shù)B；（2）用含a 和 t 的代數(shù)式表示電子螞蟻P 表示的數(shù)；學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考（3）用含t 的代數(shù)式表示電子螞蟻P 到數(shù)B 的距離?！痉治觥?一般化后，增加了字母參數(shù)，更加抽象化，難度也上升了，但若嚴格按照邏輯推理進行解題，難度也會有所下降。（1）由數(shù)軸上兩點間距離公式可得：ba200，整理得：b200a ；（

5、2）由路程 =速度×時間得，APt ，即 A 、 P 兩點間的距離為t ；同（ 1）可得，點P 表示的數(shù)為at 。（3）由于數(shù) B數(shù) P，故根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離公式有：BPbata200at200t 。我們發(fā)現(xiàn)，只要線段AB 的長度固定，點P 到 B 的距離跟 A 、B 表示的數(shù)無關。接下來，我們將問題復雜化，變?yōu)殡p動點問題，請看【題 4】?！绢} 4】如圖，數(shù)軸上有兩點A 、 B，點 A 表示的數(shù)為0 ，點 B 表示的數(shù)為 200 ，一只電子螞蟻P 從 A 出發(fā)，以 1個單位每秒的速度由A 往 B 運動，到B 點運動停止；另一電子螞蟻Q 在同一時間從B 出發(fā)，以 2個單位每秒的速度由

6、B 往 A 運動，到 A 點運動停止。設運動時間為t。（1）當電子螞蟻P、 Q 相距40 個單位長度時，求運動時間t；（2）用含t 的代數(shù)式表示兩只電子螞蟻的距離?！痉治觥?本題的實質(zhì)，就是行程問題中的相向運動問題，若用數(shù)軸不好理解，可以借助熟悉的行程問題來輔助理解。（1）在運動的過程中，點P 和點 Q 的位置有三種情況：P 在 Q 的右邊， P 和 Q 重合， P 在 Q 的左邊，故運用兩點間距離公式時，需要加個絕對值號，可以有效避免漏掉情況。另外，Q到A后，Q停止，但 P繼續(xù)往 B 運動，故也得考慮這種情況。 P、 Q 都在運動時，0秒t100秒 時，點 P 表示的數(shù)為 t ，點 Q 表示

7、的數(shù)為2002t ，故 P、 Q 兩點間的距離為2002tt 。根據(jù)題意有：2002tt40 。很自然地需要分類討論，考慮了兩種情況。 Q 停止運動， P 繼續(xù)運動，此時PQ 距離 100，故不符合題意。（2） P 與 Q 相遇之前，即P 在 Q 的左邊，此時有數(shù)Q數(shù) P， 0秒t 200 秒，此時：3PQ2002tt2003t P 與 Q 相遇后， Q 停止運動前，即Q 在 P 的左邊，此時有數(shù)P數(shù) Q， 200 秒t100秒 ，此時：3PQt2002t3t200 Q 停止運動， P 繼續(xù)向 B 運動直至停止，數(shù)Q 為 0，數(shù) P數(shù) Q ， 100秒 t200秒 ，此時：PQt0t學習資料學

8、習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考【提煉】 第（1）問題，利用數(shù)軸上兩點間的距離公式，能有效解決漏掉情況的問題。下面，我們把線段等分點加進來，提升難度，請看【題 5】和【題 6】。其處理的核心，依然是表示出相關的數(shù) ?！绢} 5】如圖，數(shù)軸上有兩點A 、 B，點 A 表示的數(shù)為0 ，點 B 表示的數(shù)為 200 ，一只電子螞蟻P 從 A 出發(fā)，以 1個單位每秒的速度由A 往 B 運動，到B 點運動停止；另一電子螞蟻Q 在同一時間從B 出發(fā)，以 2個單位每秒的速度由B 往 A 運動，到 A 點運動停止。設運動時間為t。（1）當P 為 AQ 中點時，求運動時間t；（2）當Q 為 BP 中點時，求運動時間t?！?/p>

9、分析】 搭上了線段中點，處理方式依然不變，用含t 的代數(shù)式表示出數(shù)Q、數(shù) P，利用兩點間距離公式解題。（1）點 P 表示的數(shù)為 t ，點 Q 表示的數(shù)為 2002t ，若 P 為 AQ 中點，有 AP=PQ ，即： t2002tt ，解得： t50秒；（2）點 P 表示的數(shù)為 t ，點 Q 表示的數(shù)為2002t ，若 Q 為 BP 中點，有 PQ=BQ ，即： 2002tt2t ，解得： t40秒 ?！绢} 6】已知數(shù)軸上A 、 B 兩點對應的數(shù)分別是-2 和 4， P 為原點。若A 、B 、 P 三點分別以1 個單位每秒、4 個單位每秒、2 個單位每秒的速度向右運動，當A、 B、P 三點有其中

10、一點為其余兩點的中點時，求運動的時間。【分析】 按理說有三種情況，A 為 P、 B 中點， B 為 A、 P 中點， P 為 A、 B 中點，但結(jié)合條件，發(fā)現(xiàn)A 不可能為 P、B 中點，故此種情況可以舍去。設運動時間為t，則運動過程中，點A 表示的數(shù)為t-2，點 P 表示的數(shù)為4t，點 B 表示的數(shù)為4+2t 。 B 為 A 、 P 中點，有AB=BP ，即： 4+2t-t+2=4t-4-2t ，解得： t=10 秒； P 為 A、 B 中點，有AP=PB ，即： 4t-t+2=4+2t-4t ，解得： t=0.4 秒；學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考【思考】 線段（直線、射線）上的運動問

11、題，可以轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的運動問題來處理嗎？最后，放幾個題結(jié)束本文?！绢} 1】如圖，數(shù)軸上A 、 B 兩點對應的有理數(shù)分別為-8 和 12，點 P 從原點 O 出發(fā)，以每秒1 個單位長度的速度沿數(shù)軸負方向運動，同時點Q 從原點 O 出發(fā)，以每秒2 個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，運動時間為 t 秒。（1）求經(jīng)過兩秒后，數(shù)軸點P、 Q 分別表示的數(shù)；（2）當 t3 時，求PQ 的值；（3）在運動過程中，是否存在時間t，使得AP=BQ ，若存在，求出t 值；若不存在，說明理由。【題 2】如圖，點 A 、B 和線段 CD 都在數(shù)軸上，點 A 、 C、 D、 B 起始位置所表示的數(shù)分別為 -2,0,3,

12、12；線段 CD 沿數(shù)軸的正方向以每秒 1 個單位的速度移動，移動時間為 t 秒。（1）當 t0 秒時， AC 的長度為；當 t2秒時， AC 的長度為；（2）用含有 t 的代數(shù)式表示AC 的長為（3）當 t秒時， AC BD=5 ，當 t秒時 AC+BD=15 （4）若點 A 與線段 CD 同時出發(fā)沿數(shù)軸的正方向移動，點A 的速度為每秒2 個單位，在移動過程中，是否存在某一時刻使得AC=2BD ，若存在，請求出t 的值；若不存在，請說明理由學習資料學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考【題3】如圖， E 為線段AC 上靠近點A 的三等分點， B 、D 為線段EC 上的兩點，且滿足CD=2BD 。（ 1） 若 DE=6cm ，求線段 AB 的長；（3）若 AC=15cm ， EB=4cm ，動點 P 從 A 點、動點 Q 從 D 點同時出發(fā)，分別以3cm/s、1cm/s 的速度沿直線 AC 向右運動，是否存在某個時刻，使得BP+CQ=AB成立？若存在，求此時PQ 的長度；若不存在，說明理由?！绢} 4】如