三年級(jí)奧數(shù)詳解答案-第十六講-從數(shù)表中找規(guī)律

1、第十六講從數(shù)表中找規(guī)律在前面學(xué)習(xí)了數(shù)列找規(guī)律的基礎(chǔ)上， 這一講將從數(shù)表的角度出發(fā)， 繼續(xù)研究數(shù)列的規(guī)律性。例 1 下圖是按一定的規(guī)律排列的數(shù)學(xué)三角形，請(qǐng)你按規(guī)律填上空缺的數(shù)字 .分析與解答 這個(gè)數(shù)字三角形的每一行都是等差數(shù)列 （第一行除外） ，因此，第 5 行中的括號(hào)內(nèi)填 20，第 6 行中的括號(hào)內(nèi)填 24 。例 2 用數(shù)字?jǐn)[成下面的三角形，請(qǐng)你仔細(xì)觀察后回答下面的問(wèn)題： 這個(gè)三角陣的排列有何規(guī)律？ 根據(jù)找出的規(guī)律寫(xiě)出三角陣的第6 行、第 7 行。 推斷第 20 行的各數(shù)之和是多少？分析與解答首先可以看出， 這個(gè)三角陣的兩邊全由 1 組成；其次，這個(gè)三角陣中，第一行由 1 個(gè)數(shù)組成， 第 2

2、行有兩個(gè)數(shù)第幾行就由幾個(gè)數(shù)組成； 最后，也是最重要的一點(diǎn)是：三角陣中的每一個(gè)數(shù)（兩邊上的數(shù) 1 除外），都等于上一行中與它相鄰的兩數(shù)之和 . 如：2=1+1，3=2+1，4=3+1，6=33。根據(jù)由得出的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)三角陣中第6 行的數(shù)為 1，5，10，10，5，1；第 7 行的數(shù)為 1， 6，15，20， 15，6，1。要求第 20 行的各數(shù)之和，我們不妨先來(lái)看看開(kāi)始的幾行數(shù)。至此，我們可以推斷，第20 行各數(shù)之和為 219。 本題中的數(shù)表就是著名的楊輝三角，這個(gè)數(shù)表在組合論中將得到廣泛的應(yīng)用 例 3 將自然數(shù)中的偶數(shù) 2，4，6，8，10按下表排成 5 列，問(wèn) 2000 出現(xiàn)在哪一

3、列？分析與解答方法 1：考慮到數(shù)表中的數(shù)呈S 形排列，我們不妨把每?jī)尚蟹譃橐唤M，每組 8 個(gè)數(shù)，則按照組中數(shù)字從小到大的順序，它們所在的列分別為 B、C、D、E、D、C、B、A. 因此，我們只要考察 2000 是第幾組中的第幾個(gè)數(shù)就可以了，因?yàn)?2000 是自然數(shù)中的第 1000 個(gè)偶數(shù)，而 1000÷8125，即 2000 是第 125 組中的最后一個(gè)數(shù)，所以， 2000 位于數(shù)表中的第 250 行的 A列。方法 2：仔細(xì)觀察數(shù)表，可以發(fā)現(xiàn)： A 列中的數(shù)都是 16 的倍數(shù)， B 列中數(shù)除以 16 余 2 或者 14， C 列中的數(shù)除以 16 余 4 或 12，D 列的數(shù)除以 16

4、 余 6 或 10，E 列中的數(shù)除以 16 余 8. 這就是說(shuō)，數(shù)表中數(shù)的排列與除以 16 所得的余數(shù)有關(guān)，我們只要考察 2000 除以 16 所得的余數(shù)就可以了，因?yàn)?2000÷16=125，所以 2000 位于 A 列。學(xué)習(xí)的目的不僅僅是為了會(huì)做一道題，而是要學(xué)會(huì)思考問(wèn)題的方法.一道題做完了，我們還應(yīng)該仔細(xì)思考一下，哪種方法更簡(jiǎn)潔，題目主要考察的問(wèn)題是什么這樣學(xué)習(xí)才能舉一反三，不斷進(jìn)步。就例 3 而言，如果把偶數(shù)改為奇數(shù)，2000改為1993 ，其他條件不變，你能很快得到結(jié)果嗎？例4按圖所示的順序數(shù)數(shù)， 問(wèn)當(dāng)數(shù)到1500 時(shí)，應(yīng)數(shù)到第幾列？1993呢？分析與解答方法 1：同例 3

5、 的考慮，把數(shù)表中的每?jī)尚蟹譃橐唤M，則第一組有 9 個(gè)數(shù)，其余各組都只有 8 個(gè)數(shù)。（1500-9 ）÷ 8 1863（19939）÷ 8248所以， 1500 位于第 188 組的第 3 個(gè)數(shù)， 1993 位于第 249 組的最后一個(gè)數(shù)，即 1500 位于第列， 1993 位于第列。方法 2：考慮除以 8 所得的余數(shù) . 第列除以 8 余 1，第列除以 8余 2 或是 8 的倍數(shù)，第列除以 8 余 3 或 7，第列除以 8 余 4 或 6，第列除以 8 余 5；而 1500÷8=187 4， 1993÷8=2491，則 1993 位于第列， 1500

6、位于第列。例 5 從 1 開(kāi)始的自然數(shù)按下圖所示的規(guī)則排列，并用一個(gè)平行四邊形框出九個(gè)數(shù)，能否使這九個(gè)數(shù)的和等于 1993；1143； 1989. 若能辦到，請(qǐng)寫(xiě)出平行四邊形框內(nèi)的最大數(shù)和最小數(shù)；若不能辦到，說(shuō)明理由.分析與解答我們先來(lái)看這九個(gè)數(shù)的和有什么規(guī)律. 仔細(xì)觀察，容易發(fā)現(xiàn)： 12+28 2× 20，13+27=2×20，14+26=2×20，19+21 2 × 20 ，即： 20 是框中九個(gè)數(shù)的平均數(shù) . 因此，框中九個(gè)數(shù)的和等于 20 與 9 的乘積 . 事實(shí)上，由于數(shù)表排列的規(guī)律性，對(duì)于任意由這樣的平行四邊形框出的九個(gè)數(shù)來(lái)說(shuō)，都有這樣的規(guī)律

7、，即這九個(gè)數(shù)的和等于平行四邊形正中間的數(shù)乘以9。 因?yàn)?1993 不是 9 的倍數(shù)，所以不可能找到這樣的平行四邊形， 使其中九個(gè)數(shù)的和等于 1993。1143÷9127，127÷ 8 157. 這就是說(shuō)，如果 1143 是符合條件的九個(gè)數(shù)的和，則正中間的數(shù)一定是 127，而 127 位于數(shù)表中從右邊數(shù)的第 2 列. 但從題中的圖容易看出， 平行四邊形正中間的數(shù)不能位于第 1 行，也不能位于從左數(shù)的第 1 列、第 2 列、第 7 列和第 8 列，因此，不可能構(gòu)成以 127 為中心的平行四邊形。 1989 ÷ 9=221，221÷ 8=27 5，即 1989 是 9 的倍數(shù)，且數(shù) 221 位于數(shù)表中從左起的第 5 列，故可以找到九個(gè)數(shù)之和為 1989 的平行四邊形，如圖：其中最大的數(shù)是 229，最小的數(shù)是213.習(xí)題一1. 觀察下面已給出的數(shù)表，并